北師大版初一(上)數(shù)學(xué)講義第四章：基本平面圖形

1、第四章：基本平面圖形 4.1線段、射線、直線基礎(chǔ)知娘改松科Kj ； Pi r zif psjn j j ”i'.% j /% i'. v g1 .線段、射線、直線的概念(1)線段概念：鉛筆、人行橫道線和路旁的電線桿都可以近似地看做線段，下圖就是一條線段.線段的特征：線段是直的；線段有2個,端點；線段的長度是有限的，可度量.線段可以向兩方無限延長；線段是沒有粗細(xì)之分的.(2)射線概念：射線可以看做由線段向一個方向無限延長形成的圖形.如圖，把線段AB向一個方向無限延伸,就是一條射線. AB射線的特征：射線是直的；射線有一個端點；因射線向一個方向無限延長，所以射線沒有長短,不可測量.

2、射線可以反向延長；射線沒有粗細(xì)之分.(3)直線概念：直線可以看做由線段向兩個方向無限延長形成的.直線的特征：直線是直的；直線沒有端點；向兩個方向無限延長，沒有長短，不可測量. 因為直線是線段向兩個方向無限延長形成的，所以我們不能說延長某條直線，即直線不能延長.【例1】 下列說法正確的有().畫一條射線等于 5 cm；線段AB為直線AB的一部分；在直線、射線、線段中，線段最短； 射線與其反向延長線形成一條直線.A.1個B.2個C.3個D.4個2 .線段、射線、直線的表示方法線段的表示方法用兩個表示端點的大寫字母來表示.如圖，以A, B為端點的線段，可記作 線段AB”或 線段BA”.出AB用一個小

3、寫字母來表示.如線段AB也可記作線段a”.(2)射線的表示方法用兩個大寫字母表示.一條射線可用它的端點和射線上的另一點來表示，如圖中的射線，可記作 線AB "端點必須在前面).射線的識別：首先看端點是否相同， 再看延伸方向是否相同， 如果這兩點都符合,判斷兩條射線是否是同一條射線, 那么這兩條射線是同一條射線.端點相同，延伸方向也相同的射線是同一條射線，如圖射線MB, MC, MN都表示同一條射線.端點相同，但延伸方向不相同的射線不是同一條射線，如圖中射線AB, AC就不是同一條射線.端點不同的射線不是同一條射線，如圖中的射線 同一條射線.BN, CN的延伸方向一致，但端點不同，所以

4、不是【例21】 射線OA, OB表示同一條射線，下面的圖形正確的是().C(3)直線的表示方法直線有兩種表示方法：可以用表示這條直線上任意兩個點的大寫字母來表示，注意表示直線上任意 兩個點的字母沒有順序性.如圖甲中的直線可記作直線AB”或 直線BA"；可用一個小寫字母來表示，如圖乙中的直線可記作直線l ”.AR圖甲I圖乙辨誤區(qū) 線段、射線、直線的聯(lián)系表示線段、射線、直線時，都要在字母前面注明線段、射線或直線”；用兩個大寫字母表示線段和直線時，兩個字母沒有順序性，可以交換位置，如線段BA”和 線段AB”表示同一條線段，直線AB”和直線BA”表示同一條直線；表示射線的兩個大寫字母有一定的

5、順序，表示端點的字母必須寫在前面.【例2 2】 如圖所示，下列說法().a ba BABA。直皴力直線曲直線AR 直綏4 直線2A.都錯誤 B.都正確C.只有一個正確D.有兩個正確3 .直線的性質(zhì)(1)經(jīng)過兩點有且只有一條直線.它包含兩層含義：一是 肯定有"，二是只有一條"，不會有兩條、三條 ；它可簡單地說成兩點確定一條直線” .(2)直線的其他性質(zhì)： 經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條；不同的兩條直線最多有一個交點【例3】 工人師傅要將一塊長條鋼板固定在機(jī)器上，則至少要用 個螺釘.基本方法趨本熊穴.嗯6¥.4 .射線、線段的計數(shù)方法射線和線段可以看做直線的一部分，因此在一條

6、直線上，取一些點時，會出現(xiàn)射線和線段.(1)點數(shù)與射線的條數(shù)射線向一方無限延伸，因此射線的條數(shù)是由端點的個數(shù)決定的.在直線上，以一個點為端點的射線有2條，若直線上有 n個點，則共有2n條射線.(2)點數(shù)與線段的條數(shù)線段有兩個端點，直線上每兩個點之間的部分就是一條線段.因此，數(shù)線段時，只要判斷這些點共有 多少種組合即可.析規(guī)律數(shù)線段條數(shù)的方法【例4】畫出線段AB:(1)如圖(1),在線段(2)如圖(2),在線段(3)如圖(3),在線段(4)如圖(4),在線段AB上畫出AB上畫出AB上畫出AB上畫出確定線段的條數(shù)時，可以先固定第一個點為一個端點，再以其余的點為另一個端點組成線段，然后固 定第二個點

7、為一個端點， 與其余的點(第一個點除外)組成線段，依此類推，直到找出最后的線段為止.1個點，這時圖中共有幾條線段?2個點，這時圖中共有幾條線段?3個點，這時圖中共有幾條線段?個點時，猜一猜：圖中共有幾條線段?* #««A C D ffA A(4).思維拓展創(chuàng)新成川w j.ni ozj j * m?nr i 麗:工 】i 而;i iwf;5 .直線性質(zhì)的應(yīng)用生活中的很多實際問題要用到直線的性質(zhì)，如木工師傅在鋸木料之前，先在木板上畫出兩個點，然后過這兩個點彈條墨線，就是利用了直線的兩點確定一條直線”的性質(zhì)，沿著這條線能鋸成直的，而不會歪斜.【例5】 建房屋壘墻時，建筑工人都要在

8、墻的兩端固定繩子，請利用所學(xué)的知識，說明其中道理.6 .與直線有關(guān)的規(guī)律探究(1)兩點確定一條直線，在同一平面內(nèi)，不同的點可以確定不同的直線.當(dāng)任意三點均不在同一直線上時,點數(shù)與直線條數(shù)的關(guān)系.見下表：點的個數(shù)最多直線條數(shù)213346n(n>1)n(n 1) 21.(2)平面上若有n(n>1)條直線兩兩相交，則交點個數(shù)最多有2n(n1)個.【例6】平面上有五個點，過其中任意兩點畫一條直線，最多能得到多少條直線？請畫出另外三種不同情 況的圖形. 4.2比較線段的長短基砒知蜘電 /匚 i，i:j rii 戔 ih j，“ 歸 t j j % K 常 r;1 .線段的性質(zhì)(1)兩點之間的

9、距離：兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。(2)線段的性質(zhì)兩點之間的所有連線中，線段最短。簡述為：兩點之間，線段最短。延伸拓展距離是指兩點之間線段的長度，是一個非負(fù)數(shù)，而不是線段本身。比如 M,N兩點之間的距離不能說成是線段MN ,而應(yīng)說成線段 MN的長度。連接兩點的線有無數(shù)條，線段的長度最短。連線是指以兩個點為端點的任意線，包括線段，折線和曲 線。連接 AB是指畫線段 AB?！纠?-1】已知線段 AB 5cm,在線段 AB上截取BC 2cm,則AC 【例1-2】如圖是A,B兩地之間的公路，在公路工程改造時，為使A,B兩地行程最短，請在圖中畫出改造2.線段的畫法(1)尺規(guī)作圖法用直尺和圓

10、規(guī)作一條線段等于已知線段a。aA B M如圖，其作法是：畫射線 AM ;在射線 AM上用圓規(guī)截取線段 AB a,則線段AB就是所求 作的線段。上面作法中的“截取”是指以點 A為圓心，以a的長度為半徑畫弧，角射線 AM于點B ;尺規(guī)作圖 要保留作圖痕跡，最后要指出所求作的圖形；注意畫線段時，不要向任何一方延伸。(2)度量法用刻度尺畫一條線段等于已知線段a。畫法是：先用刻度尺量出已知線段a的長度，再畫一條線段，使其長度等于線段a的長度。延伸拓展 線出口差的畫法已知兩條線段a,b(a b)。這兩條線段和的畫法是：先畫線段AB a ；在線段 AB的延長線上截取BC b,則線段AC就是線段a,b的和，即

11、AC a b,如圖1.兩條線段差的畫法：先畫線段AB差，即BC a b,如圖2.a9«ba；再在線段 AB上截取AC b,則線段BC就是線段a,b的aa bbe® ® - AB CAC B圖1圖2【例2】已知線段a,b(2a b),用直尺和圓規(guī)作一條線段，使這條線段等于2a b。3 .線段的中點線段的中點：把線段分成相等的兩條線段的點叫做線段的中點。A M B_ 1-如圖，M為線段AB的中點，則 AM BM AB或AB 2 AM 2BM 。 2延伸拓展類似的，還有線段的三等分點、四等分點等。三等分點，把線段分成相等的三條線段叫做線段的三等分點； 四等分點，把線段分

12、成相等的四條線段叫做線段的四等分點；n四等分點，把線段分成相等的n四條線段叫做線段的 n四等分點；【例3】若P是線段CD的中點，則()A.CP CD B.CP DP C.CD PD D.CP PD基本痂法EJt*施&，訪3 3算"4 .線段長短的比較 借助不同的方法比較兩條線段的長短?！纠?-1】如圖，若AB CD ,則AC與BD的大小關(guān)系是()A BCD【例4-2】已知三角形 ABC ,試比較AC BC與AB的大小關(guān)系。5 .線段的有關(guān)計算線段的有關(guān)計算是以后學(xué)習(xí)幾何知識的前提?！纠?-1】如圖所示，已知 AB:BC:CD 3:2:4, E,F分別是AB,CD的中點，且 E

13、F 22cm,求 AB, BC,CD 的長。A E B C F D【例5-2】如圖，已知點C在線段AB上，線段AC 6cm, BC 4cm ,點M ,N分別是AC,BC的中點。(1)求線段MN的長度；(2)根據(jù)第(1)題的計算過程和結(jié)果，設(shè) AB a,其他條件不變，你能猜出 MN的長度嗎？請表述你 發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。A M C N B6 .線段性質(zhì)的應(yīng)用線段的性質(zhì)在生活和生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛，可以根據(jù)“兩點之間，線段最短”確定位置。【例6-1某地區(qū)有A,B,C,D四個村莊如圖所示，為了解決當(dāng)?shù)氐娜彼畣栴}，政府準(zhǔn)備投資修建一個蓄水池，不考慮其他因素，請你幫忙畫出蓄水池O的位置，使它與四個村莊的距離之和最

14、小?！纠?-2】如圖所示，有一個正方體紙盒ABCD A'B'C'D',在點C'處有一只小蟲，它要爬到 A點處吃食物，應(yīng)該沿著怎樣的路線，才能使行程最短？你能設(shè)計出這條路線嗎？7 .易錯辨析【例7-1】若AC1 AB ,則點C是線段AB的中點，這種說法正確嗎？為什么? 2【例7-2】已知線段AB 8cm,點C在直線AB上，且BC 3cm ,點M為線段AC的中點，求線段MC 的長度。 4.3 角 基礎(chǔ)知域交料*t.廿1 .角的定義 (1)靜態(tài)定義：由兩條具有公共端點的射線組成的幾何圖形叫做角.如圖甲. 角的有關(guān)概念：頂點：兩條射線的公共端點. 邊：組成角的兩

15、條射線.(2)動態(tài)定義：角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的幾何圖形.如圖乙.談重點角的理解(1)角有兩個特征：角是由兩條射線組成的；這兩條射線有公共的端點.(2)角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)：由于角的兩邊是射線，而射線是向一方無限延伸的，所以角的大 小與角的兩邊的長短無關(guān)，只與兩 條射線張開的程度有關(guān).【例1】下列說法錯誤的有().有公共點的兩條射線形成的圖形是角角的大小與兩邊所畫的長度有關(guān)A. 1個B. 2個從一點引出的兩條射線形成的圖形是角線段繞著一個端點旋轉(zhuǎn)也可以形成角C. 3個D. 4個2 .角的表示方法及畫法角的表示方法有四種.(1)三個大寫英文字母表示法：用角的兩邊上

16、的兩個大寫字母和頂點的字母表示角，如圖(1)中的角，可記為/ AOB,注意頂點的字母寫在中間，每條邊上的一點A, B寫在兩旁.(2)頂點字母表示法：當(dāng)角的頂點處只有一個角時，也可以只用頂點的字母表示角，如圖(1)中的/AOB也可記為/ O.(3)阿拉伯?dāng)?shù)字表示法：在角的頂點處加上弧線標(biāo)上數(shù)字，就可以用這個數(shù)字來表示角，如圖(2)中的/AOB可記為/ 1.(4)希臘字母表示法：在角的頂點處加上弧線標(biāo)上小寫希臘字母(% & 丫等)，就可以用這個小寫希臘字母來表示角，如圖(2)中的/ BOC可記為/ o這種方法與數(shù)字表示法實際上是一樣的.上京:0B 0C國圖的釋疑點表示角時的注意事項以上四種

17、表示方法的前面必須加上角的符號2表示角所用的符號 2"，不能寫成小于號“<：當(dāng)一個頂點處有兩個以上的角時，不能用頂點字母表示法來表示角，如圖 (2)中以O(shè)為頂點的角有 /1, / % /AOC,就不能用/。來表示了.否則，就會產(chǎn)生混亂.3 .平角、周角(1)平角：一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角，平角是180。，如圖1.后終邊分始邊a 町 W圖I圖2(2)周角：如圖2, 一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)終邊與始邊重合時，所成的角叫做周角.周角等于 360 ：(3)平角與周角的關(guān)系：一周角等于兩平角.平角的兩邊成一條直線，周角的兩邊重合后成一條射線

18、，但不能認(rèn)為一條直線就是平角或認(rèn)為一條射 線就是周角.角必須有頂點和兩邊.【例3】 下列說法是否正確，為什么？平角是一條直線；鐘表上的分針經(jīng)過 1小時形成一個周角.一電生制皂無4 .度、分、秒的換算(1)角的單位及意義角的單位是度、分、秒.意義：把一個平角180等分，每一份就是一度的角，記作1°把一度的角60等分，每一份就是一分的角，記作 1'把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，記作1 .(2)度、分、秒的進(jìn)率及換算方法度、分、秒的進(jìn)率是 60.即 1= 60； 1= 60, 1 =60 = 3 600 .度麻繇分隔;B秒(3)度m分、秒有關(guān)的計算度、分、秒的進(jìn)率是六十進(jìn)

19、制，不同于十進(jìn)制.在運算中滿60才向高位進(jìn)1,而借1則表示低位的60.在進(jìn)行度、分、秒的加減法或乘除法的運算時，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計算，不夠減、不 夠除的要借位.從高位借的，單位要化為低位的單位后才能進(jìn)行運算.在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀淮笥诨虻扔?0時，要向高位進(jìn)位一【例41】(1)用度、分、秒表示 48.13 °為;(2)用度表示23° 9'加【例4-2】計算：(1)13° 2-'78° 37;” (2)61 ° 3922 5' 32 (3)23 ° 53; X3 (4)107 4 3' +

20、5.5 .角的計數(shù)方法數(shù)角的個數(shù)與數(shù)線段的條數(shù)的方法基本上相同，都要按一定的方法去數(shù).常用的有兩種方法：始邊計數(shù)法：先以某條邊為始邊(固定一邊)，按順時針方向或逆時針方向找到與之構(gòu)成的所有的角, 然后再以另一條射線為邊，重復(fù)上面的過程，最后把所有的角的個數(shù)加起來，就是構(gòu)成角的總個數(shù).分類計數(shù)法：先數(shù)清基本的角，再數(shù)由兩個基本角組成的角，由三個基本角組成的角【例5】 如圖，圖中共有多少個角？用字母分別表示出來.思維拓展創(chuàng)新陽Hj二二 二：二二. 二: 二科 r. ill OZIJ S、仁“1 W h XI、】d *，J f 卜力 f r6 .角的應(yīng)用角在生活和生產(chǎn)中隨處可見.本節(jié)的有關(guān)角的應(yīng)用主

21、要是鐘表中的角.鐘面上共有12個大格，把周角平均分，即360°勺2= 30°.鐘表面上有60個小格，360° 40= 6°.因此,時針每小時轉(zhuǎn)動30°,分針每分鐘轉(zhuǎn)動 6°.時針與分針的夾角的求法：先確定時針與分針之間有幾個大格，即有多少個30°.用30。乘大格數(shù).特別注意：從時針開始數(shù)，所形成的角有時需要按順時針數(shù)，如 3: 40;有時需要按逆時針數(shù)，如2: 50.從時針開始，按順時針形成的角，兩個度數(shù)相減；按逆時針形成的角度數(shù)相加.時針每分鐘轉(zhuǎn) 30°毋0= 0.5 :【例6】 如圖是部分節(jié)目的播出時間，分別確

22、定出鐘表上時針與分針?biāo)傻淖钚〉慕堑亩葦?shù).新聞聯(lián)播新聞和分 今H說法 電視劇 4.4角的比較基礎(chǔ)知識修本技能 . . .1 i 打了 ii j 片1j j i了 e a j IN 鼠 I;2 .角的大小比較(1)度量法：先用量角器測量出各角的度數(shù)，再按照角的度數(shù)比較大小，從而確定兩個角的大小關(guān)系.(2)疊合法：兩個角比較大小時，把兩個角的頂點和一條邊分別重合，另一條邊放在重合邊的同側(cè)，根 據(jù)另一條邊的位置確定角的大小.如比較/ ABC和/ DEF的大小，可把/ DEF移到/ ABC上，使它的頂點 E和/ ABC的頂點B重合, 一邊ED和BA重合，另一邊 EF和BC落在BA的同一側(cè).如果 EF和

23、BC重合(如圖1),那么/ DEF等于/ ABC,記作/ DEF = / ABC;如果EF落在/ ABC的外部(如圖2),那么/ DEF大于/ ABC,記作/ DEF>/ABC;如果EF落在/ ABC的內(nèi)部(如圖3),那么/ DEF小于/ ABC,記作/ DEFv/ABC.【例1】如圖，求解下列問題:國3(1)比較/ COD和/ COE的大??；(2)借助三角尺，比較/ EOD和/ COD的大小;(3)用量角器度量，比較/ BOC和/ COD的大小.3 .角的平分線(1)定義：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的，角，這條射線叫做這個角的平分線.角平分線是以角的頂點為端點的

24、特殊射線，它在角的內(nèi)部；角平分線把角分成兩個相等的角(2)角平分線的表示：1 OC 是 / AOB 的平分線；/ AOC = Z COB =2Z AOB , /AOB=2/ AOC=2Z COB.(3)作角平分線的方法：利用量角器量出角的度數(shù)，取角的度數(shù)的一半并畫出射線；折疊：把已知角的兩邊重合后再折疊，可得已知角的平分線.例 2 如圖，已知/ AOC = 80°, / BOC = 50°, OD 平分/ BOC ,求/ AOD.基本方法基本能力J Jr 1 a, r j . d r l r m i -. r 4 .角平分線及角的和、差計算(1)角的和、差的意義如圖，和：/

25、 AOB = /1 + /2;差：/ 1 = Z AOB-Z 2, Z 2=Z AOB-Z 1.(2)角平分線及角的和、差計算與角有關(guān)的計算，是本節(jié)的重點，也是易錯點.解決這類問題，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線得到相等的角，或求出一個較大的角，借助于某一個中間的角，把未知量轉(zhuǎn)化為已知量.(3)三角板中角的和與差一副三角板有兩塊，一塊含 30°角，60°角，90°角；一塊含45°角，45°角，90°角.借助于三角板，即可以畫出上面的角.利用三角板和角的和，.、差，還可以得到以下度數(shù)的角： 15°, 75°, 105°

26、, 120°, 135°, 150°, 165°.【例31】 已知/ AOB=30°, / BOC = 20°,則/ AOC的角度是 .1一，、【例3 2】 如圖，AOC為一直線，OD是/ AOB的平分線，/ BOEnj/rEOC, / DOE = 72 ,求/ EOC 的度數(shù).A O C思維拓展創(chuàng)新應(yīng)川 小。扃藍(lán)示鬲U云海 一.5 .角的分類(1)角的分類：根據(jù)角的度數(shù)，常常把大于0。而小于180。的角分為銳角、直角、鈍角三類.(2)各種角的規(guī)定：銳角：大于0°且小于90°的角一直角：等于90°的角.鈍

27、角：大于90°且小于180°的角.平角：等于180°的角.周角：等于360°的角.(3)角之間的關(guān)系：檢角直角鈍角平角周角.1平角=2直角=180°1周角=2平角=4直角=360°.若沒有特別說明，我們平常所說的角是指小于平角的角.【例4】如圖，解答下列問題:(1)比較圖中/ AOB, /AOC, /AOD的大小;(2)找出圖中的直角、銳角和鈍角. 4.5多邊形和圓的初步認(rèn)識基礎(chǔ)知枳 基本技施Q12萬；I " FIJ"J r 工 J F ' ,：1.多邊形和多邊形的對角線多邊形的定義：由若干條不在同一直線上

28、的線段首位順次相連組成的封閉平面圖形叫做多邊形。多邊形的重要特征： 多邊形是封閉圖形；多邊形是平面圖形。四邊形、五邊形、六邊形等都滿足多邊形的定義，是多邊形。多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。如圖AD,BD,CE都是多質(zhì)形 ABCDE的對鋁瓦CDE ,DEA是多邊形的內(nèi)角。n邊形的基本性質(zhì)：任意一個n邊形都具有如下特征：有n個頂點；有n條邊；有n個內(nèi)角；從任意一個頂點引對角線時有(n 3)條對角線，把n邊形分成(n 2)個三角形。n邊形的對角線的總條數(shù)為n(n 3)。 思考為什么？2【例1-1】一個多邊形從一個頂點能引12條對角線，則這個多邊形為 邊形；【例1-2】九邊形的對角線的條數(shù)是 2 .正多邊形正多邊形的定義： 各邊相等，各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形。正多邊形的特征：各邊