學(xué)生數(shù)學(xué)構(gòu)造思維研究論文

1、學(xué)生數(shù)學(xué)構(gòu)造思維研究論文什么是構(gòu)造法又怎樣去構(gòu)造？構(gòu)造法是運用數(shù)學(xué)的基 本思想經(jīng)過認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模 型從而使問題得以解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有完全 固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題 的特殊性為基礎(chǔ)，針對具體的問題的特點而采取相應(yīng)的解決 辦法，及基本的方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來研究另一 類問題的思維方法。在解題過程中，若按習(xí)慣定勢思維去探 求解題途徑比較困難時，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點，展開 豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍，運用構(gòu)造法來解題也是培養(yǎng) 學(xué)生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維的手段之一，同時對提高學(xué)生的解 題能力也有所幫助，下面我們通過舉例來說明通

2、過構(gòu)造法解 題訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思想的創(chuàng) 新。構(gòu)造函數(shù)函數(shù)在我們整個中學(xué)數(shù)學(xué)是占有相當(dāng)?shù)膬?nèi)容，學(xué)生對于 函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內(nèi)容來解決棘手問 題，同時也達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生的思維，增強學(xué)生的思維的靈活 性，開拓性和創(chuàng)造性。例1、已知a, b, R+,且ab求證：分析：由知，若用代替呢？可以得到是關(guān)于的分式，若 我們令是一個函數(shù)，且 R+聯(lián)想到這時，我們可以構(gòu)造函數(shù) 而又可以化為而我們又知道在 0， 內(nèi)是增函數(shù)，從而便 可求解。證明：構(gòu)造函數(shù)在0, 內(nèi)是增函數(shù)，即得。有些數(shù)學(xué)題似乎與函數(shù)毫不相干，但是根據(jù)題目 的特點，巧妙地構(gòu)造一個函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)得到了簡捷

3、 的證明。解題過程中不斷挖掘?qū)W生的潛在意識而不讓學(xué)生的 思維使注意到某一點上，把自己的解題思路擱淺了。啟發(fā)學(xué) 生思維多變，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維。例2、設(shè)是正數(shù)，證明對任意的自然數(shù)n,下面不等式成立。分析：要想證明w只須證明0對一切實數(shù)x都成立，我們發(fā)現(xiàn)是不是和熟悉的判 別式相同嗎？于是我們可以構(gòu)造這樣的二次函數(shù)來解題是 不是更有創(chuàng)造性。解：令只須判別式0, =w 0即得w這樣以地于解決問題是很簡捷的證明通過這樣的知識 轉(zhuǎn)移，使學(xué)生的思維不停留在原來的知識表面上，加深學(xué)生 對知識的理解，掌握知識更為牢固和知識的運用能力。有利 于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。構(gòu)造方程有些數(shù)學(xué)題，經(jīng)過觀察可以構(gòu)造一個方程

4、，從而得到巧 妙簡捷的解答。例3、若2-4=0求證：X，y，Z成等差數(shù)列。分析：拿到題目感到無從下手，思路受阻。但我們細(xì)看，題條件酷似一元二次方程根的判別式。這里a=x-y，b=z-x，c=y-z，于是可構(gòu)造方程由已知條件可知方程有兩個相等根。 即二。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有即z - y=y-x , x+z=2 x, y, z成等差數(shù)列。遇到較為復(fù)雜的方程組時，要 指導(dǎo)學(xué)生會把難的先簡單化，可以構(gòu)造出我們很熟悉的方 程。例4、解方程組我們在解這個方程組的過程中，如果我 們用常規(guī)方法來解題就困難了，我們避開這些困難可把原方 程化為：于是與可認(rèn)為是方程兩根。易求得再進(jìn)行求解或由得此時方程無解。由得解此

5、方程組得：經(jīng)檢驗得原方程組的解為：通過上面的例子我們在解題的過程中要善于觀察，善于 發(fā)現(xiàn)，在解題過程中不墨守成規(guī)。大膽去探求解題的最佳途徑，我們在口頭提到的創(chuàng)新思維，又怎樣去創(chuàng)新？創(chuàng)新思維是整個創(chuàng)新活動的關(guān)鍵，敏銳的觀察力，創(chuàng)造性的想象，獨 特的知識結(jié)構(gòu)及活躍的靈感是其的基本特征。這種創(chuàng)新思維 能保證學(xué)生順利解決問題，高水平地掌握知識并能把知識廣 泛地運用到解決問題上來，而構(gòu)造法正從這方面增訓(xùn)練學(xué)生 思維，使學(xué)生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌?，顯得積極靈活 從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。在解題的過程中，主要是把解題用到的數(shù)學(xué)思想和方法 介紹給學(xué)生，而不是要教會學(xué)生會解某一道題，也不是為解 題而解題，給他們

6、學(xué)會一種解題的方法才是有效的授之以魚，不如授之以漁。在這我們所強調(diào)的發(fā)現(xiàn)知識的過程， 創(chuàng)造性解決問題的方法而不是追求題目的結(jié)果。運用構(gòu)造方 法解題也是這樣的，通過講解一些例題，運用構(gòu)造法來解題 的技巧，探求過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。華羅庚：“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微?！崩脭?shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)，幾何的關(guān)系，實現(xiàn)難題巧解。 構(gòu)造復(fù)數(shù)來解題由于復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)與其他內(nèi)容聯(lián)系密切最為廣泛的 一部分，因而對某些問題的特點，可以指導(dǎo)學(xué)生從復(fù)數(shù)的定 義性質(zhì)出發(fā)來解決一些數(shù)學(xué)難題。例5、求證：分析：本題的特點是左邊為幾個根式的和，因此可聯(lián)系到復(fù)數(shù)的模，構(gòu)造復(fù)數(shù)模型就利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)把問題解決。證明：

7、設(shè) z仁a+biz2=a+iz3=+iz4=+bi則左邊=|z1|+|z2|+|z3|+|z4| |z1+z2+z3+z4| |2+2i|=即例6、實數(shù)x, y, z, a, b, c,滿足且xyz工0求證：通過入微觀察，結(jié)合所學(xué)的空間解析幾何知識，可以構(gòu)造向量聯(lián)想到w結(jié)合題設(shè)條可知，向量的夾角滿足，這兩個向量共線，又xyz工0所以利用向量等工具巧妙地構(gòu)造出所證明的不等式的幾何 模型，利用向量共線條件，可解決許多用普通方法難以處理 的問題對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維十分有益。構(gòu)造幾何圖形對于一些題目，可借助幾何圖形的特點來達(dá)到解題目的，我們可以構(gòu)造所需的圖形來解題。例 7、解不等式 |x-5|-|x+3

8、|6分析：對于這類題目的一般解法是分區(qū)間求解，這是比較繁雜的。觀察本題條件可構(gòu)造雙曲線，求解更簡捷。解：設(shè)FF則|F1F2|=8 , F1F2的中點為o，又設(shè)點P,當(dāng)x的值滿足不等式條件時，P點在雙曲線的內(nèi)部 1-3vx1+3即-2vx4是不等式的解。運用構(gòu)造法就可以避免了煩雜的分類討論是不是方便得多了，引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)知識運用到解決問題上來。又如解不等式：分析：若是按常規(guī)的解法，必須得進(jìn)行分類討論而非常 麻煩的，觀察不等式特點，聯(lián)想到雙曲線的定義，卻柳暗花明又一村可把原不等式變?yōu)榱顒t得由雙曲線的定義可知，滿足上面不等式的在雙曲 線的兩支之間區(qū)域內(nèi)，因此原不等式與不等式組：同解所以不等式的解集

9、為：。利用定義的特點，把問題的難 點轉(zhuǎn)化成簡單的問題，從而使問題得以解決。在不少的數(shù)學(xué)競賽題，運用構(gòu)造來解題構(gòu)造法真是可見 一斑。例&正數(shù)x, y, z滿足方程組：試求xy+2yz+3xz的值。分析：認(rèn)真觀察發(fā)現(xiàn)5, 4, 3可作為直角三角形三邊長， 并就每個方程考慮余弦定理，進(jìn)而構(gòu)造圖形直角三角形 ABc,/ AcB=90 三邊長分別為 3, 4, 5,Z coB=90/ AoB=150 并設(shè) oA=x, oB=,則 x, y, z,滿足方程 組，由面積公式得：S1+S2+S3=即得：xy+2yz+3xz=24又例如：a, b, c為正數(shù)求證：由是 a, b, c為正數(shù) 及等，聯(lián)想到直角三角形又由聯(lián)系到可成為正方形的對角線 之長，從而我們可構(gòu)造圖形求解。通過上述簡單的例子說明了，構(gòu)造法解題有著在你意想 不到的功效，問題很快便可解決。可見構(gòu)造法解題重在“構(gòu) 造”。它可以構(gòu)造圖形、方程、函數(shù)甚至其它構(gòu)造，就會促 使學(xué)生要熟悉幾何、代數(shù)、三角等基本知識