2006-2008學(xué)年第1學(xué)期線性代數(shù)B期終考試試卷A

1、西南交通大學(xué) 20062006 - 20082008 學(xué)年第（一）學(xué)期考試試卷課程代碼 21000242100024課程名稱線性代數(shù) B B 考試時(shí)間 120120 分鐘注意：1 1 答題前，請?jiān)诿芊饩€內(nèi)清楚、正確地填寫班級、學(xué)號、姓名;2 2 請將填空題和選擇題的答案填寫在指定的位置，一、填空題（每空 4 4 分，共 2424 分）心 4 4，則AX =：的通解為:2x17 7設(shè)f(x)口2x，則f（x）為（）（）(A)(A)-1-1 ；(B)(B)1 1(C)(C)-17-17 ;(D)(D) 仃寫在其它地方不得分。1 1設(shè)：=(1 1 1)T,=(1 -11）T，則2 2設(shè)V =X|AX

2、=0?，則V（是/ /不是）向量空間;3 3已知 3 3 階方陣A有特征值-1-1,1 1 , 2 2,先o o_則2A + A2- E= =4 4 設(shè)矩陣 A=A=（仆2,3 3，4）,其中:-:-2 2,： 3 3,：4 4線性無關(guān)，且： = =3 3：2 2- - 2 2：3 3，5 5設(shè)A二-2-1，則A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組為:-1二、選擇題（每小題 4 4 分，共2424 分)6 6 行列式(A(A)(B(B)(C(C)(D(D)013012A=()8 8 設(shè)A、B均為n階可逆方陣，下列各式正確的是()()(C)(C)(AB)T二ATBT；(D)(D)I A B冃A I I

3、 B I。9 9 若 4 4 階方陣A的行列式等于零，則必有()(A)(A)A中至少有一行向量是其余向量的線性組合(B)(B)A中每一行向量都是其余行向量的線性組合(C)(C)A中必有一行為零行(D)(D)A的行向量組線性無關(guān)1010 .設(shè)A為n階方陣，則()(A)(A)A的特征值一定都是實(shí)數(shù)(B)(B)A必有n個線性無關(guān)的特征向量(C)(C)A可能有n+1+1 個線性無關(guān)的特征向量(D)(D)A最多有n個互不相同的特征值1111 設(shè)非齊次線性方程組Ax = b的未知量個數(shù)為n,方程個數(shù)為m，則在條件()()成立時(shí)，Ax =b定有解。(A)(A)矩陣A的列向量組線性無關(guān);(C)(C)矩陣A的行

4、向量組線性無關(guān);三、計(jì)算題(4646 分)322223221212、計(jì)算行列式D =22322223(A)(A)| A|V I A|；(B)(B)(AB宀BJAJ；(B)(B)矩陣A的列向量組線性相關(guān);(D)(D)矩陣A的行向量組線性相關(guān)。(6(6 分)1313、設(shè)矩陣A二0llra= 1,a=入,a=i，向量B=入1、入入取何值時(shí)1414、設(shè)向量組A:問，8 8 設(shè)A、B均為n階可逆方陣，下列各式正確的是()()0 120，矩陣X滿足A X 4A = A X，求矩陣X。( 8 8 分)0 3(1(1)B能由A惟一表示？ ( 2 2)B不能由A線性表示?(3(3) B B 能由A線性表示但表達(dá)

5、式不惟一？(8(8 分)15、已知二次型f (Xi i，X2 2，X3H3H-2X! !X2 22X! !X3 32X2 2X3 3，記X =(Xi i,X2 2,X3 3) )T,請?jiān)O(shè)立合適的變量建立并求解方程確定該食譜。（精確到小數(shù)點(diǎn)后 1 1 位）（1 1）寫岀該二次型的矩陣A；（2 2） 求一個正交矩陣Q，使得QTAQ=_I為對角陣；（3 3） 寫出該二次型在正交變換X =QY下的標(biāo)準(zhǔn)型，其中Y = （% , y2, y3）T（4 4）該二次型是否為正定二次型，只需回答是或者不是。（1414 分）10 1、r-i00、16、設(shè)p-1AP= A,其中P =020 ,A=020，求A8。（

6、 1010 分）0 2應(yīng)用題（1717、1818 選做 1 1 個）（6 6 分）1717、某地的道路交叉處通常建成單行的小環(huán)島，如圖所示，請求岀該網(wǎng)絡(luò)流通解，并找岀1818、一個飲食專家計(jì)劃一份膳食，提供一定量的維生素C,C,鈣和鎂。其中用到了 3 3 種食物,它們的質(zhì)量用適當(dāng)?shù)膯挝挥?jì)量。這些食品提供的營養(yǎng)以及食譜需要的營養(yǎng)如下表給岀:營養(yǎng)單位食物所含營養(yǎng)（mgmg需要的營養(yǎng)總量（mgmg食物 1 1食物 2 2食物 3 3維生素 C C101020202020100100鈣505040401010300300鎂303010104040200200 x6的最小可能值。（圖上箭頭為車行進(jìn)方向x

7、1,x2,x3,x4,x5,x6為所標(biāo)路段上的車流量）數(shù)字為每小時(shí)車流量，線性代數(shù) B B參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)、填空題答案填寫處(每空3 3 分)：(1 1). 1 1 (2 2).是(3 3). _-16_-16_1、0、1、1-34-3(4).+ C,2 R或+ c,CE R； (5 5) (1 1)任意三列(2 2) 3 3;12-12J丿丿J丿丿、選擇題答案填寫處(每題 4 4 分)：三、1 1、計(jì)算D =解:-(3)(5)-(6)o(6 6 分)注：本題有多種解法,只要行列式性質(zhì)使用正確，并且結(jié)果正確即可給滿分;1 02 2、設(shè)矩陣A=02I1 0*20，矩陣X滿足A X 4A = A

8、 X，求矩陣Xo( 8 8 分)3因?yàn)锳 X 4A = A?X所以AA* *X 4A A3AX .2 2 分2(4E _ A)X = A (A_4E).4 4 分011A - 4E = | 0-10 1，A-4E一8式0，故A4E可逆110-3.JX -A.6 6 分J 20-4、X =0-40.8 8 分-40-10注：此題如有其它解法，只要計(jì)算過程及結(jié)果正確，均可給滿分。（i i）B能由A惟一表示? （ 2 2）B不能由A線性表示? （ 3 3）B能由A線性表示但表達(dá)式不惟一?| X2 X3= 1方法一：原題等價(jià)于Xt+ &2 + X3 = k的解的存在性問題則2+ x2+ 扎x3

9、= &X 11原方程組的系數(shù)行列式為：A = 1 k 1 =（扎一1）2（入十2）2 2 分11人（1 1）當(dāng) D D 工 0 0，即.1且，-J-2時(shí)，由 CramerCramer 法則知道，原方程組有惟一解，故可惟一表示.3 3 分（2 2 ）當(dāng)二-2時(shí)，對方程組的增廣矩陣作初等行變換如下：-2111、r11_24、1-21_20-33_6解:3 3、設(shè)向量組A：F1、廣1、1 =1,=k，口3 =1(8(8 分)取何值時(shí)11_24000一3系數(shù)矩陣的秩為 2 2，增廣矩陣的秩為 3 3,此時(shí)，方程組無解,故B不能由A線性表示5 5 分(3 3 )當(dāng)冬=1時(shí)，對方程組的增廣矩陣作初

10、等行變換如下：(1111、r111A1111000011000系數(shù)矩陣的秩為 1 1，增廣矩陣的秩為 1 1,未知量的個數(shù)為 3 3,此時(shí)， 方程組有無窮多解。這時(shí)B能由A線性表示但表達(dá)式不惟一方法二：原題等價(jià)于x2x3= 1x的解的存在性問題則增廣矩陣為:1(1)(2)x1x2；x3_1 100a-1)仏+2)(-1)( 1)2R(A)二R(A)=3，即=1,一2時(shí),原方程組有惟一解。故可惟一表示4 4 分當(dāng)，=_2時(shí),對方程組的增廣矩陣作初等行變換如下:-2111、r1_24、1-21_20-33_611_24000一3系數(shù)矩陣的秩為 2 2，增廣矩陣的秩為 3 3,此時(shí)，方程組無解。故B

11、不能由A線性表示(3(3 )當(dāng)=1=1 時(shí),且滿足QTAQ = I二diag(-2,1,1)1010 分對方程組的增廣矩陣作初等行變換如下:1111、r(1111A111100001100系數(shù)矩陣的秩為 1 1，增廣矩陣的秩為 1 1,未知量的個數(shù)為 3 3,此時(shí),方程組有無窮多解。這時(shí)B能由A線性表示但表達(dá)式不惟一8 8 分4、已知二次型f （XpX2 2，x3） = -2x1x22x, ,x32x2x3，記X=（兒，x2, x3）T,（1 1）寫岀該二次型的矩陣A； （2 2 分）（2 2） 求一個正交矩陣Q，使得QTAQ=用.為對角陣；（8 8 分）（3 3）寫出該二次型在正交變換X二Q

12、Y下的標(biāo)準(zhǔn)型，其中Y= （%, y2, y3）T； （2 2 分）（4 4）該二次型是否為正定二次型，只需回答是或者不是。（2 2 分）解：0-11（1 1）二次型的矩陣 A A = =-101（2 2）方陣 A A 的特征多項(xiàng)式為丸-1pp“) )=| AXE |= 1k1 1令P（） =0，解得特征值為1=-2，八2 = 3=1.將1- -2,2二爲(wèi)=1.分別代入方程組（A - E）x=0, ,可得特征向量分別為-1所求正交矩陣-（q1,q2,q3），11=(丸一1)2(丸+2)-1-1對它們進(jìn)行 schimidtschimidt正交化再單位化后得到3（1010）注：此題還可以通過比較兩個

13、矩陣的特征多項(xiàng)式從而得到最終的結(jié)果，此時(shí)，只要計(jì)算過程及結(jié)果正確，即可得到滿分。石 -x2= 100 x2_ x3= _50X3 3- X4 4=120 xx -150X5 5 一X6 6 二80 x6- 兒=-100（3 3）該二次型在正交變換X =QY下的標(biāo)準(zhǔn)型為:1212 分（4 4）不是。1414 分n 0 vr-i 0 015 5、設(shè)P-AP = A,其中P =020,A=020,求A8。（ 1010 分）_101(3)A二(4)P-1AP =A二p上p_1二A8(6(6) )-11JI小8cI c“c02002800 %0J0 200381一1 01-3838(7(7) )-1I22 382 38-128四八 1 1、解：據(jù)題意列方程組得:x x520X2 2 =