2018全國3卷第21題的命題背景及解法探究

1、20182018 全國 3 3 卷第 2121 題的命題背景及解法探究0；例. .（20182018 全國 3 3 卷第 2121 題）已知函數(shù)f x2x ax Inx 1 2x(1)(1)0,證明：當(dāng)1 x 0時(shí),0;當(dāng)x0時(shí)，f(2)(2)0是f x的極大值點(diǎn)，求【解析】(1)(1)0，則f x 2x In2x2 In x2xx 2In竺，則g xx 21Flx2所以0,單增，又因?yàn)間 0故當(dāng)0時(shí),0時(shí),(2)(2) 嘗試一:（極大值點(diǎn)的第二充要條件：已知函數(shù)x在x X0處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù),x0是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前2n1階導(dǎo)數(shù)等于 0 0,第2n階導(dǎo)數(shù)小于 0 0。f x

2、2ax In x2 x ax22,2ax In x2aInx 3ax 4a 1廠,f0f x2ax26ax旦，由f x下證：當(dāng)x的極大值點(diǎn),f xx 13，所以fx在1,0單增，在（進(jìn)而有f x f 00,從而f x在1,單減,當(dāng)x1,0時(shí)，f xf 00，:當(dāng)x 0,時(shí)，0,1xx 6f x f從而f x在1,0單增，在0,單減，所以x 0是f x的極大值點(diǎn)。單減20182018 全國 3 3 卷第 2121 題的命題背景及解法探究0；（點(diǎn)評：計(jì)算量很大，但不失為一種基本方法，激勵(lì)熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學(xué)習(xí)，學(xué)而致知?；诖?，還可以從大學(xué)的角度給出一種解法。通過

3、12xy ln x 1在1,2階的帕德逼近可得In x 12，且兩個(gè)函數(shù)在x 0處兩12 6x x2個(gè)函數(shù)可以無限制逼近，估計(jì)這也是考試中心構(gòu)造這個(gè)函數(shù)的方法。由此可以迅速得到1a一，我們也可以根據(jù)帕德逼近把此題的對數(shù)函數(shù)改為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，構(gòu)造出相6應(yīng)的題目。嘗試一難點(diǎn)在于f x的各階導(dǎo)數(shù)太復(fù)雜，由帕德逼近優(yōu)化其解法。引理1 1 :若yf x與g xp x在x xo處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相同，則q xh xq x f x p x在x Xo處導(dǎo)數(shù)為0. .證明：p x q x p x q x h x q x f x q x f x px，g x2q x因?yàn)閒xog xo，且fXog xo，代入

4、化簡即證：hXo0的一個(gè)充要條件為前2n 1階導(dǎo)數(shù)等于 o o，第2n階導(dǎo)數(shù)小于 o o。f x12ax In2 x ax2V,A2，A1x 12令m x12 ax In x121，u XXax 2X1則易得m ou o，m ou o，mou o，由引理 1 1 知，m o u o等價(jià)于f x o，從而迅速求得a1當(dāng)a時(shí)，f4o o6嘗試二：若xo是f x的極大值點(diǎn)，注意到f o o，得到一個(gè)恒成立問題，其基本方法之一有分離參數(shù)法。f x2xln x 1a In x 1引理 2 2 :已知函數(shù)yf x在x Xo處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù),x Xo是函數(shù)的極大值點(diǎn)則存在充分接近于0的，使得當(dāng)x,o時(shí)，f x o,當(dāng)x o,時(shí)，f x o *x2對任意的x 1,，都有2xln x 1 o，進(jìn)而有2xln x 1lim0當(dāng)limx 0 xln x 1x 12xln x12xx 1xln x 1x 12x ln x12xlimx 0 x 1當(dāng)x 0,時(shí)，a0時(shí)，a limx 021 ln x 1,0時(shí)，a0時(shí)，a limx 0ln x 1x 12xln x 13x24xlnx 12xln x 1limx 04ln x 12 x 1 6x 4ln xx 12x ln x 1