類比遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用與應(yīng)用

1、類比遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用與應(yīng)用摘要 ：數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的能力的一門重要學(xué)科，對大多數(shù)人而言，數(shù)學(xué)思想方法比形式化的數(shù)學(xué)知識更加重要，在生活和工作中發(fā)揮著更為重要的作用，其中類比法貫穿知識始終，它對學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，乃至未來的分析、探索問題，合情猜測和推理結(jié)果。本文結(jié)合目前高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對學(xué)生類比推理能力的培養(yǎng)舉措進行探討，論述了類比推理的重要性，以及它在學(xué)生能力培養(yǎng)上所發(fā)揮的作用。關(guān)鍵詞 ：數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)類比 遷移數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的能力的一門重要學(xué)科, 從小學(xué)到中學(xué), 乃至到了大學(xué)，學(xué)生都為它投入了大量的時間和經(jīng)歷. 有學(xué)生是這樣評價他的數(shù)學(xué)經(jīng)歷：小學(xué)數(shù)學(xué)老師教會了我加、減、乘、除, 初中數(shù)

2、學(xué)老師教會了我乘方、開方, 高中數(shù)學(xué)老師教給了我數(shù)學(xué)理念新課標(biāo)也指出：高中數(shù)學(xué)課程對于認識數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類社會的關(guān)系，認識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、文化價值，提高提出問題、分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)性的作用.統(tǒng)計數(shù)字也表明：學(xué)生畢業(yè)后，研究數(shù)學(xué)和從事數(shù)學(xué)教育的人占1%，使用數(shù)學(xué)的人占29%，基本不用或很少用數(shù)學(xué)的占70%.對大多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)思想方法比形式化的數(shù)學(xué)知識更加重要，因為前者更具有普遍性，更能在他們未來的生活和工作中發(fā)揮作用。聯(lián)合國教科文組織的數(shù)學(xué)教育論文專輯中曾敘述過這樣一個典型的例子：我們能確信三角形面積公式一定是重要的嗎？很多人在校外生活中使

3、用這個公式至多不超過一次。更重要的是獲得這樣的思想方法：就是通過分割一個表面成一些簡單的小塊，并且用一種不同的方式重新組成這個圖形來求它的面積值 . 這個見解也映證了數(shù)學(xué)思想方法是提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的關(guān)鍵.一、問題的提出高中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法有很多，其中類比法在高中數(shù)學(xué)的許多方面都發(fā)揮著積極作用. 人們已經(jīng)公認，類比是人類獲得新知和解決問題的重要機制之一。美國數(shù)學(xué)家波利亞對類比法推崇倍至，他在怎樣解題的第三部分探索法小詞典里 , 首先談到的即是類比。他認為: “在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學(xué)成就中無不充滿了類比。類比可在不同的水平使用”，“我們希望能預(yù)測結(jié)

4、果，或者，至少在某種似乎可信的程度上預(yù)測結(jié)果的某些特征. 這種似乎可信的預(yù)測通常是以類比為基礎(chǔ)的”.根據(jù)類比領(lǐng)域?qū)＜褿enter 的觀點，類比是知識從一個領(lǐng)域（源領(lǐng)域）向另一個領(lǐng)域(目標(biāo)領(lǐng)域)的映射，源情景事物之間存在的關(guān)系系統(tǒng)也存在于目標(biāo)情景的 事物之間時，類比便有可能發(fā)生.因此類比方法也稱為類比推理，它是從特殊到特 殊的推理，是物體共有關(guān)系的遷移，而不遷移其中的物體或物體屬性.類比推理具 有如下形式：A具有性質(zhì)行2Fn,PB具有性質(zhì)Fi；F2：F；,推測B具有性質(zhì)P'.這里，p分別與Fi,F2,Fn,P相同或相似.A和B指不同的對象或不同的事物二、類比推理對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的作用與重要

5、性類比不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用一一例如瑞士數(shù)學(xué)家哈德歐拉通過類比成功地解決了另一個瑞士數(shù)學(xué)家雅克伯努利所沒有解決的“求所有自然數(shù)平方 一 *1 O *1 o Io 的倒數(shù)之和，即1+(1)2+(1)2+()2+川的和”的問題，并用同樣的方法發(fā)現(xiàn)了萊布234尼茲級數(shù)的和，即11十11十"I =工,再如柯爾莫戈洛夫?qū)⒏怕屎蜏y度作類比,解 3 5 74決了長久以來存在的概率含義缺乏堅實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的困擾，得到公理化概率論；它在 其他科學(xué)發(fā)揮著巨大的作用一一物理學(xué)家盧瑟福曾將原子內(nèi)部的情況和太陽系類 比mft后得出原子結(jié)才的行星模型說，原子極小，而宇宙博大，二者竟如此相像，類 比思想確具創(chuàng)造

6、性.1.類比法能有效溝通新舊知識，突破教學(xué)難點心理學(xué)研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”范圍之內(nèi)時，學(xué)生更容 易獲得成功，這種成功感可以有力地保證學(xué)生不會因過多的失敗而放棄他們的努 力，失去發(fā)現(xiàn)的機會.同時，應(yīng)用類比法，可以促使學(xué)生回顧舊知，嘗試在已有知 識的基礎(chǔ)上，去發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、構(gòu)建新知識，可以有效的實現(xiàn)舊知識在新內(nèi)容中的正 遷移，幫助學(xué)生建立新舊知識的聯(lián)系，突破教學(xué)難點，降低教學(xué)難度，這也符合建構(gòu) 主義的學(xué)習(xí)理論.例如，立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難點，如果教師能夠利用 學(xué)生已有的平面幾何知識，將二維的知識概念類比到三維的學(xué)習(xí)中，就可以降低 學(xué)習(xí)立體幾何的難度.例1:立體幾何二面角

7、概念的學(xué)習(xí)角二面角B B圖形 aA3 B/頂點Ba“/ 邊Aa圖2B Z定義從平面內(nèi)一點引出的兩條射線(半直線)所組成的圖形從空間一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形表小法ZAOB (邊一頂點一邊)二面角a -a -P (面一棱一面)例2:類比平面向量的坐標(biāo)表小，得到空I可向量的坐標(biāo)表小平面向量的坐標(biāo)表示：分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 、j作 為基底,若a=xi + yj，記作a = (x,y).把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo), i =(1,0), j =(0,1), 0 =(0,0).空間向量的坐標(biāo)表示：在空間選定一點o和一個單位正交基底：j,k,若a = aii +a

8、2 j +a3k，則有序頭數(shù)組(4e2e3)叫作向重a在仝間直角坐標(biāo)系O-xyz中 ,一 . . . .的坐標(biāo)，記作 a =(為總自).i =(1,0,0) ; j =(0,1,0) ; k =(0,0,1)；例3:由平面向量的直角坐標(biāo)運算律類比得到空間向量的直角坐標(biāo)運算律:環(huán)節(jié)1:復(fù)習(xí)平面向量的坐標(biāo)運算，右a=(a1,a2), b =(«'),貝U a + b =(a +匕 +b?) , a b =(a1 b1, a2 b2),九a =(九a，Kl),4才a b = a1bl a2b2v曰十一L,八.兩向重平仃與垂直的充要條件：ab。Ky2-x2y1=0, a_Lbu*2+

9、乂丫2 = 0若 A(x1,y1), B(x2,y2),則 AB =儀2 x1，y2 y1)，AB 中點 坐標(biāo)為xL_xL y y2(-,-)22環(huán)節(jié)二：類比得空間向量的直角坐標(biāo)運算：J, 、 ？右a=(a,a2,a3) , b =3也，4), 戶，r貝I a +b =(a1 +t1,a2 +b2,a3 +bs) ； ab =(a1 一t1,a2 一bj ；九a =(九a1，九a2,八氏)(九 R R) ; a b =&bi +a2b2 +a3b3,L/一 ；、一一， cabu a=Abu a1 = Kb1,a2 = Kb2,a3 = ?.b3(九匚 R) , a L bu a1bl

10、+ a2b2 +a3b3 =0 若 A(x1，y1, z1)，B(x2, y2Z),則 AB = (x? x，y2 y1，Z2 z1), AB 中點坐標(biāo)為( x1X2y1y2 z1z2)(,)2222 .類比法可以實現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷和體驗創(chuàng)造性解決問題的過程高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準提出不僅要教給學(xué)生基本的數(shù)學(xué)知識，更要引導(dǎo)學(xué)生去 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，感受數(shù)學(xué)理念，體會數(shù)學(xué)思維的嚴密性與深刻性.但是探索、 研究、創(chuàng)新需要有堅實的知識作為基礎(chǔ)，而類比方法與思想在解決問題中的應(yīng)用， 可以讓過程成為問題解決的有機組成部分.因為在運用類比得出數(shù)學(xué)結(jié)論之前，學(xué) 習(xí)者必然對兩個對象進行比較，找到它們的對應(yīng)部分，并明確其具有

11、的某些一般特 征，即發(fā)現(xiàn)可類比的對象，把觀察到的結(jié)果加以綜合類比，清楚類比對象中結(jié)論的 來源，然后對想要得到的結(jié)論進行猜測，推測證明的思路，最后證明或推翻猜測.3 .應(yīng)用類比法有利于激發(fā)學(xué)生探索，獲得“ 再發(fā)現(xiàn)”的體驗在進行類比和知識遷移的過程中，學(xué)生是作為一個探索者、研究者和發(fā)現(xiàn)者而 去進行研究的，這使得學(xué)生能從中獲得了大量探索發(fā)現(xiàn)的機會.同時，類比思維在 數(shù)學(xué)知識的延伸拓展過程中常借助于比較、聯(lián)想，用作啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變 異和發(fā)散，因此，類比方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法 .例如在學(xué)習(xí)立體幾何中，學(xué)生 可以利用平面幾何中已有的性質(zhì)定理，探索和研究立體幾何中的相關(guān)性質(zhì).“平行四邊形的對角線互相

12、平分” 一名“平行六面體的對角線交于一點, 且互相平分”；“等腰三角形的高通過底邊的中點” 一出 “正棱錐的高通過底面的中心”； “在同一三角形中兩邊之和大于第三邊”一小“在同一三棱錐中三個面的面積之和大于第四個面的面積”；三角形具有“四心”（內(nèi)心、外心、重心、垂心）一小 三棱錐也可能具有“四 心”通過這樣的類比分析，可以調(diào)動學(xué)生思維的積極性，而且在探索結(jié)果的同時， 既使知識深化，又貫徹了課堂教學(xué)精講和學(xué)生自主探索的原則。4 .應(yīng)用類比法可以加深學(xué)生對知識點的理解學(xué)生在進行基礎(chǔ)知識講解，解題指導(dǎo)時，往往只注意到知識點和題目的一些外 在形式，而忽略了一些本質(zhì)特征（如其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法），忽

13、視知識點、 相關(guān)題目之間的聯(lián)系，這容易造成學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)解題盲點，無法將所學(xué)知識，所 掌握的解題方法、技巧順利地應(yīng)用到獨立解題中。而類比遷移，可以學(xué)生將所學(xué) 知識、技能進行分析比較，找到它們之間的相互聯(lián)系和區(qū)別，探明其形式和本質(zhì) 的統(tǒng)一，從而使問題得到圓滿的解決.5 .用類比法構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，使知識更加系統(tǒng)化在進行知識復(fù)習(xí)時間，若將各知識點分散復(fù)習(xí)，學(xué)生不易掌握，且層次不清.而 如果能引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法進行知識點歸納整理、方法總結(jié)，就可以將有關(guān)知識 進行類比，把一些有內(nèi)在聯(lián)系的知識串聯(lián)起來，建構(gòu)一定的知識網(wǎng)絡(luò)，這可以加深 對知識的理解和掌握.如復(fù)習(xí)圓與圓錐曲線時，可以通過離心律e在(0,y)的變化

14、， 以及圓是橢圓長短軸相同的極限情況，類比各種二次曲線，舉一反三地綜合復(fù)習(xí)圓 與圓錐曲線的圖象與性質(zhì).當(dāng)然在應(yīng)用類比進行綜合復(fù)習(xí)時間，一定要明確他們的 區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用一分為二的辯證唯物主義觀點看問題的世界觀，以免出現(xiàn) 知識負遷移的情況.三、類比法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用高中數(shù)學(xué)的理論性、抽象性強，需要在對知識的理解上下功夫，要多思考，多 研究。按尋找類比對象的角度不同，類比常分為降維類比、結(jié)構(gòu)類比、簡化類比 等類型.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類比思想主要有以下幾方面的應(yīng)用：1.個別到一般的推廣應(yīng)用模式：從具體問題或具體素材出發(fā)一實驗一歸納一推廣一形成普遍命題一 一證明一類比一一聯(lián)想一一預(yù)見一

15、一1119例4:已知A,B,C是AABC的內(nèi)角，求證：-1+-+->9ABC：證：3礪.二B C二三一1=3=933 A B C 3 ABC 三 二311132 +_ + 一 >_ABC:運用類比：在四邊形ABCED,有A B C D 2 二2在五邊形 ABCDE, 有 一+ + + + 2 A B C D E 3 -通過歸納、猜想：2n(n -2)二n 1在N邊形A1A23 An中，有工一之 y A2 .某種特性的推廣使用：例5: (2003年上海春招)設(shè)f(x)=，利用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方2x .211法倒序相加法，求f()+f(X)+H| + f(0) +川+ f (5)

16、 + f (6)的值為分析：與等差數(shù)列前n項和的方法即利用 f (x)，f(1 -x)=倒序相加法相類比,112x ,22T. 2 - 2設(shè) S=f( 十 f(十 Hl+f(0)十 | 十 f(5)+ f(6),S = f (6) + f (5) + HI + f (0) +| 11 + f (4) + f (-5),2S =12f (") + f (6)=堆，：S=342 .21212o 13o13o 13應(yīng)用類比：求31 一叩F3 的值.3行323花323謳32a，一歸納總結(jié)：若 f(x)=r尸(a>0,aw R),恒有 f (x) + f (1 x) = 1 a - ax

17、例6:在一元二次函數(shù)y = a(x-m)2+n的基礎(chǔ)上，類比研究含有絕對信函數(shù)y =a x m+n的圖象與性質(zhì)，進步還可研究y=pax2五%，y=pax"l*,ax2 -bx -cy =嗝例7:已知函數(shù)f(x)=W+x2當(dāng)a#b時,比較f(a)-f (b)與a-b的大小分析：此題用常規(guī)解法作差或作商法較為煩瑣.注意到f (a) f (b)與a b和,y =l0gp(ax-m+n)的圖象與性質(zhì)(對稱性、奇偶性、單調(diào)性、定義域、值域).3 .數(shù)與形的類比，構(gòu)造關(guān)聯(lián)問題，拓寬解題思路某些待解決的問題沒有現(xiàn)在的類比物，但可通過觀察，憑借結(jié)構(gòu)上的相似性 等尋找類比問題，然后可通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q，將

18、原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決.如類 比兩點間的“距離”公式是解決許多代數(shù)問題的策略：B(1,b),的距離,平面上兩點間的距離在結(jié)構(gòu)上極為相似.所以在坐標(biāo)系中，設(shè)點A(1,a)和點 則f(a) =j1+a2表示點A到原點的距離，f (b)=，1 + b2表示點B到原點a-b表示A,B兩點的距離，在4OAB中，由“兩邊之差小于第三邊”有OA-OB <AB ,所以 f (a) - f (b) <|a 一b .例8:求函數(shù)y= Jx2 +4 +Jx2 4x + 5的最小值分析：觀察式子，類比兩點 A(xi, yi) , B(x2,y2)之間的距離公式:AB = J(k x2)2十(y1,猜想

19、可以應(yīng)用y = V(x-0)2 +(0-2)2 +V(x-2)2+(0-1)2 ,設(shè)動點 P(x,0)為x軸上的點，A(0,2), B(2,1)為定點，問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo) 平面上兩點間的距離之和，即求 y=|PA+|PB的最小值。即在x軸上找一點P, 使得點P到A, B的距離之和最短，這就是將代數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的最值 問題.4 .類似知識點的遷移類比探索例9: (2000年上海卷)在等差數(shù)列an中，若a10 = 0 ,則有等式ai+a2十川 + an =a+a2+IH+ai9_n(n <19,nw N )成立,類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地等比 數(shù)列bn中，若b9 = 1 ,則有等式成立.分析

20、：等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩類特殊的數(shù)列，在很多地方有相同或相似的性 質(zhì)，如：若p,q,s,t是正整數(shù)，且p +q =s + t ,若an成等差數(shù)列，則有 ap + aq = as + at若bj成等比數(shù)列，則類似的結(jié)論是ap aq = as at .在解答問題 時，能類比等差數(shù)列的性質(zhì)，分析等比數(shù)列所具備的類似關(guān)系，就不難解決此問 題.變式：(2004年北京)定義“等和數(shù)列”，在一個數(shù)列中，如果每一項與它的 后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的 公和.已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且4=2,公和為5.那么加的值為，這個數(shù) 列前n項和Sn的計算公式為 .分析：此題類比等

21、差數(shù)列定義給出“等和數(shù)列”定義，解決此類問題要認真理 解所給出的定義，結(jié)合所學(xué)知識尋求正確解決方法 .例10: x2+y2=r2由直徑所對的圓周角出發(fā)，可得若 AB是圓。的直徑，M是 22圓O上異于A,B的任意一點，則有kAM kBM =1，那么對橢圓與+與=1(aAb>0)和 a b22雙曲線J 一4=1,猜想是否有類似的結(jié)論. a b5 .簡化類比，培養(yǎng)思維的靈活性簡化類比，就是將原命題類比到比原命題簡單的類似命題 ，通過類比命題的 解決思路和方法的啟發(fā)，尋求原命題解決思路與方法.比如可先將多元問題類比 為一元或二元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題等，這樣 可以溝

22、通數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系，激活學(xué)生的思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維 的靈活性.6 .從低維到高維，平面到空間推廣的類比拓展學(xué)生在初中階段所學(xué)習(xí)的平面幾何，高中階段學(xué)習(xí)的平面向量都是二維層次上的學(xué)習(xí)，而立體幾何以及借助于空間向量研究立體幾何的相關(guān)性質(zhì)都都是三維層 次上的學(xué)習(xí)。當(dāng)研究的對象從平面擴展到空間時，盡管有一些性質(zhì)、結(jié)論發(fā)生了 變化，但仍有許多東西與平面幾何相同或類似.所以學(xué)習(xí)立體幾何，最重要的方法 之一就是與平面幾何類比.將三維空間的對象降到二維（或一維）空間中的對象，此 種類比方法即為降維類比.在降維類比的方法中，常常體現(xiàn)在雙向聯(lián)想的結(jié)合，即 由平面幾何問題類比聯(lián)想到立體幾何中去，又運

23、用類比聯(lián)想的思維方法將立體幾 何問題化歸為平面幾何問題去思考.對此科學(xué)家開普勒也曾有精辟的論述，“我珍 視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能提示自然界的秘密，在 幾何中它應(yīng)該是最不可忽視的.”例11:平面與空間的類比平向空間等腰二角形的圖通過底邊的中 點;正多邊形的對角線互相平分正棱錐的圖通過底面的中心在RJ一二角形中兩邊之和人丁弟三邊在同一三棱錐中三個面的面積之和大于第 四個面的面積直角三角形勾股定理c2 =a2 +b2直角四間體，D為斜面，A、B、C為直角面 記D,A,B,C為四個面的面積，有D2 =A2 + B2 +C2若M為正三角形內(nèi)點，則M到 三角形各邊的跑離之和為定值.若M為正四面體內(nèi)任一點，則M到四面體 各面的跑離之和為定值.若從點O所做的兩條射線OM ON 上分別有點Mi, M2與點2小2 ,則三 角形面積比SM= OM1 ON1SOM?” OM2 ON2從點O所作的不在同一平卸內(nèi)的三條射線OP OQ口 OR±,分別有點用上2,