自動(dòng)控制理論——采樣控制系統(tǒng)的分析

1、第第8 8章章 采樣控制系統(tǒng)的分析與設(shè)采樣控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)計(jì)8-1 8-1 引言引言8-2 8-2 信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn)信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn)8-3 Z8-3 Z變換與變換與Z Z反變換反變換8-4 8-4 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)8-5 8-5 采樣系統(tǒng)的分析采樣系統(tǒng)的分析8-6 8-6 最少拍采樣系統(tǒng)的校正最少拍采樣系統(tǒng)的校正8-1 8-1 引言引言 前面各章分析了連續(xù)控制系統(tǒng)，這些系統(tǒng)中的前面各章分析了連續(xù)控制系統(tǒng)，這些系統(tǒng)中的變量是時(shí)間上連續(xù)的；變量是時(shí)間上連續(xù)的； 隨著被控系統(tǒng)復(fù)雜性的提高，對(duì)控制器的要求隨著被控系統(tǒng)復(fù)雜性的提高，對(duì)控制器的要求也越來越高，控制的成本隨著數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜也越來

2、越高，控制的成本隨著數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜化而急劇上升化而急劇上升模擬實(shí)現(xiàn)；模擬實(shí)現(xiàn)； 隨著數(shù)字元件隨著數(shù)字元件, ,特別是數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速特別是數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，采樣控制系統(tǒng)得到了廣泛的應(yīng)用；發(fā)展，采樣控制系統(tǒng)得到了廣泛的應(yīng)用； 在采樣控制系統(tǒng)中在采樣控制系統(tǒng)中, ,有一處或多處的信號(hào)不是有一處或多處的信號(hào)不是連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào), ,而在時(shí)間上是離散的脈沖序列或數(shù)而在時(shí)間上是離散的脈沖序列或數(shù)碼碼, ,這種信號(hào)稱為采樣信號(hào)。這種信號(hào)稱為采樣信號(hào)。典型的采樣系統(tǒng)典型的采樣系統(tǒng) 計(jì)算機(jī)直接數(shù)字控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)直接數(shù)字控制系統(tǒng) 上面控制系統(tǒng)框圖 實(shí)際控制系統(tǒng)中是不存在采樣開關(guān)的。 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的

3、優(yōu)點(diǎn)：1、有利于實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的高精度控制；2、數(shù)字信號(hào)傳輸有利于抗干擾；3、可以完成復(fù)雜的控制算法，而且參數(shù)修 改容易；4、除了采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行控制外，還可以進(jìn)行顯示，報(bào)警等其它功能；5、易于實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程或網(wǎng)絡(luò)控制。 采樣控制系統(tǒng)也是一類動(dòng)態(tài)系統(tǒng)； 該系統(tǒng)的性能也和連續(xù)系統(tǒng)一樣可以分為動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩部分； 這類系統(tǒng)的分析也可以借鑒連續(xù)系統(tǒng)中的一些方法，但要注意其本身的特殊性； 采樣系統(tǒng)的分析可以采用Z變換方法，也可以采用狀態(tài)空間分析方法。8-2 8-2 信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn)信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn)1 1、采樣：、采樣：把連續(xù)信號(hào)變成脈沖或數(shù)字序列的過把連續(xù)信號(hào)變成脈沖或數(shù)字序列的過程叫做采樣；程叫做采樣；2 2、采樣

4、器：、采樣器：實(shí)現(xiàn)采樣的裝置，又名采樣開關(guān)；實(shí)現(xiàn)采樣的裝置，又名采樣開關(guān)；3 3、復(fù)現(xiàn)：、復(fù)現(xiàn)：將采樣后的采樣信號(hào)恢復(fù)為原來的連將采樣后的采樣信號(hào)恢復(fù)為原來的連續(xù)信號(hào)的過程；續(xù)信號(hào)的過程；4 4、采樣方式：采樣方式： （1 1）等周期采樣：）等周期采樣： （2 2）多階采樣：采樣是周期性重復(fù)的）多階采樣：采樣是周期性重復(fù)的 （3 3）多速采樣：有兩個(gè)以上不同采樣周期）多速采樣：有兩個(gè)以上不同采樣周期的采樣開關(guān)對(duì)信號(hào)同時(shí)進(jìn)行采樣的采樣開關(guān)對(duì)信號(hào)同時(shí)進(jìn)行采樣 （4 4）隨機(jī)采樣：采樣是隨機(jī)進(jìn)行的）隨機(jī)采樣：采樣是隨機(jī)進(jìn)行的, ,沒有固沒有固定的規(guī)律定的規(guī)律 一個(gè)連續(xù)信號(hào)經(jīng)采樣開關(guān)變成了采樣信號(hào) 采

5、樣脈沖的持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)小于采樣周期T和系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù) 可以將窄脈沖看成是理想脈沖，從而可得采樣后 的采樣信號(hào)為1 1、信號(hào)的采樣過程、信號(hào)的采樣過程)()()(*tteteT tet0 teT te*0 te*t0TT2 *ett0TT2 是理想脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻是理想脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻因此采樣信號(hào)只在脈沖因此采樣信號(hào)只在脈沖出現(xiàn)的瞬間才有數(shù)值，出現(xiàn)的瞬間才有數(shù)值，于是采樣信號(hào)變?yōu)橛谑遣蓸有盘?hào)變?yōu)?因此采樣過程可以看作一個(gè)調(diào)制過程。因此采樣過程可以看作一個(gè)調(diào)制過程。 kkTtt)()(kTkkTtkTete)()()(*0 tTtTT2T3T4T5采樣信號(hào)的調(diào)制過程采樣信號(hào)的調(diào)制過程 考慮到考慮到 時(shí)，時(shí)

6、，因此，可以將原來采樣信號(hào)表達(dá)式變?yōu)槿缦乱虼?，可以將原來采樣信?hào)表達(dá)式變?yōu)槿缦滦问剑盒问剑?t0)(te0*)()()(kkTtkTete將窄脈沖看作理想脈沖的條件是采樣持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)將窄脈沖看作理想脈沖的條件是采樣持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期和被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)小于采樣周期和被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)2 2、采樣定理、采樣定理 由前面的分析可知，采樣窄脈沖為周期性的，由前面的分析可知，采樣窄脈沖為周期性的，采樣后的信號(hào)采樣后的信號(hào) 取該信號(hào)的拉氏變換取該信號(hào)的拉氏變換, ,并令并令 : : *1( )sjktke te t eT 說明采樣后信號(hào)頻譜是以說明采樣后信號(hào)頻譜是以 s s為周期的。為周期的。采樣

7、時(shí)間滿足什么條件？采樣時(shí)間滿足什么條件？才能復(fù)現(xiàn)原信號(hào)！才能復(fù)現(xiàn)原信號(hào)！ *1(j )jjskEEkT js 連續(xù)信號(hào)在時(shí)域上是連續(xù)的，但頻域中的頻譜是孤立的； 連續(xù)信號(hào)采樣之后，具有以采樣角頻率 為周期的無限多個(gè)頻譜。s 采樣信號(hào)的頻譜采樣信號(hào)的頻譜a )jEmaxmaxc ) (maxs2)j*Emaxmaxsb ) (maxs2)2s *jE maxmaxmax2s1K1K0K 1EsT 采樣定理：采樣定理：為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采樣頻率必須大于或等于原連續(xù)信號(hào)所含接，采樣頻率必須大于或等于原連續(xù)信號(hào)所含的最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當(dāng)?shù)睦硐氲?/p>

8、最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當(dāng)?shù)睦硐霝V波器把原信號(hào)毫無畸變的復(fù)現(xiàn)出來。濾波器把原信號(hào)毫無畸變的復(fù)現(xiàn)出來。 香農(nóng)定理的物理意義是：香農(nóng)定理的物理意義是：滿足香農(nóng)定理的采樣滿足香農(nóng)定理的采樣信號(hào)中含有連續(xù)信號(hào)的信息，該信息可以通過信號(hào)中含有連續(xù)信號(hào)的信息，該信息可以通過具有低通濾波特性的濾波器復(fù)現(xiàn)出來。具有低通濾波特性的濾波器復(fù)現(xiàn)出來。max2s3 3、零階保持器、零階保持器 保持器是采樣系統(tǒng)的一個(gè)基本單元，功能是將保持器是采樣系統(tǒng)的一個(gè)基本單元，功能是將采樣信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)。采樣信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)。 理想濾波器可以將采樣信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)；理想濾波器可以將采樣信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)； 理想濾波器

9、是物理上不可實(shí)現(xiàn)的，因此要尋找理想濾波器是物理上不可實(shí)現(xiàn)的，因此要尋找一種物理上可實(shí)現(xiàn)，特性上又接近于理想濾波一種物理上可實(shí)現(xiàn)，特性上又接近于理想濾波器的設(shè)備器的設(shè)備保持器。保持器。 采樣信號(hào)只在采樣點(diǎn)上有定義采樣信號(hào)只在采樣點(diǎn)上有定義, e, e* *(KT)(KT)和和e e* *(K+1)T)(K+1)T)都是有定義的都是有定義的, ,但是在這兩者之間但是在這兩者之間的時(shí)間段上連續(xù)信號(hào)應(yīng)該是什么樣子呢的時(shí)間段上連續(xù)信號(hào)應(yīng)該是什么樣子呢? ? 這就是保持器要解決的問題這就是保持器要解決的問題. . 保持器是一種時(shí)域外推裝置，即將過去時(shí)刻或現(xiàn)在時(shí)保持器是一種時(shí)域外推裝置，即將過去時(shí)刻或現(xiàn)在時(shí)

10、刻的采樣值進(jìn)行外推?？痰牟蓸又颠M(jìn)行外推。 通常把按照常數(shù)、線性函數(shù)和拋物線函數(shù)外推的保持通常把按照常數(shù)、線性函數(shù)和拋物線函數(shù)外推的保持器稱為零階、一階和二階保持器。器稱為零階、一階和二階保持器。 如果取如果取 則當(dāng)前時(shí)刻的采樣值將被保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻則當(dāng)前時(shí)刻的采樣值將被保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻. . 這種保持器稱為零階保持器這種保持器稱為零階保持器. . 如何用數(shù)學(xué)語言描述如何用數(shù)學(xué)語言描述這種特性呢這種特性呢? ? 2012eKTtaatat ,0e KTte KTtT 零階保持器零階保持器: :把采樣時(shí)刻把采樣時(shí)刻KTKT的采樣值不增不的采樣值不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻（減地保持到下一

11、個(gè)采樣時(shí)刻（K K1 1）T T。零階保持器的輸入和輸出信號(hào)零階保持器的輸入和輸出信號(hào) sGh teT te* teh tet0a)b )c ) teht0TT2T3T4 te*t0TT2T3T4 由于在采樣時(shí)刻由于在采樣時(shí)刻 h,0,1,2ekTe kTk故保持器的輸出故保持器的輸出 h011kete kTtkTtkTT拉氏變換為拉氏變換為 h11eeTskTskEse kTss零階保持器的傳遞函數(shù)為零階保持器的傳遞函數(shù)為 hh*( )1 e( )TsEsGsE ss零階保持器的傳遞函數(shù)為零階保持器的傳遞函數(shù)為 零階保持器的頻率特性為零階保持器的頻率特性為 hh*( )1 e( )TsEsG

12、sE ssjjj22j2hj2j21 eeejej22 jesin(/2)sine22/2TTTTTTTGTTTTTTT 零階保持器的頻率特性如圖所示零階保持器的頻率特性如圖所示 零階除了允許主頻譜分量通過之外，還零階除了允許主頻譜分量通過之外，還允許一部分附加高頻分量通過。因此復(fù)允許一部分附加高頻分量通過。因此復(fù)現(xiàn)出的信號(hào)與原信號(hào)是有差別的?，F(xiàn)出的信號(hào)與原信號(hào)是有差別的。jhGss3s2T023jhGjhG4 4、小結(jié)、小結(jié) 采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)；采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)； 計(jì)算機(jī)控制的采樣系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)；計(jì)算機(jī)控制的采樣系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)； 采樣過程和采樣定理；采樣過程和采樣定理； 零階保持器的傳函和特性。零

13、階保持器的傳函和特性。8-3 Z8-3 Z變換與反變換變換與反變換 線性連續(xù)控制系統(tǒng)線性連續(xù)控制系統(tǒng)可用可用線性微分方程線性微分方程來來描述，用描述，用拉普拉斯變換拉普拉斯變換分析它的暫態(tài)性分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。能及穩(wěn)態(tài)性能。 對(duì)于對(duì)于線性采樣控制系統(tǒng)線性采樣控制系統(tǒng)則可用則可用線性差分線性差分方程方程來描述，用來描述，用Z Z變換變換來分析它的暫態(tài)性來分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。能及穩(wěn)態(tài)性能。 Z Z變換是研究采樣系統(tǒng)主要的數(shù)學(xué)工具，變換是研究采樣系統(tǒng)主要的數(shù)學(xué)工具，由拉普拉斯變換引導(dǎo)出來，是采樣信號(hào)由拉普拉斯變換引導(dǎo)出來，是采樣信號(hào)的拉普拉斯變換。的拉普拉斯變換。 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)f

14、 f（t t）的拉普拉斯變換為）的拉普拉斯變換為 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)f f（t t）經(jīng)過采樣得到采樣信號(hào)）經(jīng)過采樣得到采樣信號(hào) f f* *（t t）為）為 其拉普拉斯變換為其拉普拉斯變換為 定義新的變量定義新的變量 0)()(L)(dtetftfsFst0*)()()(kkTtkTftf0*)()()(kkTsekTftfLsFTsze 采樣信號(hào)的采樣信號(hào)的Z Z變換變換0*)()()(kkzkTftfZzF有有1 1、常用的、常用的Z Z變換方法變換方法 級(jí)數(shù)求和法：級(jí)數(shù)求和法：將采樣信號(hào)將采樣信號(hào)f f * *（t t）展開如下）展開如下對(duì)上式逐項(xiàng)進(jìn)行拉普拉斯變換，得對(duì)上式逐項(xiàng)進(jìn)行拉普拉斯

15、變換，得在一定條件下，常用函數(shù)的在一定條件下，常用函數(shù)的Z Z變換都能夠?qū)懗砷]合形式。變換都能夠?qū)懗砷]合形式。 *0( )() ()(0) ( )( ) ()() ()nftf nTtnTftf ttTf nTtnT *1( )(0)( )()( )(0)( )()TsnTsnFsff T ef nT eF zff T zf nT z【例【例1 1】求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù)1 1（t t）的）的Z Z變換。變換。 解：解： 單位階躍函數(shù)的采樣脈沖序列為單位階躍函數(shù)的采樣脈沖序列為 代入代入E(zE(z) )的級(jí)數(shù)表達(dá)式，得的級(jí)數(shù)表達(dá)式，得對(duì)上列級(jí)數(shù)求和，寫成閉合形式，得對(duì)上列級(jí)數(shù)求和，寫成

16、閉合形式，得 1,(0,1,2)e kTkL 1201e1kkkE zZte kTzzz LK11( )11zE zzz 部分分式法部分分式法1( )niiiAF ssp 當(dāng)連續(xù)信號(hào)是以拉普拉斯變換式當(dāng)連續(xù)信號(hào)是以拉普拉斯變換式F F（S S）的形式給出）的形式給出, ,且且F F（S S）為有理函數(shù)時(shí)）為有理函數(shù)時(shí), ,可以展可以展開成部分分式的形式，即開成部分分式的形式，即 可得與其對(duì)應(yīng)的可得與其對(duì)應(yīng)的z z變換為變換為 由此可得由此可得F F（S S）的）的z z變換為變換為 iiAsp對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式ip tiAeiipTzAze1( )inip TiAF zze【例【

17、例2 2】已知已知，試求其，試求其Z Z變換變換. . 解解 將將G G（s s）展開成部分分式）展開成部分分式 其對(duì)應(yīng)的時(shí)域表示式為其對(duì)應(yīng)的時(shí)域表示式為 兩個(gè)時(shí)域信號(hào)的疊加兩個(gè)時(shí)域信號(hào)的疊加 1(1)G ss s 11111E sG ss sss 1 ete t 1 e1e1e1eTtTTzzzE zZtzzzz 留數(shù)法留數(shù)法設(shè)連續(xù)信號(hào)設(shè)連續(xù)信號(hào)f(t)f(t)的拉普拉斯變換式的拉普拉斯變換式F F（S S）及其全部極點(diǎn)）及其全部極點(diǎn)p pi i為為已知，可利用留數(shù)法求其已知，可利用留數(shù)法求其Z Z變換變換F(z)F(z)，即，即 當(dāng)當(dāng)s=s=p pi i為一階極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為為一階極點(diǎn)時(shí)，

18、其留數(shù)為 當(dāng)當(dāng)s=s=p pj j為為q q階極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為階極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為 s= s=p pi i處的留數(shù)處的留數(shù) ()iiip TzRresFpze式中式中為為( )sTzF szelim ()()iiis TspzRspFsze111lim()( )(1)!iqjiqsTspdzRspF sqdsze*11( )( )()inniiP TiizFzZftresFpRze【例】求f（t）=t的z變換 t0 在在s=0s=0處有二階極點(diǎn)，處有二階極點(diǎn)，f(t)f(t)的的z z變換變換F(z)F(z)為為 解：解：由于由于21()Fss2200( )()(1)sTsTsTssdzzTeT

19、zF zRdszezez2 2、Z Z變換基本定理變換基本定理1.1.線性定理線性定理若若 i i為常數(shù)，則為常數(shù)，則 線性定理表明線性定理表明, ,時(shí)域函數(shù)線性組合的時(shí)域函數(shù)線性組合的z z變換等變換等于各時(shí)域函數(shù)于各時(shí)域函數(shù)z z變換的線性組合。變換的線性組合。 1122E zZ e ta Eza Ez L 1 122e ta eta etL 設(shè)有連續(xù)時(shí)間函數(shù)設(shè)有連續(xù)時(shí)間函數(shù) 2.2.滯后定理滯后定理 設(shè)設(shè)e(te(t) )的的z z變換為變換為E E（z z），且），且t t0 0時(shí)，時(shí)，e(te(t)=0,)=0,則則滯后定理說明，原函數(shù)在時(shí)域中延遲滯后定理說明，原函數(shù)在時(shí)域中延遲k

20、k個(gè)采樣周期求個(gè)采樣周期求z z變換變換, ,相當(dāng)于它的相當(dāng)于它的z z變換乘以變換乘以z z-k-k。因此。因此 z z-k-k可以表示可以表示時(shí)域中的滯后環(huán)節(jié)時(shí)域中的滯后環(huán)節(jié), ,它把采樣信號(hào)延遲它把采樣信號(hào)延遲k k個(gè)采樣周期個(gè)采樣周期 nZ e tnTzE z tet tetnT3. 3. 超前定理超前定理4. 4. 初值定理初值定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)e(te(t) )的的z z變換為變換為E E(z(z) )，則，則 10nnkkZ e tnTzE ze kT z 0limlimtzetE z設(shè)設(shè)e(te(t) )的的z z變換為變換為 E E(z(z) )，而且，而且存在，則存在，則

21、0limtet5. 5. 終值定理終值定理 6 .6 .復(fù)數(shù)位移定理復(fù)數(shù)位移定理 1( )limlim1tzeetzE z 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)e(te(t) )的的z z變換為變換為E E(z(z) )，且，且在在z z平面上的以原點(diǎn)為圓心的單位平面上的以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外均圓上和圓外均沒有極點(diǎn)，則沒有極點(diǎn)，則 1zEz eeatatZ e tE zm設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)e(te(t) )的的z z變換為變換為E(zE(z) )，則，則3 3、Z Z反變換反變換 由由E(zE(z) )求求e e* *(t)(t)過程稱為過程稱為z z反變換，表示為反變換，表示為 1e tZE z 由于由于z z變換

22、只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性變換只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性, ,并不反映采樣時(shí)刻之間的特性并不反映采樣時(shí)刻之間的特性, ,因此因此z z反變換只能求反變換只能求出采樣函數(shù)出采樣函數(shù)e e* *(t),(t),不能求出其連續(xù)函數(shù)不能求出其連續(xù)函數(shù)e(te(t) )。即有。即有 1ZEzete t常用的Z反變換方法1 1、長除法、長除法 將將E E( (z z) )的分子、分母多項(xiàng)式按的分子、分母多項(xiàng)式按z z的降冪形式排列的降冪形式排列, ,用分子多項(xiàng)式除以分母多用分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式項(xiàng)式, ,可得到可得到E E( (z z) )關(guān)于關(guān)于z z-1-1的的無窮級(jí)數(shù)形式無窮級(jí)數(shù)形式, ,

23、在根據(jù)延遲定理得到在根據(jù)延遲定理得到e e* *(t)(t)。1010( )kkkkkE zee ze ze zLL對(duì)上式求對(duì)上式求z z反變換反變換, ,得得 *0( )()kke tetkT2 2、部分分式法、部分分式法 將將E(z)E(z)/z/z展開成部分分式。由于在展開成部分分式。由于在E(zE(z) )式中式中, ,分子分子表達(dá)式中通常含有表達(dá)式中通常含有z z。得到部分分式后。得到部分分式后, ,再將再將z z乘到各乘到各部分分式的分子部分部分分式的分子部分, ,再查表進(jìn)行反變換即可再查表進(jìn)行反變換即可, ,所以也所以也稱為查表法。稱為查表法?！纠纠? 3】求求的的z z反變換

24、。反變換。 解解 將將E E (z)(z)/z/z展開成部分分式為展開成部分分式為 則對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)則對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)e e* *(t)(t)為為 1012zE zzz 1010101212E zzzzzz則有 101012zzE zzz 010etete TtTL0 10302703tTtTtTL3. 3. 留數(shù)法留數(shù)法由由z z變換的定義有變換的定義有 用用z zm-1m-1乘上式兩端乘上式兩端, ,得得 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論, ,知知 0kkE ze kT z 110mm kkE z ze kT z 1111dRe2 jiPmkizze kTE z zze kTs E z z

25、當(dāng)當(dāng)z=pz=pi i為單極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為為單極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為 當(dāng)當(dāng)z=pz=pj j為為n n重極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為重極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為 11Reslim () ( )iikkizzzzE z zzz E z z 1111d()( )1Reslim(1)!diinnkkinzzzzzzE z zE z znz4 4 差分方程差分方程 描述描述n n階線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為微分階線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為微分方程，而描述線性采樣系統(tǒng)的教學(xué)方程，而描述線性采樣系統(tǒng)的教學(xué)模型模型為為差分方程差分方程。 差分的定義：差分的定義： 一階前向差分定義為一階前向差分定義為 二階前向差分定義為二階前向差分定義為

26、1e ke ke k 211211221e ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke k 一階后向差分定義為：一階后向差分定義為： 二階后向差分定義為：二階后向差分定義為： 1e ke ke k 2212e ke ke ke k tet ke ke1T1kk1k前向和后向差分示意圖前向和后向差分示意圖【例【例】 一階采樣系統(tǒng)的差分方程為一階采樣系統(tǒng)的差分方程為 解解: :對(duì)方程兩邊進(jìn)行在對(duì)方程兩邊進(jìn)行在z z變換，并由實(shí)移定理變換，并由實(shí)移定理 1y kby kr t其中其中b b為常數(shù)為常數(shù), , ,00,kr kayy k求響應(yīng)。 0zY zybY zR z

27、00kzr kaR zza，y因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 zzb Y zza 11zYzZabbazbzazazb 1,(1, 2)kky kabkabL8-4 8-4 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)一、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念一、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念 線性采樣系統(tǒng)初始條件為零時(shí)線性采樣系統(tǒng)初始條件為零時(shí), ,系統(tǒng)輸出信號(hào)的系統(tǒng)輸出信號(hào)的z z變換與輸入信號(hào)的變換與輸入信號(hào)的z z變換之比變換之比, ,稱為線性采樣系統(tǒng)的稱為線性采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù), ,或簡稱為或簡稱為z z傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。 實(shí)際采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)通常是連續(xù)信實(shí)際采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)通常是連續(xù)信號(hào)號(hào), ,為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)

28、為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)概念概念, ,可在系統(tǒng)的可在系統(tǒng)的輸出端虛設(shè)一個(gè)同步采樣開關(guān)輸出端虛設(shè)一個(gè)同步采樣開關(guān), ,使輸出成為使輸出成為采樣信號(hào)。采樣信號(hào)。 ( )( )( )Y zG zR z tr* sG tr ty ty* zG實(shí)際采樣系統(tǒng)實(shí)際采樣系統(tǒng)設(shè)輸入脈沖序列為設(shè)輸入脈沖序列為*0( )() ()kr tr kTtkT由疊加原理可求出系統(tǒng)對(duì)脈沖序列的響應(yīng)為由疊加原理可求出系統(tǒng)對(duì)脈沖序列的響應(yīng)為 ( )(0) ( )( ) ()() ()y trg tr T g t Tr nT g t nTLL根據(jù)根據(jù)z z變換的卷積定理，上式的變換的卷積定理，上式的z z變換為變換為 ( )( ) (

29、 )Y zG z R z 式中：式中：G(z)G(z)、R(z)R(z)、Y(zY(z) )分別為分別為g(t)g(t)、r(t)r(t)、y(ty(t) )的的z z變換。變換。 即采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)即采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為為采樣脈沖傳函為連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)的采樣脈沖傳函為連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)的Z Z變換變換0( )( )()( )kkY zG zg kT zR z脈沖傳遞函數(shù)和連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣表脈沖傳遞函數(shù)和連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣表征了采樣系統(tǒng)的固有特性；征了采樣系統(tǒng)的固有特性；它除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)系，還與采它除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)系，還與采樣開關(guān)在系統(tǒng)中的具體位置有關(guān)。

30、樣開關(guān)在系統(tǒng)中的具體位置有關(guān)。1 1、兩個(gè)環(huán)節(jié)有采樣開關(guān)時(shí)、兩個(gè)環(huán)節(jié)有采樣開關(guān)時(shí)根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義：根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義：tr* sG1trty*1ty1 sG2ty*ty12( )( )( )( )( )Y zG zG z G zR z當(dāng)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)，等效脈沖傳遞函數(shù)為各當(dāng)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)，等效脈沖傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。該結(jié)論也可推廣到。該結(jié)論也可推廣到n n個(gè)個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳函二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳函2 2、兩個(gè)環(huán)節(jié)沒有采樣開關(guān)時(shí)、兩個(gè)環(huán)節(jié)沒有采樣開關(guān)時(shí))()()(2121zGzGzGGtr* sG1

31、tr sG2ty* ty當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時(shí)當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時(shí), ,系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z z變換。該結(jié)論可推變換。該結(jié)論可推廣到相互間無采樣開關(guān)的廣到相互間無采樣開關(guān)的n n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。12( )( )( )( )Y zG zGG zR z3 3、有零階保持器時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)、有零階保持器時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) a) tr* tr G s ty* ty h1 eTsG ssb) tr*1 tr ssG ty* tyeTs有零階保持器時(shí)的開環(huán)采樣系統(tǒng)有零階保持器時(shí)的開環(huán)采樣系統(tǒng) 三、

32、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) tr ty* ty sG2 sH td te te* td* sG112( )( )( )( )( )( )E zR zB zB zE z GG H z12( )( )1( )R zE zGG H z121212( )( )( ) ( )( )1( )GGzY zGGz E zR zGG H z閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù) 12( )1( )( )1( )eE zG zR zGG H z閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為為12B12( )( )( )( )1( )G GzY zGzR zG G H z系統(tǒng)輸出系統(tǒng)

33、輸出當(dāng)系統(tǒng)有擾動(dòng)作用時(shí)當(dāng)系統(tǒng)有擾動(dòng)作用時(shí) , ,可得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差與擾動(dòng)間可得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差與擾動(dòng)間的脈沖傳遞函數(shù)為的脈沖傳遞函數(shù)為 212( )( )( )1( )G H zE zD zGG H z 系統(tǒng)輸出與擾動(dòng)之間系統(tǒng)輸出與擾動(dòng)之間的脈沖傳遞函數(shù)的脈沖傳遞函數(shù) 122212( )( )( )( )( )1( )GG z G H zY zG zD zGG H z由于系統(tǒng)中有采樣器的存在，由于系統(tǒng)中有采樣器的存在，所以一般情況下所以一般情況下 ( )( )1( )1( )G zG sZG zG s例例 設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試證其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為證其

34、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 12B12( )( )( )1( )( )G z GzGzG z HGz tr ty* ty sG1 sG2 sH sE sE* sE1 sE*1閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 對(duì)于有些采樣控制系統(tǒng)，無法寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)只能寫出輸出的Z變換 sG sY sH sR sG1 sYsH sRsG2 1RG zY zHG z 12121RGz GzY zGG H z8-5 8-5 采樣系統(tǒng)的分析采樣系統(tǒng)的分析 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 閉環(huán)極點(diǎn)分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系閉環(huán)極點(diǎn)分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系 穩(wěn)態(tài)誤差分析穩(wěn)態(tài)誤差分析1 1、采樣穩(wěn)定性分析、采樣穩(wěn)定性分析1 1）穩(wěn)定性的基本

35、概念）穩(wěn)定性的基本概念 穩(wěn)定性是指在擾動(dòng)的作用下，系統(tǒng)會(huì)偏穩(wěn)定性是指在擾動(dòng)的作用下，系統(tǒng)會(huì)偏離原來的平衡位置，在擾動(dòng)撤除后，系離原來的平衡位置，在擾動(dòng)撤除后，系統(tǒng)恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的能力；統(tǒng)恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的能力； 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，可以采用脈沖響應(yīng)根據(jù)穩(wěn)定性的定義，可以采用脈沖響應(yīng)的情況來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性；的情況來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)如果能夠衰減到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)如果能夠衰減到0 0，則系，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；統(tǒng)是穩(wěn)定的； 否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 采樣系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)： 由Z反變換得 由上式可若 ，即系統(tǒng)的所有極點(diǎn)位于Z平面的單位圓內(nèi)，則1( )( ) ( )( )

36、niiiA zY zT z R zT zzz 1)(zR11( )nkiiiy kA z nizi, 2 , 1, 10lim11nikiikzA2 2）穩(wěn)定條件：）穩(wěn)定條件：采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)位于系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)位于Z Z平面上的單位圓內(nèi)?；蛘哒f，所有極點(diǎn)的模都平面上的單位圓內(nèi)。或者說，所有極點(diǎn)的模都小于小于1,1,即即 ，單位圓就是穩(wěn)，單位圓就是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。定區(qū)域的邊界。1,(1,2,)iiL S平面的左半平面 ，z的幅值在0和1之間變化，對(duì)應(yīng)z平面單位圓內(nèi)； S平面的虛軸 ，對(duì)應(yīng)z平面的單位圓；

37、當(dāng) 由 變到 時(shí)，jsezTs,sTTzez2arg,00z2s2s3 3）s s平面與平面與z z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系 線性采樣系統(tǒng)不能直接使用勞斯穩(wěn)定判線性采樣系統(tǒng)不能直接使用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，因?yàn)椴蓸酉到y(tǒng)穩(wěn)定邊界是據(jù)，因?yàn)椴蓸酉到y(tǒng)穩(wěn)定邊界是z z平面上以平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓周，而不是虛軸。原點(diǎn)為圓心的單位圓周，而不是虛軸。為能使用勞斯判據(jù)，可將為能使用勞斯判據(jù)，可將z z平面上單位圓平面上單位圓周映射到新坐標(biāo)系中的虛軸，這種變換周映射到新坐標(biāo)系中的虛軸，這種變換稱為稱為w w變換變換，或稱雙線性變換。，或稱雙線性變換。4 4）線性采樣系統(tǒng)勞斯判據(jù)）線性采樣系統(tǒng)勞斯判據(jù)式中，式中

38、，z z、w w均為復(fù)變量，可分別寫為均為復(fù)變量，可分別寫為 代入雙線性變換公式，得代入雙線性變換公式，得w w平面虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于平面虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于上式中實(shí)部為零的點(diǎn)，即上式中實(shí)部為零的點(diǎn)，即 則則11zzw設(shè)設(shè)11wzw jjzxy w uv ，22222212jj(1)(1)xyyuvxyxy22221(1)xyuxy z z平面上單位圓內(nèi)平面上單位圓內(nèi)(x(x2 2+y+y2 21)1)對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)著w w平面實(shí)部平面實(shí)部為負(fù)數(shù)的左半平面。為負(fù)數(shù)的左半平面。z z平面上單位圓外平面上單位圓外(x(x2 2+y+y2 21)1)對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)著w w平面實(shí)部為正數(shù)的右半平面。平面實(shí)部為正數(shù)的

39、右半平面。z z平面平面與與w w平面的映射平面的映射關(guān)系所示。關(guān)系所示。uju平面wz平面xy j【例【例】設(shè)采樣控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示。設(shè)采樣控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示。采樣周期采樣周期T=1s, T=1s, T=0.5sT=0.5s試求使系統(tǒng)穩(wěn)定試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的的K K值范圍。值范圍。 解解 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 sR sYT1ssK1 eTss12(e1)(1 ee )( )1(1)(1)(e )TTTTKTzTG zzZKs szz 相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為為 10D zG z 將將T=1sT=1s代入上式，得代入上式，得 進(jìn)行進(jìn)行w

40、 w變換可求得變換可求得w w域系統(tǒng)的特征方程為域系統(tǒng)的特征方程為 2( )(0.3681.368)(0.2640.368)0D zzKzK2( ) 0.632(1.264 0.528 )(0.2640.368) 0D wKwK wK根據(jù)代數(shù)判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件根據(jù)代數(shù)判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為為1.2640.5280K所以穩(wěn)定時(shí)所以穩(wěn)定時(shí)K K的取值為的取值為 02.4K同理可得同理可得T=1sT=1s時(shí)時(shí) 穩(wěn)定時(shí)穩(wěn)定時(shí)K K的取值為的取值為 02.4K穩(wěn)定時(shí)穩(wěn)定時(shí)K K的取值為的取值為 同理可得同理可得,T=0.5s,T=0.5s時(shí)時(shí) 04.37K開環(huán)增益開環(huán)增益K K和采樣周期和采樣周期

41、T T對(duì)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響：對(duì)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響：(1)(1)采樣周期采樣周期T T一定時(shí)，增加開環(huán)增益一定時(shí)，增加開環(huán)增益K K會(huì)使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定會(huì)使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。性變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)(2)開環(huán)增益開環(huán)增益K K一定時(shí)一定時(shí), , 采樣周期采樣周期T T越長，丟失的信息越多，越長，丟失的信息越多，對(duì)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能均不利，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能均不利，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布與暫態(tài)響應(yīng)的一般關(guān)系暫態(tài)響應(yīng)的一般關(guān)系 1）系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞

42、函數(shù)為設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為式中式中M M(Z)(Z)、D(Z)D(Z)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分子閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式 設(shè)設(shè) i i閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn) z zj j閉環(huán)零點(diǎn)閉環(huán)零點(diǎn)1011B1011( )( )( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbY zM zGzR za za zazaD zLL當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)輸出信號(hào)的z變換為 10110121()( )( ) ( )( )11()()()mmmmBBnb zb zbzbazzY zGz R zGzzzzzzLL( )1zR zz將上式展成部分分式可得01( )1niiizzY z

43、AAzz式中：01()( ),( )(1)()iiiizMMzAAD zD對(duì)上式進(jìn)行對(duì)上式進(jìn)行z z反變換，得采樣系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)為反變換，得采樣系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)為 上式右邊第一項(xiàng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，第二項(xiàng)上式右邊第一項(xiàng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，第二項(xiàng)為暫態(tài)響應(yīng)分量。為暫態(tài)響應(yīng)分量。01( )1( )nkiiiy kAkA 顯然,隨極點(diǎn)在平面位置的不同，它所對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量也不同。 實(shí)數(shù)極點(diǎn)：實(shí)數(shù)極點(diǎn)：若實(shí)數(shù)極點(diǎn)分布在單位圓內(nèi)，其對(duì)應(yīng)的若實(shí)數(shù)極點(diǎn)分布在單位圓內(nèi)，其對(duì)應(yīng)的分量呈衰減變化。正實(shí)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單調(diào)衰減，負(fù)分量呈衰減變化。正實(shí)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單調(diào)衰減，負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的振蕩衰減；實(shí)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的振蕩

44、衰減； 共軛極點(diǎn)：共軛極點(diǎn)： 有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) i i與與 i i，即，即 jje,e( )2cos()iiiiiikiiiiiy kAk當(dāng)當(dāng)| | i i| |1 1時(shí)時(shí),y,yi i(k(k) )為發(fā)散振蕩函數(shù)；當(dāng)為發(fā)散振蕩函數(shù)；當(dāng)| | i i| |1 1時(shí)，時(shí)，y yi i(k(k) )為衰減振蕩函數(shù)為衰減振蕩函數(shù), ,振蕩角振蕩角頻率為頻率為 i i為共軛復(fù)數(shù)系數(shù)為共軛復(fù)數(shù)系數(shù)A Ai i的幅角。的幅角。 iiT xxxxxx暫態(tài)響應(yīng)與極點(diǎn)位置關(guān)系暫態(tài)響應(yīng)與極點(diǎn)位置關(guān)系 1)1)當(dāng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于當(dāng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于z z平面上以平面上以原點(diǎn)為圓

45、心的單位圓內(nèi)時(shí)原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)時(shí), ,其對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量其對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量是衰減的。是衰減的。 2)2)要使控制系統(tǒng)具有比較滿意的暫態(tài)響應(yīng)要使控制系統(tǒng)具有比較滿意的暫態(tài)響應(yīng), ,其其閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量避免分布在閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量避免分布在Z Z平面單位圓平面單位圓內(nèi)內(nèi)的的左左半部半部, ,最好分布在單位圓內(nèi)的右半部。最好分布在單位圓內(nèi)的右半部。 3)3)極點(diǎn)盡量靠近坐標(biāo)原點(diǎn)極點(diǎn)盡量靠近坐標(biāo)原點(diǎn), ,相應(yīng)的暫態(tài)分量衰相應(yīng)的暫態(tài)分量衰減速度較快。減速度較快。 4)4)離單位圓周最近且附近無閉環(huán)零點(diǎn)的共軛復(fù)離單位圓周最近且附近無閉環(huán)零點(diǎn)的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)。數(shù)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)。3 3、采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差、

46、采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 與連續(xù)系統(tǒng)類似地求穩(wěn)態(tài)誤差有兩種方與連續(xù)系統(tǒng)類似地求穩(wěn)態(tài)誤差有兩種方法：法： 1)1)應(yīng)用應(yīng)用z z變換變換終值定理終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的終計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的終值；值； 2)2)應(yīng)用誤差脈沖傳遞函數(shù)計(jì)算應(yīng)用誤差脈沖傳遞函數(shù)計(jì)算靜態(tài)誤差靜態(tài)誤差系數(shù)系數(shù), ,進(jìn)而進(jìn)而得到穩(wěn)態(tài)誤差。得到穩(wěn)態(tài)誤差。 誤差脈沖傳遞函數(shù)為誤差脈沖傳遞函數(shù)為 tr ty* ty te te* zG( )( )1( )R zE zG z閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)閉環(huán)采樣控制系統(tǒng) 由由z z變換終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差為變換終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差為 與連續(xù)系統(tǒng)類似與連續(xù)系統(tǒng)類似, ,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的一般開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的一般形式

47、為形式為11( )lim ( )lim(1) ( )lim(1)1( )sskzzR zee kzE zzG z 11()( )(1)()mjjn vviiKzzG zzzp =0=0稱為稱為0 0型系統(tǒng)；型系統(tǒng)； =1=1稱為稱為I I型系統(tǒng)；型系統(tǒng)； =n=n稱為稱為n n型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。定義為靜態(tài)位置誤差系數(shù)定義為靜態(tài)位置誤差系數(shù)對(duì)于對(duì)于0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng) 為一常量，穩(wěn)態(tài)誤差為為一常量，穩(wěn)態(tài)誤差為對(duì)于對(duì)于型及以上系統(tǒng)型及以上系統(tǒng)( )1r t ( )1zR zz 11111lim (1)lim1( )11(1)sszzpzezG zzGK 1lim 1( )pzKG zpK1sspeK

48、pK0sse1 1）單位階躍輸入：）單位階躍輸入：定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)對(duì)于對(duì)于0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng) ，穩(wěn)態(tài)誤差為，穩(wěn)態(tài)誤差為對(duì)于對(duì)于型型 為常值為常值 , , 也為常值也為常值對(duì)于對(duì)于型及以上系統(tǒng)型及以上系統(tǒng)0vKsse0ssevKssevK22111( )(1)111( )lim (1)limlim1( ) (1)(1)1( )(1) ( )zzzvTzR zzTzTezTTG zzzG zzG zK 1lim(1) ( )vzKzG z2 2）單位斜坡輸入：）單位斜坡輸入：定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)對(duì)于0型和型系統(tǒng) ，穩(wěn)態(tài)誤差為對(duì)于型 為常值, 也為常值0vKssevKsse

49、23222211(1)( )2(1)1(1)1( )lim(1)lim1( ) 2(1)(1)( )zzT z zR zzT z zezTG zzzG z 21lim(1)( )azKzG z3 3）單位加速度輸入：）單位加速度輸入： 采樣系統(tǒng)誤差除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信采樣系統(tǒng)誤差除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號(hào)有關(guān)外，還與采樣周期有關(guān)，縮小采樣周期可號(hào)有關(guān)外，還與采樣周期有關(guān)，縮小采樣周期可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。以減小穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)型別系統(tǒng)型別位置誤差位置誤差速度誤差速度誤差加速度誤差加速度誤差0 0型型1 1型型0 02 2型型0 00 01pKvTK2aTK例例 采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示

50、，設(shè)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，設(shè)T=0.2sT=0.2s，輸入信號(hào)為，輸入信號(hào)為求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。21( )12r ttt tr tyT te te*215 . 010ss1eTss解：解： 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為2133210(0.51)1 5(1)5( )(1)(1)(1)szT z zTzG zzZszzz解：解： 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為2133210(0.51)1 5(1)5( )(1)(1)(1)szT z zTzG zzZszzzT=0.2sT=0.2s時(shí)時(shí)21.20.8( )(1)zG zz系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征

51、方程為 20.80.20zz1,20.4j0.2所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定 ,0.4pvaKKK 所以采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為所以采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為 21( )0.1pvaTTeKKK 關(guān)于采樣時(shí)刻之間的波紋引起的誤差關(guān)于采樣時(shí)刻之間的波紋引起的誤差 0TT2T3T4T5)(tyt由于采樣，系統(tǒng)中增加由于采樣，系統(tǒng)中增加了高頻分量，造成了采了高頻分量，造成了采樣間隔的紋波如圖所示。樣間隔的紋波如圖所示。它們同樣影響到采樣點(diǎn)它們同樣影響到采樣點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)誤差，所以在用的穩(wěn)態(tài)誤差，所以在用上述方法求誤差時(shí)，嚴(yán)上述方法求誤差時(shí)，嚴(yán)格說還應(yīng)將它們也考慮格說還應(yīng)將它們也考慮進(jìn)去。分析紋波須應(yīng)用進(jìn)去。分析紋波須應(yīng)

52、用修正修正z z變換法。變換法。 采樣時(shí)刻間的紋波采樣時(shí)刻間的紋波 8-6 8-6 最少拍采樣系統(tǒng)的校正最少拍采樣系統(tǒng)的校正 在采樣系統(tǒng)中通常將一個(gè)采樣周期稱之為一拍，在采樣系統(tǒng)中通常將一個(gè)采樣周期稱之為一拍，若在典型輸入信號(hào)作用下，經(jīng)過最少采樣周期，若在典型輸入信號(hào)作用下，經(jīng)過最少采樣周期，系統(tǒng)的采樣誤差信號(hào)減小為零實(shí)現(xiàn)完全跟蹤，系統(tǒng)的采樣誤差信號(hào)減小為零實(shí)現(xiàn)完全跟蹤，則稱之為則稱之為最少拍系統(tǒng)最少拍系統(tǒng)。 sR sY sE zD sGh sG0TT具有數(shù)字控制器的采樣控制系統(tǒng)具有數(shù)字控制器的采樣控制系統(tǒng) 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) B( )( ) ( )( )( )1( ) ( )Y

53、 zD z G zGzR zD z G z誤差脈沖傳遞函數(shù)為誤差脈沖傳遞函數(shù)為( )1( )( )1( ) ( )EE zGzR zD z G z( )1( )BEGzGz 且求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為 B( )( )( ) 1( )BGzD zG zGz或或 1( )( )( )( )EEGzD zG z Gz 最小拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是針對(duì)典型輸入作用進(jìn)行的最小拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是針對(duì)典型輸入作用進(jìn)行的. . 典型輸入信號(hào)的典型輸入信號(hào)的z z變換可以表示為如下一般形式變換可以表示為如下一般形式1( )( )(1)A zR zz所以有所以有 1( )( )( ) ( )( )(1)EEA zE zGz R zGzz根據(jù)終值定理，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)終值定理，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 11111( )( )lim(1) ( )lim(1)( )(1)EzzA zezE zzGzz 根據(jù)終值定理，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)終值定理，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 11111( )( )lim(1) ( )lim(1)( )(1)EzzA zezE zzGzz 要使系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差要使系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差 1( )(1)( )EGzzF