四邊形中的折疊問題

1、四邊形中的折疊問題教學設計1 教學內容分析折疊問題是中考中常見類型，以填空選擇形式出現(xiàn)，應用到的知識較多， 如四邊形的性質、判定， 勾股定理等，折疊前后的部分全等，注意總結“角平分線平行線等腰三角形來出現(xiàn)，折疊全等見勾股”2 教學目標：1. 知識與技能：在折紙的情境中，建立現(xiàn)實生活問題與幾何的聯(lián)系，培養(yǎng)聯(lián)想、類比由特殊到一般等數(shù)學的思考方式，滲透轉化與劃歸的數(shù)學 思想，能較為綜合運用角平分線、平行線及與三角形, 多邊形相關角的一些知識。2. 過程與方法：經歷做數(shù)學（實踐），思考，再合情推理的數(shù)學 知識形成過程；通過觀察一探索一猜想一驗證的學習過程，體會科學發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。3. 情感態(tài)度、價值觀

2、：建立一些活動（ 折紙 ） 與幾何世界的多種聯(lián)系，激發(fā)學習幾何的興趣。 感受 到運動中蘊涵著靜止，變與不變得辯證關系，在折紙中加強學生的發(fā)現(xiàn)探究能力和創(chuàng)造力。3 教學重點：折疊圖形的中幾何問題的發(fā)現(xiàn)和解決, 讓學生提問與質疑、嘗試與探究、討論與交流、歸納與總結。促使學生思維開放，在積極探索中形成創(chuàng)新性的思考與看待問題的方式，并藉此獲得知識.4. 教學難點：折疊運動變化中存在的等量關系的發(fā)現(xiàn)和如何利用折疊中的不變量解決具體問題5. 教學方式：探索式，啟發(fā)式6. 教學手段：計算機輔助，幾何畫版課件，flash課件7. 教學過程（一）創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生興趣，引出本節(jié)課要研究的內容：折紙與幾何解題

3、例1:如圖1,將一張長方形紙片如圖1折疊，其中EF, FH為折 痕，試判斷/ EFH的度數(shù)？說明理由。2 .學生活動設計：學生將手中的長方形紙片折疊后，直角的結論 明顯，并積極思考理由。3 .教師活動設計：此題結論明顯，易操作，主要目的使學生感受 折疊過程中表現(xiàn)出重合（全等）的特性，從而造成的折痕為角平 分線，從此題中得出本題實質是臨補角的角平分線互相垂直，進 一步得到思想方法，化復雜圖形為基本圖形；運動中有靜止。（板書）解答：/ EFH 90理由：由折疊過程可知：/1 = /2, /3=/4又/ 1 + /2+ /3+/4=180°所以/ 1 + /3=90°即/ EFH

4、 90小結：折疊過程所呈現(xiàn)出的幾何等量是由于重合。例2.如果將一張長方形紙片，沿著對角線折起一個角，使 C 點落在E處，BE與AD相交與點0（如圖2）這時我們能觀察到什 么呢？請說明理由。圖加學生活動設計：學生將手中的長方形紙片折疊后，會發(fā)現(xiàn)許多的結論，并積極思考理由。教師活動設計：此題易操作，結論頗多，是一個開放性 問題，主要目的使學生進一步體會思想方法，化復雜圖形為基本圖形；運動中有靜止。并積極搜索自己大腦中的知識庫，給出合理的理由。（板書）結論：/ E=/ C, / EDB= BDC, / EBD= CBD 中有靜/ ODB= CBD= EDB,/ AOB= EOD/ BDC= ABD=

5、 EDB, / OBD=ODB, / ABO=EDO(各類基本圖形)AB=CD=EDAD=BC=BE,OA=OE,OB=OD等積法說明 OA=OES>A ABC=S bdcF S BEDSa abc= S aeodAE/BD注：此時學生還沒有學三角形全等和等腰三角形有關知識例3.（2016.河北）將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點 B '處， 若 / 1= / 2=44° ,則 / B=(（二）師生小結：思想方法復雜的圖形轉化為基本圖形 從運動變化中尋找不變性的思想 從折疊與展開過程中體會到逆向思維折疊前后的部分全等，注意總結角平分線平行線等腰三角形 來

6、出現(xiàn)，折疊全等見勾股”（三）課后練習：1 .如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點C與點A重合,點D落在點G處，（1）求證： ABMAAGF（2）連接CF,判定四邊形AEC皿什么圖形，并證明.2 .將三角形紙片ABC（AB>AC沿過點A的直線折疊，使得 AC 落在AB邊上，折痕為AD,展平紙片，如圖（1）;再次折疊該三 角形紙片，使得點A與點D重合，折痕為EF,再次展平后連接DE、DF,如圖（2）。求證：四邊形 AEDF是菱形。（四）課后反思：折紙活動本身能喚起學生很多美好的回憶，如折紙飛機、紙帆 船、千紙鶴。另一方面，折紙活動又是一種有效的操作活動，學 生可以通過自己動手操作來

7、感悟圖形的幾何性質，運用圖形運動 去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題。而且折紙活動本身也承載著許多重要的 幾何問題，可以提煉出更一般的幾何方法，它對于培養(yǎng)學生的學 習興趣、好奇心與探索精神，有重要的價值。通過設計折紙活動讓學生動手實踐，自主探索與合作交流，豐富了學生的學習方式和教師的教學方式，在此過程中，學生找到了學習的樂趣，教師對教與學的方式也有了新的認識。用“操作”、“觀察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟幾何圖形的性質是學習幾何的方法。A. 關于 互為臨補角的角平分線互相垂直 這一結論學生已經知道，用折紙的背景將條件隱藏起來，從學生已有的生活經驗、數(shù)學基礎出發(fā)，重新設計“互為臨補角的角平分線互相垂直”

8、的教學過程。讓學生從研究折疊中的圖形性質探索出結論并加以證明。此題折疊效果明顯，結論唯一，證明易操作。B. 關于 長方形沿對角線的折疊這個問題背景簡單，但隱含條件和結論異常豐富，是向學生發(fā)起挑戰(zhàn)的一題，大量的線，角關系。學生得到的三角形全等，線段相等（等積法）體現(xiàn)了學生的探索深度，可惜A,E 兩點連線/對角線BD沒有給出。布魯納也指出： “我們教一門科目，并不是希望學生成為該科目的一個小型書庫，而是要他們參與獲得知識的過程。學習是一種過程，而不是結果。”可見，讓學生在活動中“學會學習”本身比“學會什么”更重要。數(shù)學的特點之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的關系，但它們都有非常多的現(xiàn)實背景。該課

9、例在教學設計中關注了這個特點，力圖體現(xiàn)數(shù)學事實的現(xiàn)實背景，并從中選取與學生生活世界密切相關的情境，使學生思維的抽象過程猶如“自然”發(fā)生。數(shù)學的另一特點是嚴密性，表現(xiàn)為邏輯嚴格與計算精確，這種嚴密過程正體現(xiàn)了人類認識的逐漸深化。在課例中，我們也注意了學生的認知特點，在“直觀幾何”到“證明幾何”的嚴謹化過程之中做一過渡，以此啟蒙證明與反駁的思維方式。同時，這反映了一個逐漸追求嚴謹?shù)倪^程。在課例設計的問題解決活動中，體現(xiàn)了一些 數(shù)學 思想方法：(1) 思考問題的逆( 反方向 ) ， (2) 從一般問題的特例人手，尋找問題解決的思路；(3) 把一個復雜問題轉化為解決過的基本問題的轉化與化歸思想；(4) 歸納與分類的思想( 把折紙中發(fā)現(xiàn)的諸多關系歸納出來，并進行分類) ； (5) 從變化中尋找不變性的思想.此外，教師在設計活動式教學時體會到，設計的探究步伐大小是很重要的。我們的認識是探索與嘗試的步子一定要適合學生的實際。要讓學生面對適度的困難，誘發(fā)探索與思考的興趣，