幾何中線段的最值問題

1、幾何中線段的最值問題一、 一條線段的最值問題一（1）借助旋轉(zhuǎn)求最值2013通州一模24已知：，以AB為一邊作等邊三角形ABC.使C、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).（1）如圖，當(dāng)ADB=60°時(shí)，求AB及CD的長；（2）當(dāng)ADB變化，且其它條件不變時(shí)，求CD 的 最大值，及相應(yīng)ADB的大小.ADBC2011豐臺一模25.已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD. 探究下列問題:（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3，且ACB=60°，則CD= ；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6，且ACB=90°，則

2、CD= ；（3）如圖3，當(dāng)ACB變化,且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求 CD的最大值及相應(yīng)的ACB的度數(shù). 圖1 圖2 圖3（2）借助直角三角形性質(zhì)求最值（1） 勾股定理（2） 直角三角形斜邊中線等于斜邊一半（3） 直角三角形斜邊的兩條重要的線段，一是斜邊上的高，另一個是斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的高是直角頂點(diǎn)到斜邊上所有點(diǎn)之中距離最短的，其長度可以用兩直角邊乘積除以斜邊求得【例1】 如圖，在ABC中，C=90°，AC=2,BC=1,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是 【例2】 如圖，ABC 是邊長為定

3、值m的正三角形，C點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在第一象限點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上。 求出AC邊上的高線BD的長度； 當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸滑動時(shí)，試求出點(diǎn)O到CA距離的最大值； 已知點(diǎn)P是ABC內(nèi)切圓的圓心，請求出OP的最大值。 2011海淀一模25在RtABC中，ACB=90°，tanBAC=. 點(diǎn)D在邊AC上（不與A，C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點(diǎn).（1）若過點(diǎn)D作DEAB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1 設(shè)，則k = ；（2）若將圖1中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2所示求證：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋

4、轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線段CF長度的最大值2010海淀一模25.已知：中，中，,. 連接、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn). 圖1 圖2(1) 如圖1，若、三點(diǎn)在同一直線上，且，則的形狀是_，此時(shí)_；(2) 如圖2，若、三點(diǎn)在同一直線上，且，證明，并計(jì)算的值（用含的式子表示）；(3) 在圖2中，固定，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直接寫出的最大值.28正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動，且DE=DF連接BF，作EHBF所在直線于點(diǎn)H，連接CH.（1）如圖1，若點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明

5、；若不成立，說明理由； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動時(shí)，連接DH，過點(diǎn)D作直線DH的垂線，交直線BF于點(diǎn)K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值（3）與圓相關(guān)2014燕山24.如圖1，已知是等腰直角三角形，,點(diǎn)是 的中點(diǎn)作正方形，使點(diǎn)、分別在和上，連接 ， （1）試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系是 ； （2）將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)， 判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結(jié)論； 若，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值2013昌平一模24在ABC中，AB=4，BC=6，ACB=30°，將ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到A1BC1（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長線

6、上時(shí)，求CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1若CBC1的面積為3，求ABA1的面積；（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，在ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，直接寫出線段EP1長度的最大值與最小值2015房山一模28如圖1，已知線段BC=2，點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，點(diǎn)E為射線CA上一點(diǎn)，且ED=BD，連接DE，BE.(1) 依題意補(bǔ)全圖1，并證明：BDE為等邊三角形；(2) 若ACB=45°，點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接FD、FB.將CDE繞點(diǎn)D 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（0°360°）得到，點(diǎn)E的對

7、應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C.如圖2，當(dāng)=30°時(shí)，連接證明：=；如圖3，點(diǎn)M為DC中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的任意一點(diǎn)，試探究：在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段PM長度的取值范圍？圖1圖2圖33. 如圖，已知是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)作正方形，使點(diǎn)分別在和上，連接（1）試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你得到的結(jié)論（2）將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于，小于或等于360°），如圖，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由ACBFDEG圖25-1ACBFDEG圖25-2（3）若，在的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為最大值時(shí)，求的值11

8、以平面上一點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個直角三角形，記作AOB和COD，其中ABO=DCO=30°（1）點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，連接FM、EM如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、C分別在AO、BO的延長線上時(shí)，=_；如圖2，將圖1中的AOB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（），其他條件不變，判斷的值是否發(fā)生變化，并對你的結(jié)論進(jìn)行證明；（2）如圖3，若BO=，點(diǎn)N在線段OD上，且NO=2.點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn)，在將AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值為_，最大值為_圖2圖1（4）其他2011海淀一模24已知平面直角坐標(biāo)系xOy中, 拋物線與直線的一個公共點(diǎn)為. （1）求此拋物線和直

9、線的解析式；（2）若點(diǎn)P在線段OA上，過點(diǎn)P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長度的最大值；（3）記（1）中拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及梯形AOMN的面積.朝陽25如圖，二次函數(shù)y=ax2+2ax+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，CBO的正切值是2(1)求此二次函數(shù)的解析式(2)動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時(shí)終止運(yùn)動，直線l與BC交于點(diǎn)D，P是線段AD的中點(diǎn)直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長點(diǎn)D與B、C不重合時(shí)，過點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E、作DFAB于點(diǎn)F，連接PE、PF，在旋轉(zhuǎn)過程中，EP

10、F的大小是否發(fā)生變化？若不變，求EPF 的度數(shù)；若變化，請說明理由在的條件下，連接EF，求EF的最小值二、多線段的最值問題2013一模海淀25. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為.(1) 求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；(2) 直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的對稱軸左側(cè). 若為直線上一動點(diǎn)，求的面積；拋物線的對稱軸與直線交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn). 以為圓心，為半徑的圓上存在一點(diǎn)，使得的值最小，則這個最小值為 .2012朝陽二模25. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（3,0）、B（4,0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，且BDBC，有一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒

11、1個單位長度的速度向點(diǎn)B移動，同時(shí)另一個動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn)A移動.（1）求該拋物線的解析式；（2）若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時(shí)t的值；（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQMA的值最??？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2012東城一模25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點(diǎn), 頂點(diǎn)為.(1) 求此二次函數(shù)解析式；(2) 點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作直線：交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn).問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請

12、求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點(diǎn)，連結(jié)、，求和的最小值. 2012海淀二模24. 如圖, 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A, 頂點(diǎn)為B, 且對稱軸與x軸交于點(diǎn)C.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo) (用含m的代數(shù)式表示)； （2）D為BO中點(diǎn)，直線AD交y軸于E，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, 2), 求拋物線的解析式； （3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線BO上，且使得AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線 BC上，若以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐CAOBxyCAOBxy 備用圖2010海淀二模25.如圖，在平

13、面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸上，為的中線，過、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊的頂點(diǎn)、在線段上，求及的長；（3）點(diǎn)為內(nèi)的一個動點(diǎn)，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長. （備用圖）2012豐臺一模25已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)P（2，）為圓心的圓與y軸相切于點(diǎn)A，與x軸相交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊）（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使MBP的面積是菱形ABCP面積的如果存在，請直接寫出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；如果若不存在，請說明理由；（3）如果一個動點(diǎn)D自點(diǎn)P出發(fā)，先到達(dá)y軸上的某點(diǎn)，再到達(dá)x軸上某點(diǎn)，最后運(yùn)動到（1）中拋物線的頂點(diǎn)Q處，求使點(diǎn)D運(yùn)動的總路徑最短的路徑的長.25. 在平面直角坐標(biāo)系中