第七章生活中的軸對稱

1、第七章 生活中的軸對稱知識要點】、軸對稱1、軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對 稱軸。2、軸對稱： 對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱 軸。3、性質(zhì)：（1）對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分。（2）對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。二、角平分線的性質(zhì)： 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。三、線段的垂直平分線（簡稱中垂線）：定義：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。 性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。四、等腰三角形1

2、、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個底角相等（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），（3）等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高它們所在的直線都是 等腰三角形的對稱軸。3、等腰三角形的判定：（1）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。（ 2）如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等五、等邊三角形：1、等邊三角形：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。2、等邊三角形的性質(zhì)：（1）具有等腰三角形的所有性質(zhì)。（ 2）等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。3、

3、等邊三角形的判定（1）三邊都相等的三角形是等邊三角形。（2）:三個角都相等的三角形是等邊三角形（3）:有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形。六、軸對稱圖形的性質(zhì)（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。（2）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。（3）兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。（4）如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。注意：上面的（2）與（4）是互逆的兩個命題，（2）可以看成是軸對稱圖形的性質(zhì)定理，（4）則是判定定理。2、圖案的設(shè)計常常利用對稱、倒置、旋轉(zhuǎn)、重復(fù)等手段和形

4、式，由于軸對稱現(xiàn)象在實際生活中普遍存在，并有廣 泛的應(yīng)用和豐富的文化價值，因此，利用軸對稱設(shè)計圖案是常用的和重要的方法。3、鏡面反射原理光線在鏡面的反射過程中，反射角等于入射角，如圖所示，可得/1 = 7 2。（1）任何一個平面圖形在鏡子中的像與它是可以完全重合的。因此，一個軸對稱圖形在鏡中的像仍是軸對稱圖形。（2）若一個平面圖形正對鏡面，則其左（右）側(cè)在鏡中的像是其像的右（左）側(cè)。若一個平面圖形垂直鏡面放置，則靠近鏡面的部分，其像也靠近于鏡面。根據(jù)這兩條性質(zhì)，我們可獲得關(guān)于數(shù)字0, 1 , 3, 8這四個字在鏡中之像的結(jié)論。（3） 根據(jù)紙條垂直于鏡面放置，則紙上寫的0, 1, 3, 8這四個

5、字在鏡中的像和原來的數(shù)字完全一樣。（4） 如果紙條正對鏡面，則紙條上寫的0, 8, 1這三個數(shù)字在鏡子中的像和原來的數(shù)字完全一樣?！镜湫屠}】例1.（ 1）如圖，正三角形正四邊形正五邊形正六邊形正八邊形都是軸對稱圖形，數(shù)一數(shù)它們的對稱軸圖形編號對稱軸條數(shù)(2) 觀察后分析，正多邊形對稱軸的條數(shù)與邊數(shù)n有什么關(guān)系？(3) 根據(jù)你的分析結(jié)果回答：正九邊形、正十二邊形有幾條對稱軸 解：(1)圖形編號對稱軸條數(shù)34568(2) 正多邊形對稱軸的條數(shù)與邊數(shù)n相等。(3) 由(2)知，正九邊形有九條對稱軸，正十二邊形有十二條對稱軸。例2.下列圖形是由兩個字母 A和H構(gòu)成的(把A和H看作是軸對稱圖形)A H

6、 A H A H A H A H A H (1) 請仔細觀察其中的變化規(guī)律，回答以下兩個問題： 第100個字母是什么？ 圖形中的字母 A在2006個字母中一共出現(xiàn)多少次 ？(2) 從左往右在圖案中取多少個字母能構(gòu)成一次軸對稱？解：(1)第100個字母是H。圖形中的字母 A在2006個字母中一共出現(xiàn) 1003次。(2)從左往右在圖案中取奇數(shù)個字母能構(gòu)成一次軸對稱。例3.如圖，已知 CD垂直平分線段 AB , AB平分/ CAD，求證： CB / AD分析：欲證線段平行，往往先證有關(guān)角相等，如/B = Z BAD，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)，又可實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)換，只須證/ B = Z CAB，而此式只需用垂

7、直平分線性質(zhì)即可得證。證明：CD垂直平分線段 ABtCA = CB CAB =Z CBAAB 平分/ CAD CAB = Z DAB * DAB =Z CBA tCB / AD （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）例4.如圖，已知 AB = AC , DB = DC , P是AD上一點，求證：/ ABP = / ACP分析：本題欲證/ ABP = / ACP，注意到/ ABP = / ABC -/ PBC,/ ACP = / ACB -/ PCB，不妨先探討/ ABC與/ ACB ,/ PBC與/ PCB的關(guān)系。證明：連接 BC, AB = AC (已知)7/ ACB =Z ABC點A、D都在線段BC的

8、垂直平分線上，而兩點確定一條直線7AD就是線段 BC的垂直平分線7 PC= PB7/ PBC=Z PCB/ ABC -Z PBC =Z ACB -Z PCB7/ ABP = Z ACP說明：（1）在有線段相等的條件下證明角的相等，?？捎煤愕茸冃蔚姆椒ㄞD(zhuǎn)化為另外一個角的相等問題來證。(2)本題可以用三角形全等來證。例5.如圖，在 ABC中，Z C= 90, DE是邊AB上的垂直平分線，交 BC于點D，垂足為E,如果Z 1 :Z 2 = 1:解：DE是邊 AB上的垂直平分線7 AD = DB 7/ DAB =Z DBAZ CAB+ Z CBA = 90,Z 1:Z 2 = 1: 27/ CBA =

9、 X90= 22.5例6.現(xiàn)有一排數(shù)字。數(shù)在鏡子中的像，試問原數(shù)是什么?分析：這與鏡子的放置方式有關(guān)。解：如果把鏡子放在原數(shù)的正前方或左、右側(cè)面時，原數(shù)是，如果把鏡子放在原數(shù)的上方或下方時，原數(shù)例7.由FTT 二二二二”所組成的兩位數(shù)，已知它的兩個數(shù)字之和為10,它在水中的倒影也是一個兩位數(shù)，且這個兩位數(shù)字之和為13，求原來的兩位數(shù)。解：由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)所組成的兩位數(shù)之和為10,只有1+ 9、2 + &3+ 7、4+ 6四對,然后將這8個數(shù)字在水中的倒影寫出來，就是isEHarBE,然后組成的兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和為13,那么只有5+ 8 = 13,所以原來的數(shù)為

10、 28或82?！就骄毩?xí)】-、選擇題1下列圖形中，不一定是軸對稱圖形的是（）A. 線段AB B.鈍角AOB C.直角 ABC D.等邊 ABC2、我們知道等腰三角形是一個軸對稱圖形，下列關(guān)于它的對稱軸的說法正確的是（）A.是頂角的平分線B.是底邊上的高C.是底邊上的中線D.是底邊的垂直平分線3、 如圖， ABC中，AB = AC , / BAC = 108, AD、AE是厶ABC的三等分線， 則圖中成軸對稱的三角形有（）A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 6個4、 下列說法：（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形的對稱點一定位于該直線的兩旁；（2 ）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形，其任何一對對應(yīng)點

11、的連線的垂直平分線就是它們的對稱軸；（3）如果平面上兩個圖形的對應(yīng)點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；（4）如果平面上兩個圖形完全相同，那么這兩個圖形必定關(guān)于某條直線對稱，其中說法正確的是（）A. （1）（ 2） B. （3）（ 2）C. （2）（ 4）D. （1）（ 3）5、 小明站在鏡子前，他在鏡子中的像只舉起了右手，則小明實際上舉手的情況是（）A.舉起了左手B.舉起了右手C.左手與右手都舉了D.兩只手都沒舉6、在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘表示如圖所示，這時的時間是（）A. 21:05B. 21:15C. 20:15D. 20:057、 將寫有K”的紙條垂直于鏡

12、面放置，則在鏡中所成的像有（）A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種8、在由兩個字母 UV, BE , CD , TT, HI , XK組成的6組字母圖中，能由某條直線翻轉(zhuǎn)后重合的共有（）A. 5組 B. 4組 C. 3組 D. 2組二、填空題1、如圖，直線 MN是線段AB的對稱軸，點 C在MN夕卜，CA與MN相交于點D，如果CA + CB = 4厘米，那么 BCD的周長等于（）厘米。A2、如圖，AD是厶ABC的對稱軸，/ DAC = 30, DC = 4厘米，則 ABC是（）三角形， ABC的周長=OPMN5、如果把鏡子中的像和物體的對應(yīng)點用線段連起來,那么這些線段被鏡面（6、小明站

13、在鏡子對面，他的球衣號碼在鏡子里是EIE，那么小明球衣的號碼是（）7、如圖，在桌面上豎直放置兩塊鏡面相對的平面鏡,在兩鏡之間放置一個小皮球，那么在兩鏡中共可以得到多少,OM平分/ AOB , MA丄OA于A , MB丄OB于點B ,則/ MAB的度數(shù)為（4、在圖中，分別作出點 P關(guān)于OA , OB對稱的點 P, P，交0A于M，交0B于N，若PP= 5厘米，則的周長為（）個小皮球的像（）則準確時間為8、一同學(xué)下午面對一鏡子， 發(fā)現(xiàn)鏡子中正掛在墻上的鐘的分針和時針分別指向正北和正西方向,）。9、一輛摩托車的號碼在平面鏡中的像是21-85,則該輛車號是三、開放題1、 一個等腰三角形的兩個內(nèi)角之比是

14、2: 1，求這個等腰三角形的頂角的度數(shù)。2、已知，在直角三角形 ABC中，/ C= 90, AD平分/ BAC交BC于點D，如果BC = 32,且BD:CD = 9:7，求點D到AB的距離。3、如圖，在 ABC中，AB = AC, DE垂直平分 AB交AC于點E,已知 BCE的周長為 8，且 AC BC = 2，求、選擇題1、C2、D3、D4、B5、A6、A7、C& A二、填空題1、42、等邊，24cm3、204、5厘米5、垂直平分6、3157、無數(shù)個8、下午3: 009、 2815三、開放題1、36或 902、143、AB = 5, BC = 3【模擬試題】（答題時間：45分鐘）一、填空題1

15、、 如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫（），這條直線叫做（）2、對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能夠完全重合，那么這兩個圖形成（），這條直線是（）3、軸對稱是指（）個圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指（）個具有特殊形狀的圖形。4、軸對稱圖形的對稱軸是一條（）線。5、正方形是軸對稱圖形嗎？答：（），它共有（）條對稱軸。6、 兩條直角邊相等的直角三角形是軸對稱圖形嗎？答：（），它有（）條對稱軸。7、 角是軸對稱圖形，（）線是它的對稱軸8、 線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是（）9、 等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是（）10、三邊相等的三角形是（）三角形，也

16、叫（ ）三角形。11、 角平分線上任意一點到角兩邊的距離（）12、線段垂直平分線上的點到（）距離相等。），也稱（13、等腰三角形頂角的（）與底邊上的（）、（）重合，它們都是等腰三角形的（14、 等腰三角形的一個內(nèi)角為40,則它的一個底角為（）15、 有一條對稱軸的三角形是（）三角形，有三條對稱軸的三角形是（）三角形。16、 一個等腰三角形的底角是頂角的2倍，則它的頂角是（），底角是（）。二、選擇題1、長方形是軸對稱圖形，它的對稱軸有（）A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條2、軸對稱圖形的對稱軸數(shù)（ ）A.只有1條 B. 2條 C. 3條 D.至少1條3、 圓是軸對稱圖形，它的對稱軸有

17、（）A. 1條 B. 2條 C. 4條 D.無數(shù)條4、下列圖形中：（1）等腰三角形（2）直角三角形（3）線段（4）角（5）等腰直角三角形，其中軸對稱圖形有（）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個5、 等腰三角形的底邊長是8厘米，腰長是5厘米，那么這個等腰三角形的周長是（）A. 21厘米 B. 18厘米 C. 18厘米或21厘米 D. 13厘米或26厘米6、 等腰三角形的一個內(nèi)角為150，則它的底角為（）A. 30 B. 15 C. 30 或 15D. 50 7、 等腰三角形的一個底角為40，則它的底角為（）A. 40 B. 70 C. 120 D. 40 或 708、下列說法錯誤的是（）A. 等腰三角形底邊上的高是它的對稱軸B. 等腰三角形底邊上的中線是它的對稱軸C. 等腰三角形頂角的平分線是它的對稱軸D. 等腰三角形一個角的平分線是它的對稱軸三、兩個大小不同的圓可以組成以下五種圖形，請找出每個圖形的對稱軸，并說一說它們的對稱軸有什么共同的特點