空間中線線角線面角面面角成法原理與求法思路

1、空間中的夾角福建屏南一中李家有QQ52331550空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。1、異面直線所成的角（1）異面直線所成的角的范圍是（0,。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動2直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下： 利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊 的位置上； 證明作出的角即為所求的角； 利用解三角形來求角。簡稱為“作，證，求”2、線面夾角直線與平面所成的角的范圍是 0,。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。2具體步驟如下：（若線面平行，線在面內(nèi)，線面垂直，則不用此法，因 為

2、角度不用問你也知道） 找過斜線上一點與平面垂直的直線； 連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角； 把該角置于三角形中計算。也是簡稱為"作，證，求”注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若 B為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角,則有；（這個證明，需要用到正弦函數(shù)的單調(diào)性，請?zhí)^。在右圖的解釋為BAD CAD )2.1確定點的射影位置有以下幾種方法:斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上;如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；已知：如圖，BAC在一個平面內(nèi),PN A

3、C,PM AB,且PN= PM （就是點P到角兩邊的距離相等） 過P作PO （說明點O為P點 在面內(nèi)的射影）求證： OAN= OAM（OAN= OAM，所以AO為 BAC的角平分線，所以點O會在BAC的角平分線上）證明：Q PA=PA , PN = PMPNA= PMA=90PNA PMA （斜邊直角邊定理）AN = AMPOPN = PMNO MO （斜線長相等推射影長相等）POPN = PMNO MO（斜線長相等推射影長相等）AN = AMAO= AOAMO ANO NAO= MAO 所以，點P在面的射影為 BAC的角平分OM = ON線上。 如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一

4、條直線在平面上的射影在這個角的平分線上；已知：如圖，BAC在一個平面 內(nèi)PAN = PAM （斜線AP與 BAC的兩邊AB, AC所成角相等）PO求證：OAM = OAN （說明點O在角MAC勺角平分線上。）證明：在AB上取點M在AC上取點N,使AN = AM（這步是關(guān)鍵，為我們自已所作的輔助線點，線）AM= ANA吐 APVPAN VPAMPN= PMPAN= PAMAN = AMAO= AOAMO ANO NAO= MAO，所以，點P在面的射影為 BAC的角平分OM = ON線上。 兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上；（這是兩面垂直的性質(zhì)） 利用

5、某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置：a. 如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心；已知：如圖，三棱錐P-ABC中，PA= PB = PC, PO 面ABC求證：O點為 ABC的外心 （即證OA = OB = OC）（注：外心為三角形的外接圓的圓心，也是三邊中垂線的交點）b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心（或旁心）；已知：如圖，PF AB, PD BC, PE AC PF = PD= PEPO 面 ABC求證：0為ABC的內(nèi)心（注：內(nèi)心為三角形的內(nèi)切圓的圓心，也為三角形

6、 的三個內(nèi)角的角平分線的交點）證明：連結(jié)BO , CO易證 DBO FBODBO= FBO所以BO為角DBF的角平分線，即點 O在角DBF 的角平分線上。同理可證點 O為角DCE的角平分線， 所以O(shè)為兩內(nèi)角平分線交點，從而為內(nèi)心。c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心;AE BC, CD AB 已知：如圖，PA BC，PB CAPO 面 ABC求證：（1） PC AD （就是三棱錐中有兩組對棱垂直， 則可以推出第三組對夫棱垂直）（所以，條件中各組對棱垂直，實際是有多了一組）（2）點O為三角形ABC的垂心（注：垂心為三角形的三高交點，O為垂心，相當(dāng)于

7、證明AE BC, CD AB，兩高交點即可）3、二面角（4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指（0,，解題時要注意圖形的位置和題目的要求。作.面角的平面角常有三種方法 棱上一點雙垂線法： 在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角,就是二面角的平面角； 面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；邊是最常用的方法 空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是 二面角的平面角。備注：還有一個投影法求二面角，高

8、考不作要求，所以此處略去。配套練習(xí)：（練習(xí)難度不大，所以只給簡答，見最后一頁）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10兩個對角面都是矩形的平行六面體是A、正方體B、正四棱柱C、長方體D、直平行六面體正三棱柱 ABC-A iBiCi中，異面直線AC與BiCi所成的角是A、30°B、60°C、90°D、i20°已知一個正六棱柱的底面邊長是2,3，最長的對角線長為8，那么這個正六棱柱的高是正四棱錐相鄰的側(cè)面所成二面角的平面角是C、4A、銳角B、鈍角C、直角D、以上均有可能一棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比是i:2，則此棱錐的高（自上而下）被

9、分成兩段長度之比為i：4C、i: (. 2i)D、i:( . 2 i)在四棱錐的四個側(cè)面中，可以是直角三角形的個數(shù)最多是C、2個三棱錐P-ABC中，若PA=PB=PC，則頂點P在底面三角形的射影是底面三角形的A、內(nèi)心B、外心C、重心D、垂心四棱柱成為平行六面體的一個充分不必要條件是A、底面是矩形B、底面是平行四邊形C、有一個側(cè)面為矩形D、兩個相鄰側(cè)面是矩形已知AD是邊長為2的正三角形 ABC的邊上的高，沿 AD將ABC折成直二面角后，點 A到BC的距離為A、仝2_72C、已知異面直線a、b所成的角為50 °，P為空間一定點，則過點P且與a、b所成角都是30°的直線有且僅有C

10、、3條11、二面角是直二面角，A,B,A,B，設(shè)直線AB與,所成的角分別為2則A、i2900B、 1 2900C、i2900D、12900、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13、長方體ABCD-A iBiCiDi中，AB=3,BC=1,CC 1= .3,則平面AiBC與平面ABCD所成的角的度數(shù)是14、正三棱錐V-ABC的各棱長均為a，M,N分別是VC,AB的中點，貝U MN的長為15、 有一個三角尺 ABC , A 300, C 900 ,BC貼于桌面上，當(dāng)三角尺與桌面成45°角時，AB邊與桌面所成角的正弦值是 .19、在三棱錐 D-ABC 中，DA丄平面ABC , ZACB=90 °,ZABD=30 °,AC=BC,求異面直線 AB與CD所成 的角的余弦值。（注，題目未配圖，請自行畫圖）20、正方體 ABCD-A iBiCiDi的棱長為a, P,Q,R分別為棱 AAi,AB,BC的中點，試求二面角 P-QR-A的正弦值。分析：求二面角，主要思路就是作，證，求。作二面角的基本方法，主要用三垂線法，