拋物線與三角形地面積

1、拋物線與三角形的面積拋物線與三角形面積相結(jié)合的問題涉與代數(shù)、幾何的許多定理、公式，有一定的難度，近年來(lái)的中考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)拋物線與三角形面積結(jié)合的綜合題，以考查學(xué)生的綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。這節(jié)課我們共同來(lái)探索一下頂點(diǎn)都在拋物線y ax2 bx c上的三角形面積的求法。2 2 41、拋物線：y -x2 -x 233(1)求拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)與頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)畫出拋物線的草圖；設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D。求：4 DA*口 CAB的面積；四邊形ABCM面積；匕ACD的面積(4)求直線AC的解析式；5拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) P在直線AC上方，問：是

2、否存在一點(diǎn) 巳 使 PAC的面積最大，假如存在，求出 PAC的最大面積與P點(diǎn)坐標(biāo); 假如不存在，請(qǐng)說明理由。2、如圖，拋物線y x2bx C 與 x 軸交與 A(1,0),B(- 3, 0)兩點(diǎn), 練習(xí)：1、在ABC, Z A= 90° , AB= 4, AC= 3, M是AB上的動(dòng)點(diǎn)不與 A, B重合，過 M點(diǎn)作 MN BC交AC于點(diǎn)N.以M時(shí)直徑作。Q 并在。O內(nèi)作內(nèi)接矩形 AMPN令A(yù)M= x.1求該拋物線的解析式；2設(shè)1中的拋物線交 的周長(zhǎng)最??？假如存在，求出y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q使得 QACQ點(diǎn)的坐標(biāo)；假如不存在,3在1中的拋物線上的第二象限上是否存在

3、一點(diǎn) 在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)與4請(qǐng)說明理由.巳使 PBC勺面積最大?，假如存1用含x的代數(shù)式表示 MNP的面積S;2當(dāng)x為何值時(shí)，O O與直線BCt目切？3在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，記 MNP與梯形BM重合的面積為y,試求y關(guān)于x的函 數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？圖 1 ACAP圖 32、如圖1,拋物線經(jīng)過點(diǎn) A：4, 0）、B1, 0）、C0, 2三點(diǎn).1求此拋物線的解析式；2P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 P作PMLx軸，垂足為 M是否存在點(diǎn) P,使彳導(dǎo)以A、P、 M為頂點(diǎn)的三角形與 OACf似？假如存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說明理由；3在直線AC上方的拋

4、物線是有一點(diǎn) D,使彳DCA勺面積最大，求出點(diǎn) D的坐標(biāo).3、（2011某某中考題）如圖1,拋物線y=m4-1lmx+24m（m<0）與x軸交于 日C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)(2)C的左側(cè))，拋物線上另有一點(diǎn) A在第一象限內(nèi)，且/ BAC=90.填空：OB=J OC=連結(jié)OA將4OAC沿x軸翻折后得到 ODC當(dāng)四邊形 OAC星菱形時(shí)，求此時(shí)拋物 線的解析式；如圖2,設(shè)垂直于x軸的直線l : x=n與(2)中所求的拋物線交于點(diǎn) M與CD交于點(diǎn) N,假如直線l沿x軸方向左右平移，且交點(diǎn) M始終位于拋物線上 A、C兩點(diǎn)之間時(shí)， 試探究：當(dāng)n為何值時(shí)，四邊形 AM的面積取得最大值，并求出這個(gè)最大值。參考答

5、案1解：當(dāng) x=0 時(shí)，y=2，拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為0, 2當(dāng)y=0時(shí)，解得：為 3兇 1拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為3,0或1,0拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,83一118163解：SDAB1ABDE- 4 82233c1-1SCAB-ABOC-42422S3邊形 ABCDS DAE6弟形OCDESBCOS ACDS ADES梯形 OCDES AOC4解：設(shè)直線 AC的解析式為y kx b ,直線AC經(jīng)過A 3,0和C 0,2 ,2，可求得解析式為 y 2x 235過P作PE/y軸，交直線 AC于點(diǎn)E;2 242設(shè) P、E的坐標(biāo)分力1JD(x,- xx2), E(x,x2)3332 242DE (-x-

6、x2)(-x2)3 332 2x 2x3S PAC2(2-x 2x) 434x2 33(x4x2)2當(dāng)面積最大時(shí)點(diǎn),3 5D坐標(biāo)為(35)2 22、解:將 A(1 , 0) , B(-3, 0)代 y2x bx c中得1 b c= 0 9 3b c 02分b 2c 33分.拋物線解析式為：yx2 2x 3(2)存在理由如下：由題知 A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸 x 1對(duì)稱直線Bd x1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn),此時(shí) AQC周長(zhǎng)最小2y x 2x 3.C的坐標(biāo)為：(0, 3)直線BC解析式為：y x 3一 x 1 一Q點(diǎn)坐標(biāo)即為的解y x 3.Q(-1, 2)理由如下:設(shè) P 點(diǎn)(x, x2 2x 3)

7、( 3 x 0)9Sh邊形 BPCOS BOC S四邊形 BPCO 二2假如&邊形BPCO有最大值，如此 S BPC就最大,一§西邊形 BPCOSRt BPEs直角梯形 PEOC1BE 2 小3PE3)(1八“-OE(PE OC) 22(x 2)3時(shí), 2212x 3) -( x)( x29 27Sg邊形 BPCO2x 3273)最大=BPC9 27 9227，點(diǎn)2x 3815P坐標(biāo)為練習(xí)：1、解:32，1145)MIN/AMN/B, /AN隨 / C.AMNAABC. AM AN 方 AC，ANh 3x.43分圖 1S = S MNPc 1 3S amnx x2 43x2.

8、0<x<482如圖2,設(shè)直線BC與。相切于點(diǎn)D,連結(jié) AO OD 如此 A(=OD= - MN2在 RtAABO, BC = Jab2 AC2=5.由們知"MNIP ABC.AMAB MNODMNBC5-x ,45-x .8MN過M點(diǎn)作MQL BC于Q,如此 MQOD在RtABMCK RtBCA中，/ B是公共角,BMQ BCAABM QMBC 武BM5 5x_8_325x, AB24BM MA 25 x x 4.2496.x= 一49電時(shí), 49O O與直線BC相切. 8分BCT E, F.3隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連結(jié)AP,如此O點(diǎn)為AP的中點(diǎn). MN/

9、 BC/ AMNZ B, / AO附 / APC. AM8 ABP . 21M AO 1. AM= MB= 2.AB AP 2故以下分兩種情況討論：當(dāng) 0V xW2 時(shí)，y S淬MN 3x2 .8當(dāng)x = 2時(shí)，y最大 3 223 .82當(dāng)2v x<4時(shí)，設(shè)PM PN分另IJ交四邊形AMP睡矩形， .PN/ AM PN= A陣x.又. MN/ BC四邊形MBFN1平行四邊形. .FN= BM= 4-x. PF x 4 x 2x 4.又、PEF s、ACB2PFABS PEFS ABC一S PEFy S MNP S PEF3 2-x86x9 2當(dāng) 2vxv4 時(shí)，y x 6x 686 2.

10、當(dāng)x -時(shí)，滿足2vxv4, y最大 2 .3綜上所述，當(dāng)x 8時(shí)，y值最大，最大值是32.9分1 0 分11分12分2、1因?yàn)閽佄锞€與x軸交于a(4 ,0)、B1, 0)兩點(diǎn),設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)( x 4),代入點(diǎn) C的 坐標(biāo) 0 ,解析式為：11 2y 2(x 1)(x 4)2x|x 2.一、一，一一 1，2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x (x，21)(x 4).如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí),1<x<4, PM1)(x4) , AM如田AM如果PMAOCO如田AM如果PMAOCO1-(x 1)(x 4)24 x12(x 1)(x 4)4 x2 .解得x5不合題意.如圖解方程解方程

11、如圖解方程解方程2 .點(diǎn)P的坐標(biāo)為2, 1.，-，- ，-1，3,當(dāng)點(diǎn)p在點(diǎn)a的右側(cè)時(shí)，x>4, PM (x 1)(x 4), AM 212(x 1)(x 4)x 41-(x 1)(x 4)2x 44,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)1(x 1)(x4 x2,得x 5.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5, 2).1B的左側(cè)時(shí)，x<1, PM -(x 1)(x 4), AM24)3.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, 14) .12(x 1)(x 4)4 x0.此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意.綜上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為2, 1或(3, 14)或(5,2).圖2o直線AC的解析式為圖3圖4設(shè)點(diǎn)如圖5,過點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于

12、E.D的橫坐標(biāo)為m(1m 4),那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (m,5m 2),點(diǎn)e的坐標(biāo)為21(m,-m 2).所以 DE212)(-m 2)1-m2因此S dac1( 1m222m)最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為42, 1.2)2m2 4m (m4尹當(dāng)m 2時(shí)，adca的面積D0圖5圖63、解：(1)OB=3, OC=8 4分(2) 連結(jié)AD交OCT點(diǎn)E四邊形OAC比菱形.-.AD± OC OE=EC=1 X 8=4 2BE=4 3=1又. / BAC=90 .ACE- BAEAE CEBE AE2.AE=BE- CE=1X4 .AE=2 6分點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,2) 7分把點(diǎn)A的坐標(biāo)(4, 2)代人拋物線 y=m4-llmx+24m ,得m=-2.拋物線的解析式為 y=- 1x2+11x-12 9分22(3)二.直線x=n與拋物線交于點(diǎn) M，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(n , - 1n2+ 11n-12) 22由(