電磁場(chǎng)的邊界條件

1、電磁場(chǎng)的邊界條件姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：班級(jí)：提交日期：桑薇薇09901140131通信工程電工 14012016.5.28成績(jī)：電磁場(chǎng)的邊界條件1.引言2.邊界條件分類3.邊界條件的作用4.結(jié)束語5.參考文獻(xiàn)1. 引言在兩種不同媒質(zhì)的分界面上，場(chǎng)矢量E,D,B,H 各自滿足的關(guān)系，稱為電磁場(chǎng)的邊界條件。在實(shí)際的電磁場(chǎng)問題中， 總會(huì)遇到兩種不同媒質(zhì)的分界面 （例如： 空氣與玻璃的分界面、導(dǎo)體與空氣的分界面等） ，邊界條件在處理電磁場(chǎng)問題中占據(jù)十分重要的地位。2. 邊界條件分類1、電場(chǎng)法向分量的邊界條件如圖 3.9 所示的兩種媒質(zhì)的分界面， 第一種媒質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率分別為1，1和1，第二種

2、媒質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率分別為2 ，2 和 2 。在這兩種媒質(zhì)分界面上取一個(gè)小的柱形閉合面，圖 3.9 電場(chǎng)法向分量的邊界條件如圖 3.9 所示，其高h(yuǎn) 為無限小量，上下底面與分界面平行，并分別在分界面兩側(cè)， 且底面積S 非常小，可以認(rèn)為在 S 上的電位vvv移矢量 D 和面電荷密度S是均勻的。n1n2分別為上下底面的外法線單位矢量，在柱形閉合面上應(yīng)用電場(chǎng)的高斯定律?v vv vSv vS SD gdSn1 gD1n2 gD2 SS故v vv vn1gD1n2 gD 2S(3.48a)vvvvv若規(guī)定 n 為從媒質(zhì)指向媒質(zhì)為正方向，則n1n， n2n ，式 (3.48a)可寫為v vvn

3、g(D1D 2 )S(3.48b)或D1nD2nS(3.48c)式 (3.48 ) 稱為電場(chǎng)法向分量的邊界條件。vvv因?yàn)?DE ，所以式 (3.48)可以用 E 的法向分量表示vvvv1n1gE12 n2 gE2S(3.49a)或1 E1n2 E2nS(3.49b)若兩種媒質(zhì)均為理想介質(zhì)時(shí)， 除非特意放置， 一般在分界面上不存在自由面電荷，即S0 ，所以電場(chǎng)法向分量的邊界條件變?yōu)镈1nD2n(3.50a)或1E1n2E2 n(3.50b)若媒質(zhì)為理想介質(zhì)，媒質(zhì)為理想導(dǎo)體時(shí)， 導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，即 E20 ，D20 ，在導(dǎo)體表面存在自由面電荷密度，則式 (3.48) 變?yōu)関vn1 gD1 D1

4、nS(3.51a)或1E1ns(3.51b)2 、電場(chǎng)切向分量的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面上取一小的矩形閉合回路abcd，如圖 3.10 所示，該回路短邊h 為無限小量，其兩個(gè)長(zhǎng)邊為l ，且平行于分界面，并分別在分界面兩側(cè)。在此回路上應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律v vvv?EgdlB gdSlS因?yàn)関v?EgdlE1t l E2t ll和vvvB l h 0B gdSS tt故圖 3.10電場(chǎng)切向分量的邊界條件E1tE2 t(3.52a)v若 n 為從媒質(zhì)指向媒質(zhì)為正方向，式(3.52a) 可寫為vvvn( E1E2) 0(3.52b)式 (3.52) 稱為電場(chǎng)切向分量的邊界條件。 該式表明，在分界面

5、上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量總是連續(xù)的。vD1tD 2t用 D 表示式 (3.52a) 得12(3.53)若媒質(zhì)為理想導(dǎo)體時(shí)，由于理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)，故與導(dǎo)體相鄰的媒質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量必然為零。即E1t0(3.54)因此，理想導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)總是垂直于導(dǎo)體表面， 對(duì)于時(shí)變場(chǎng)， 理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)， 因此理想導(dǎo)體的切向電場(chǎng)總為零， 即電場(chǎng)也總是垂直于理想導(dǎo)體表面。3、 標(biāo)量電位的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面上取兩點(diǎn)，分別為A 和 B，如圖3.11 所示。 A，B 分別位于分界面兩側(cè)，且無限靠近，兩v點(diǎn)的連線 h 0 ，且 h 與分界面法線 n 平行，從標(biāo)量電位的物理意義出發(fā)，得圖 3.11 電位

6、邊界條件B v vhhABEgdlE1nE2 nA22由于 E1n 和 E2 n 為有限值，而h0 所以由上式可知AB0 ，即AB或1S2S(3.55)式中 S 為兩種媒質(zhì)分界面。該式表明在兩種媒質(zhì)分界面處，標(biāo)量電位是連續(xù)的。標(biāo)量電位在分界面上的邊界條件在靜電場(chǎng)求解問題中是非常有用的?？紤]到電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系：vE，由電場(chǎng)的法向分量邊界條件式(3.49b)得121 n S2n SS(3.56)式 (3.56) 稱為靜電場(chǎng)中標(biāo)量電位的邊界條件。若兩種媒質(zhì)均為理想介質(zhì)時(shí)， 在分界面上無自由電荷， 標(biāo)量電位的邊界條件為1S2S1212n Sn S(3.57)若在理想導(dǎo)體表面上，標(biāo)量電位的邊界條件為

7、SC （常數(shù)）(3.58a)Sn S(3.58b)v式中 n 為導(dǎo)體表面外法線方向。4、 磁場(chǎng)法向分量的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面處作一小柱形閉合面，如圖 3.12 所示，其高度h0 ，上圖 3.12磁場(chǎng)法向分量的邊界條件下底面位于分界面兩側(cè)且與分界面平行，v底面積 S 很小， n 為從媒質(zhì)指向媒質(zhì)法線方向矢量，在該閉合面上應(yīng)用磁場(chǎng)的高斯定律v vv vv v?S BgdSngB1 SngB2 S 0則vvvng( B1B2) 0(3.59a)或B1nB2n(3.59b)式 (3.59) 為磁場(chǎng)法向分量的邊界條件。 該式表明：磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量在分界面處是連續(xù)的。vvv因?yàn)?BH ，所以式 (

8、3.59b)也可以用 H 的法向分量表示1H 1 n2 H 2n(3.60)若媒質(zhì)為理想導(dǎo)體時(shí)，由于理想導(dǎo)體中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，故B1 n0(3.61)因此，理想導(dǎo)體表面上只有切向磁場(chǎng)，沒有法向磁場(chǎng)。5 、磁場(chǎng)切向分量的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面處作一小矩形閉合環(huán)路，如圖3.13 所示。環(huán)路短邊h 0 ，兩長(zhǎng)邊 l 分別位于分界面兩側(cè)，且平行于分界面。 在此環(huán)路上應(yīng)用?lv vI ，即安培環(huán)路定律H gdlv vH1tl H 2tl?H gdll圖 3.13磁場(chǎng)切向分量的邊界條件穿過閉合回路中的總電流為I JS lJC1hJC2hll22D1 lhD2lht2t2式中 J S 為分界面上面電流密

9、度，JC1 ，JC2 分別為兩種媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流體密度，D1D 2h 0 ，除 JSl 外，回路t 和t 分別為兩種媒質(zhì)中的位移電流密度。因?yàn)橹械钠渌娏鞒煞志呄蛄?，即IJ S l ，于是H 1tH 2t JS(3.62a)式中 J S 方向與所取環(huán)路方向滿足右手螺旋法則。用矢量關(guān)系，式 (3.62a) 可表示為vvvvn(H 1H 2 )JS(3.62b)v式 (3.62) 為磁場(chǎng)切向分量的邊界條件。 式中 n 為從媒質(zhì)指向媒質(zhì)的法線單位矢量。v用 B 表示式 (3.62a) 得B1tB2tJS12(3.63)v若兩種媒質(zhì)為理想介質(zhì)，分界面上面電流密度 J S 0 ，則磁場(chǎng)切向分量邊界條件

10、為H 1tH 2t(3.64a)或B1tB2t12(3.64b)由式 (3.59b) 和式 (3.64b) 可得tantan1 12 2若媒質(zhì)為高磁導(dǎo)率材料 ( 21) ，當(dāng)2小于 90時(shí)， 1 將非常小。換句話說，在鐵磁質(zhì)表面上磁力線近乎垂直于界面。當(dāng)2時(shí)， 10 ，即在理想鐵磁質(zhì)表面上只有法向磁場(chǎng)，沒有切向磁場(chǎng)。H 1tH 2t0(3.65)v若媒質(zhì)之一為理想導(dǎo)體，電流存在于理想導(dǎo)體表面上J S0 ，因理想導(dǎo)體內(nèi)沒有磁場(chǎng)，理想導(dǎo)體表面切向磁場(chǎng)為H tJ S(3.66a)或vvvnHJ S(3.66b)若媒質(zhì)的電導(dǎo)率有限，即媒質(zhì)中有電流通過， 其電流只是以體電流分布的v形式存在，在分界面上沒

11、有面電流分布，即 J S 0 ，則分界面上磁場(chǎng)切向分量是連續(xù)的，即 H 1t H 2 t 。6 、矢量磁位的邊界條件v根據(jù)矢量磁位 A 所滿足的旋度和散度表示式，及磁場(chǎng)的基本方程， 可推導(dǎo)出vvA 的法向分量和切向分量在兩種媒質(zhì)分界面處是連續(xù)的，所以 A 矢量在分界面處也應(yīng)是連續(xù)的，即vvA1 SA2 S(3.67)由式 (3.63)可得1v1v(A1)t(A2 )t J S(3.68)127、標(biāo)量磁位的邊界條件在無源區(qū)域，即無電流區(qū)域，安培環(huán)路定律的積分和微分形式為vv0?H gdl(3.69)lv(3.70)H0根據(jù)矢量運(yùn)算，由式 (3.70) 可引入一標(biāo)量函數(shù)m ，令vHm(3.71)該

12、標(biāo)量函數(shù)m 稱為標(biāo)量磁位，其單位是安培(A)。式 (3.71) 中的負(fù)號(hào)是為了與靜v電場(chǎng)中 E相對(duì)應(yīng)而引入的。 引入標(biāo)量磁位的概念完全是為了在某些情況下使磁場(chǎng)的計(jì)算簡(jiǎn)化，并無實(shí)際的物理意義。類似于電位差的計(jì)算， a 點(diǎn)和 b 點(diǎn)的磁位差為bvvmabmambH gdla(3.72)根據(jù)標(biāo)量磁位定義和磁場(chǎng)的邊界條件可得m1 Sm 2 S(3.73a)1m12m2n Sn S(3.73b)式 (3.73) 為標(biāo)量磁位的邊界條件。8 、電流密度的邊界條件在兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面處作一小柱形閉合面。如圖 3.14 所示，其高度h0 ，v上下底面位于分界面兩側(cè)，且與分界面平行，底面面積 S 很小。 n 為從

13、媒質(zhì)指向媒質(zhì)法線方向矢量。根據(jù)電流連續(xù)性方程v vV dVSJC gdSV(3.74)t?在圖 3.14 所示的閉合曲面上，v vJ1nS J 2nS?Jc gdS(3.75)S圖 3.14電流密度的邊界條件V dVV dVQ(3.76)Vtt Vt式中 Q 為閉合曲面包圍的總電荷, 當(dāng) h0 時(shí)，有QSS(3.77)將式 (3.77)代入式 (3.76) 得VV dVSStt(3.78)將式 (3.75)和式 (3.78)代入式 (3.74)中得J1nJ 2nSt(3.79a)或vvvSng( J1J 2 )t(3.79b)vv根據(jù)導(dǎo)電媒質(zhì)中的物態(tài)方程JCE ，又已知在分界面處電場(chǎng)切向分量連

14、續(xù)，即 E1tE2 t ，所以電流密度的切向分量滿足J1tJ2 t12(3.80a)或vvvJ1J2 0n12(3.80b)式 (3.79) 和式 (3.80) 為電流密度滿足的邊界條件，對(duì)靜態(tài)場(chǎng)和時(shí)變場(chǎng)均適用。標(biāo)量形式D1nD 2nsE1tE2tB1nB2nH 1tH 2tJ sJ1nJ 2nstJ1tJ2t12矢量形式vvvng( D1D2 )Svvvn(E1E2)0vvvng(B1B2 )0vvvvn( H 1H 2 )JSvvvSng( J1J 2 )tvvvJ1J2) 0n(12A1A21S2S121 n S2n SS3. 邊界條件的作用一般電磁場(chǎng)的求解都需要解偏微分方程的， 確定邊

15、界條件就是對(duì)于求得偏微分方程的解起到重要作用。4. 結(jié)束語電磁場(chǎng)的邊界條件可以由麥克斯韋方程組的積分形式推出， 它實(shí)際上是積分形式的極限結(jié)果。這些邊界條件是n· (D1-D2)=s； (1)n× (E1-E2)=0 ； (2)n· (B1-B2)=0 ； (3)n× (H1-H2)=J)s 。 (4)式中 n 為兩媒質(zhì)分界面法線方向的單位矢量，場(chǎng)矢量E、D、B、H 的下標(biāo) 1 或 2 分別表示在媒質(zhì) 1 或 2 內(nèi)緊靠分界面的場(chǎng)矢量 , s為分界面上的自由電荷面密度,Js 為分界面上的傳導(dǎo)電流面密度。式 (1) 表示在分界面兩側(cè)電位移矢量D 的法向分量的差等于分界面上的自由電荷面密度。當(dāng)分界面上無自由電荷時(shí)，兩側(cè)電位移矢量的法向分量相等, 即其法向分量是連續(xù)的。式 (2) 表示在分界面兩側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度E 的切向分量是連續(xù)的。式(3) 表示在分界面兩側(cè)磁通密度 B 的法向分量是連續(xù)的。式 (4) 表示在分界面兩側(cè)磁場(chǎng)強(qiáng)度H 的切向分量的差等于分界面上的表面?zhèn)鲗?dǎo)電流面密度。當(dāng)分界面