四邊形中的折疊問題

1、四邊形中的折疊問題教學(xué)設(shè)計(jì)1 教學(xué)內(nèi)容分析折疊問題是中考中常見類型，以填空選擇形式出現(xiàn)，應(yīng)用到的知識較多， 如四邊形的性質(zhì)、判定， 勾股定理等，折疊前后的部分全等，注意總結(jié)“角平分線平行線等腰三角形來出現(xiàn)，折疊全等見勾股”2 教學(xué)目標(biāo)：1. 知識與技能：在折紙的情境中，建立現(xiàn)實(shí)生活問題與幾何的聯(lián)系，培養(yǎng)聯(lián)想、類比由特殊到一般等數(shù)學(xué)的思考方式，滲透轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué) 思想，能較為綜合運(yùn)用角平分線、平行線及與三角形, 多邊形相關(guān)角的一些知識。2. 過程與方法：經(jīng)歷做數(shù)學(xué)（實(shí)踐），思考，再合情推理的數(shù)學(xué) 知識形成過程；通過觀察一探索一猜想一驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過程，體會科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。3. 情感態(tài)度、價(jià)值觀

2、：建立一些活動（ 折紙 ） 與幾何世界的多種聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)幾何的興趣。 感受 到運(yùn)動中蘊(yùn)涵著靜止，變與不變得辯證關(guān)系，在折紙中加強(qiáng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)探究能力和創(chuàng)造力。3 教學(xué)重點(diǎn)：折疊圖形的中幾何問題的發(fā)現(xiàn)和解決, 讓學(xué)生提問與質(zhì)疑、嘗試與探究、討論與交流、歸納與總結(jié)。促使學(xué)生思維開放，在積極探索中形成創(chuàng)新性的思考與看待問題的方式，并藉此獲得知識.4. 教學(xué)難點(diǎn)：折疊運(yùn)動變化中存在的等量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和如何利用折疊中的不變量解決具體問題5. 教學(xué)方式：探索式，啟發(fā)式6. 教學(xué)手段：計(jì)算機(jī)輔助，幾何畫版課件，flash課件7. 教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣，引出本節(jié)課要研究的內(nèi)容：折紙與幾何解題

3、例1:如圖1,將一張長方形紙片如圖1折疊，其中EF, FH為折 痕，試判斷/ EFH的度數(shù)？說明理由。2 .學(xué)生活動設(shè)計(jì)：學(xué)生將手中的長方形紙片折疊后，直角的結(jié)論 明顯，并積極思考理由。3 .教師活動設(shè)計(jì)：此題結(jié)論明顯，易操作，主要目的使學(xué)生感受 折疊過程中表現(xiàn)出重合（全等）的特性，從而造成的折痕為角平 分線，從此題中得出本題實(shí)質(zhì)是臨補(bǔ)角的角平分線互相垂直，進(jìn) 一步得到思想方法，化復(fù)雜圖形為基本圖形；運(yùn)動中有靜止。（板書）解答：/ EFH 90理由：由折疊過程可知：/1 = /2, /3=/4又/ 1 + /2+ /3+/4=180°所以/ 1 + /3=90°即/ EFH

4、 90小結(jié)：折疊過程所呈現(xiàn)出的幾何等量是由于重合。例2.如果將一張長方形紙片，沿著對角線折起一個角，使 C 點(diǎn)落在E處，BE與AD相交與點(diǎn)0（如圖2）這時我們能觀察到什 么呢？請說明理由。圖加學(xué)生活動設(shè)計(jì)：學(xué)生將手中的長方形紙片折疊后，會發(fā)現(xiàn)許多的結(jié)論，并積極思考理由。教師活動設(shè)計(jì)：此題易操作，結(jié)論頗多，是一個開放性 問題，主要目的使學(xué)生進(jìn)一步體會思想方法，化復(fù)雜圖形為基本圖形；運(yùn)動中有靜止。并積極搜索自己大腦中的知識庫，給出合理的理由。（板書）結(jié)論：/ E=/ C, / EDB= BDC, / EBD= CBD 中有靜/ ODB= CBD= EDB,/ AOB= EOD/ BDC= ABD=

5、 EDB, / OBD=ODB, / ABO=EDO(各類基本圖形)AB=CD=EDAD=BC=BE,OA=OE,OB=OD等積法說明 OA=OES>A ABC=S bdcF S BEDSa abc= S aeodAE/BD注：此時學(xué)生還沒有學(xué)三角形全等和等腰三角形有關(guān)知識例3.（2016.河北）將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn) B '處， 若 / 1= / 2=44° ,則 / B=(（二）師生小結(jié)：思想方法復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形 從運(yùn)動變化中尋找不變性的思想 從折疊與展開過程中體會到逆向思維折疊前后的部分全等，注意總結(jié)角平分線平行線等腰三角形 來

6、出現(xiàn)，折疊全等見勾股”（三）課后練習(xí)：1 .如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，（1）求證： ABMAAGF（2）連接CF,判定四邊形AEC皿什么圖形，并證明.2 .將三角形紙片ABC（AB>AC沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得 AC 落在AB邊上，折痕為AD,展平紙片，如圖（1）;再次折疊該三 角形紙片，使得點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF,再次展平后連接DE、DF,如圖（2）。求證：四邊形 AEDF是菱形。（四）課后反思：折紙活動本身能喚起學(xué)生很多美好的回憶，如折紙飛機(jī)、紙帆 船、千紙鶴。另一方面，折紙活動又是一種有效的操作活動，學(xué) 生可以通過自己動手操作來

7、感悟圖形的幾何性質(zhì)，運(yùn)用圖形運(yùn)動 去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題。而且折紙活動本身也承載著許多重要的 幾何問題，可以提煉出更一般的幾何方法，它對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué) 習(xí)興趣、好奇心與探索精神，有重要的價(jià)值。通過設(shè)計(jì)折紙活動讓學(xué)生動手實(shí)踐，自主探索與合作交流，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和教師的教學(xué)方式，在此過程中，學(xué)生找到了學(xué)習(xí)的樂趣，教師對教與學(xué)的方式也有了新的認(rèn)識。用“操作”、“觀察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟幾何圖形的性質(zhì)是學(xué)習(xí)幾何的方法。A. 關(guān)于 互為臨補(bǔ)角的角平分線互相垂直 這一結(jié)論學(xué)生已經(jīng)知道，用折紙的背景將條件隱藏起來，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)，重新設(shè)計(jì)“互為臨補(bǔ)角的角平分線互相垂直”

8、的教學(xué)過程。讓學(xué)生從研究折疊中的圖形性質(zhì)探索出結(jié)論并加以證明。此題折疊效果明顯，結(jié)論唯一，證明易操作。B. 關(guān)于 長方形沿對角線的折疊這個問題背景簡單，但隱含條件和結(jié)論異常豐富，是向?qū)W生發(fā)起挑戰(zhàn)的一題，大量的線，角關(guān)系。學(xué)生得到的三角形全等，線段相等（等積法）體現(xiàn)了學(xué)生的探索深度，可惜A,E 兩點(diǎn)連線/對角線BD沒有給出。布魯納也指出： “我們教一門科目，并不是希望學(xué)生成為該科目的一個小型書庫，而是要他們參與獲得知識的過程。學(xué)習(xí)是一種過程，而不是結(jié)果?！笨梢?，讓學(xué)生在活動中“學(xué)會學(xué)習(xí)”本身比“學(xué)會什么”更重要。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的關(guān)系，但它們都有非常多的現(xiàn)實(shí)背景。該課

9、例在教學(xué)設(shè)計(jì)中關(guān)注了這個特點(diǎn)，力圖體現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，并從中選取與學(xué)生生活世界密切相關(guān)的情境，使學(xué)生思維的抽象過程猶如“自然”發(fā)生。數(shù)學(xué)的另一特點(diǎn)是嚴(yán)密性，表現(xiàn)為邏輯嚴(yán)格與計(jì)算精確，這種嚴(yán)密過程正體現(xiàn)了人類認(rèn)識的逐漸深化。在課例中，我們也注意了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在“直觀幾何”到“證明幾何”的嚴(yán)謹(jǐn)化過程之中做一過渡，以此啟蒙證明與反駁的思維方式。同時，這反映了一個逐漸追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程。在課例設(shè)計(jì)的問題解決活動中，體現(xiàn)了一些 數(shù)學(xué) 思想方法：(1) 思考問題的逆( 反方向 ) ， (2) 從一般問題的特例人手，尋找問題解決的思路；(3) 把一個復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為解決過的基本問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想；(4) 歸納與分類的思想( 把折紙中發(fā)現(xiàn)的諸多關(guān)系歸納出來，并進(jìn)行分類) ； (5) 從變化中尋找不變性的思想.此外，教師在設(shè)計(jì)活動式教學(xué)時體會到，設(shè)計(jì)的探究步伐大小是很重要的。我們的認(rèn)識是探索與嘗試的步子一定要適合學(xué)生的實(shí)際。要讓學(xué)生面對適度的困難，誘發(fā)探索與思考的興趣，