二次函數(shù)中絕對值問題的求解策略(DOC)

1、二次函數(shù)中絕對值問題的求解策略二次函數(shù)是高中函數(shù)知識中一顆璀璨的明珠”而它與絕對值知識的綜合，往往能夠演繹出一曲優(yōu)美的 交響樂”故成為高考 新寵”二次函數(shù)和絕對值所構(gòu)成的綜 合題，由于知識的綜合性、題型的新穎性、解題方法的靈活性、思維方式的抽象性， 學(xué)習(xí)解題時往往不得要領(lǐng)，現(xiàn)從求解策略出發(fā)，對近年來各類考試中的部分相關(guān)考題， 進行分類剖析，歸納出一般解題思考方法。一、適時用分類，討論破定勢分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想。它往往能把問題化整為零，各個擊破，使復(fù)雜問題簡單化，收到化難為易，化繁為簡的功效。例1已知f(x)=x2+bx+c (b,c R),(1)當b2時，求證：f(x)在(一1,1)

2、內(nèi)單調(diào)遞減。(2)當b2時，求證：在(一1,1)內(nèi)至少存在一個xO,使得|f(xO)| b2分析 (1)當b2時，f(x)的對稱軸在(一1，1)的右側(cè)，那么f(x)在(一1,1)內(nèi)單調(diào)遞減。(2)這是一個存在性命題，怎么理解 至少存在一個XO”呢？其實質(zhì)是能找到一 個這樣的xo,問題就解決了，不妨用最特殊的值去試一試。1當x=0時，|f(O)|=|c|,|c與丄的大小關(guān)系如何呢？對|c|進行討論：2(i)若|c|扌，即|f(0)|；孑命題成立。1怖1 E 111115131(II)若|c|還是|c|V，總存在xo=O或xo=使得|f(xo)|二成立。2 2 2 2本題除了取x=1外，x還可取那

3、些值呢？留給讀者思考。2二、合理用公式，靈活換視角公式|a|b|ab|w在處理含絕對值問題時的作用有時是不可替代的，常用于不等式放縮、求最值等，思路簡潔、明快，解法自然、迅捷。例2已知f(x)=x2+ax+b的圖象與x軸兩交點的橫坐標為X1，X2若|a|+|b|1,求證：|X1|1且|x2|1.+X21=| a|, JX1X2|=|b|.代入|a|+|b|1,得|x1+X2|+|x1X2|1，又|X1|X2|jXX2|.| X1| - | X2| | X1X2|-1 X1X2| | X1X2|：1即|X1|(1+|X2|)0,.|x1|1.同理可得|X2|1.r1(2)對一切實數(shù)x，恒有|ax

4、2bx c |-.4|a|分析(1)略由韋達定理，得X +X2 = a(2)| ax1 2 3bx c |=|a(x匕)24ac bI 2a1f(1)|,又由題意可知|f(T)|E1,J f(0)0-4a由(可知a(x 2a)2與4叮同號。2.|ax bx c|b、24ac-b |=1 a(x 厶)I 丨，I a4a.4ac - b2|1I|.4a 4|a|三、機智賦特值，巧妙求系數(shù)賦予一系列特殊的函數(shù)值來構(gòu)建對應(yīng)的系數(shù)關(guān)系， 使抽象問題具體化，從而獨辟蹊徑, 出奇制勝。2 2例4函數(shù)f(x)=ax +bx+c(a工(對一切x1,1,都有|f(x)|，且g(x)=cx +bx+a， 求證：(1

5、)x 1,1時，|2ax+b|4.(2)x 1,1時，|g(x)|2.f (1) = a b c,證明 (1)由題設(shè)條件，可得f(T)=a-b+c,(0) =c.”1丄a=;f(1) + f(1)2f (0),21二b = Jf(1)f(T),2c = f (0)變量在某一區(qū)域有某種結(jié)論成立時,可通過對題目結(jié)構(gòu)特征的觀察，由目標導(dǎo)向,得|g(x)|=|ax+b|(x 1)2 (x -1)2 b(x 1 x-1呦 44 bq7) cPx 1x 一 1x 1 x 1=|a(w)2 b()c -a(w)2c |十專)7 寧)1x +1x 1-|f(丁)| |f(-)|.五、 聯(lián)想反證法，類比創(chuàng)條件要

6、證明X一1,1時,|2ax+b|W 4只要證明|2a+b|4.31|2a b|七f(1)：f(-1)-2f(0)|2231c,2=4.2 2同理可證2a+b|4.(2)|g(x)|=|cx+bx+a|=|f(0)x2f (1)- f 空)22x 亠 11 x=| (x -1)f(0)2f(1)2x2-1|x21|12x|= 1_x2X1-x2 2=-x22 乞 2- f (0)1請讀者仿照例4的方法解決下面一題:例5函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a工0)已知|f(0)|x，-1,1，都有| f(x)匸2.分析借助恒等式“4(x 1)2(x 1)2f(-1)l,1(1)|1,|f(1)|求證：

7、對一切對于一些數(shù)學(xué)問題，如果從正面思考較難，不妨嘗試從反面入手，巧用逆向思維， 比如借反證法來找到解決問題的途徑。例7函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,bR)，-1,1,求證：1|f(x)|的最大值.2證明 假設(shè)M1，則|f(x)| , -丄：:：f(x)：丄，22 2 2即-:x2ax b：丄.22令x=0,1,-1,分別代入上式，得11-1 b :：:,2211a b 1,2211a b 1,22由+，得- :b：-丄，與矛盾。2 2點評 通過假設(shè)結(jié)論不成立，創(chuàng)設(shè)了x-1,1時，|f(x)|-恒成立這一常規(guī)而打2開局面的有利條件，可謂 高招”六、 雞尾酒療法，相是益彰好每一種解法都不是萬能

8、的，如果把各種解題方法靈活地相互結(jié)合、滲透，那么不 但能解決實際問題，而且思路開闊，有利于培養(yǎng)創(chuàng)造能力、提升數(shù)學(xué)品質(zhì)。例8函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a工)，對一切x芒1,1，都有f(x) 1求證：對一切x一2,2，都有f(x)7.分析 函數(shù)y=|ax2+bx+c| (a 在區(qū)間p,q上的最大值，由圖象易知只能在x=p或x=q或x二-一處取得，于是由題意只需證明|f(-2)|J7|f(2)|且7f(-一)|乞7.2a2a由已知|f(-1)|=|a+b c|,|f(1)|=|a+b+c|,|f(0)|=|c|,|f(2)|=|4a- 2b+c|=|3f(-1)+f(1)-3f(0)|3|f-

9、1)|+|f(1)+3|f(0)|=3X1+1+3X1=7同理|f(2)|譽4b2十一/ |4a-|c|1|b| |?|.2 2a1 14空3|f(1)8| fq)| 6|f(0)|乞3 86 =17故|a|+|b|+|c可能最大值為17.(2)取a=8,b=8,c=1,貝U|b|S|f(1)| |f(一2)|乞1丄1 2 =2.2a 2例9(1998年 希望杯”高三賽題)若函數(shù)f(x)=ax1 5+bx+c(a工0)對一切x 0,1,恒有|f(x)|1.(1)對所有這樣的f(x)，求|a|+|b|+|c可能的最大值；(2)試給出一個這樣的f(x)，使|a|+|b|+|c確實取到上述最大值。f

10、(1) =a +b +c,444解(1)由f(3)= ”a c,f(0) =01a=2f(1)4f(2)+ 2f(0),1解得b=4f() f(1)3f(0),2c = f(0)I11所以|a| |b| |c|=|2f(1) -4f( ) 2f(0)| |4f () - f(1) -3f(0) f (0)|22512f(x)=8x8x+1=8(x-一)-12f(x)在0,1上確實有|f(x)| ,1且|a|+|b|+|c|=17.解題思維訓(xùn)練是鞏固所學(xué)知識的重要環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)優(yōu)良教學(xué)素養(yǎng)的有效手段，在學(xué)習(xí)中應(yīng)當有意識地培養(yǎng)思維的 方向感”和思路的 歸屬感”促進數(shù)學(xué)思維空間的 拓展，也有助于思維

11、品質(zhì)的提升。例談二次函數(shù)區(qū)間最值的求解策略如何求解二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，是一個綜合性較強的問題，影響二次函數(shù) 在某區(qū)間上最值的是區(qū)間和對稱的位置。本文就區(qū)間和對稱軸動與靜的變化進行分 類，探索求最值的方法。一、 定區(qū)間與定軸區(qū)間和對稱軸都確定時，則將函數(shù)式配方，再根據(jù)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合 函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求最值。例1已知f(x) =x2仁3，求f(x)最值。分析 這2002年上海高考題的一個變式題，對f(x)配方，得V324廠f(x)=(x-)2-，x -1,、.3，33丿3其圖象開口向上，對稱軸x3-1,.、3，3擠2碼V34故f(X)max二仁-1)；f(X)min=f()33

12、3二、 定區(qū)間與動軸區(qū)間確定而對稱軸變化時， 應(yīng)根據(jù)對稱軸在區(qū)間的左、 右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三 種情況分別討論，再利用二次函數(shù)的示意圖，結(jié)合單調(diào)性求解。例2已知f(x) = -x22mx mT,當x 0,1時，f(x)最大值為1，求m值 分析f(x)的圖象開口向下，對稱軸為x=m。(1)當m0時，f(x)在0，1上遞減，f(x)max二f(0) =m-1.由m仁1，得m=2這與m1矛盾。或m=-2,m=2與OwmW1矛盾。綜上可知m=1。三、 動區(qū)間和定軸對稱軸確定而區(qū)間在變化時，只需對動區(qū)間能否包含拋物線的頂點的橫坐標進 行分類討論。例3已知函數(shù)f(x) =3x6 7 8 9 10 11-3x

13、 4b2 12,x-b,b且b0,若f (x)m-7,求b。4分析 這是1990年全國高考題的一道壓軸題中半部分的代數(shù)求值問題。1將表達式配方，得f (x) = -3(x -)2- 4b23.2111由于xb,b，對稱軸x，所以應(yīng)對-b,b及-b,b分類討論。2221 1(1)若？b，即0：b時，f(x)在b,b上遞減，當x=b時，12 2f(X)max一3(-b二)24b23 =7.26!1由f(x)max=7，得b二一一 一、7，與0：b :：一 矛盾。22(2)若 4 冷，即b1，則對稱穿過區(qū)間b，b，那么當x =時，22f(x)max=4b 3.由f(x)max=7，得b =1,又0，

14、b=1。綜上可知b=1.四、動區(qū)間與動軸當區(qū)間和對稱軸均在變化時，亦可根據(jù)對稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)及穿過區(qū)間 三種情況討論，并結(jié)合圖形和單調(diào)性處理2例4已知f(x)=-x +(a1)x+a,x 1,a的最大值為100,求a值分析 由1,a，可知a1,f(x)圖象開口向下，對稱軸為x當寧汀即心“寸，心必-2.由2a-2=100，得a=51這與1a3矛盾。(3)當 復(fù)1時，a1矛盾，故對稱軸不可能在抽象函數(shù)常見題型例析這里所謂抽象函數(shù)，是指只給出函數(shù)的一些性質(zhì)，而未給出函數(shù)解析式的一類 函數(shù)，抽象函數(shù)一般以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景背景，且構(gòu)思新穎，條件隱蔽、技巧性強，解法靈活。因此，抽象函數(shù)在

15、近幾年的各種考試中，成為考查的重點。一、求函數(shù)解析式例1是否存在這樣的函數(shù)f(x)，使下列3個條件：(1)f(n)0，nN； (2)f(ni+n2)=f(ni)f(n2),ni、n2N;(3)f(2)=4同時成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不成立，說明理由。分析 題設(shè)給出了函數(shù)f(x)滿足的3個條件，探索結(jié)論是否成立。我們可以用 不完全歸納法尋找f(x)的解析式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。2解若存在這樣的函數(shù)f(x)，由條件得f(2)=f(1+1)=f(1) =4,a -12當 V即a3時,f(X)max2a -1 a 2a 1f()=242a 2a 14二100，得a=19或a=-2

16、1,又a3,-a=19.x=a的右側(cè) f(1)=2.又f(2)=22, f(3)=f(2+1)=f(2) f(1)=23,f(4)=f(3+1)=f(3)f(1)=24.由此猜想f(x)=2 (x N ).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想。(1)當n=1時，顯然成立。(2)假設(shè)當n=k(k N )時猜想成立，即f(k)=2k，那么當n=k+1時，則f(k+1)=f(k) f(1)=2k 2=2k+1仍然成立。綜上所述，存在函數(shù)f(x)=2x,對xN*成立。利用所給條件，通過數(shù)據(jù)實驗，用不完全歸納法問題出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法 給出證明，是處理抽象函數(shù)遞推型綜合題的常用方法。二、 判斷函數(shù)的單調(diào)性例2

17、設(shè)f(x)是定義在-1,1上的函數(shù)， 且滿足f(x)=f(x),對任意a b 1,1， 當a+b0寸，都有 但 凹0。試判斷f(x)的單調(diào)性。a +b分析由函數(shù)單調(diào)性的定義，首先問題著f(X2)f(X1)，這里X1,X21,1,且X1X2，再利用題設(shè)中的條件變形，考察f(X2)(X1)的符號，就可得出結(jié)論。解設(shè)X1,X21,1，且X10,X2+ ( -X1) f(X2)f(X1)0,f(X2)f(X1), f(x)在1,1上是增函數(shù)。三、 求函數(shù)值或值域例3已知定義在N*上，且在N*上取值的增函數(shù)y=f(n)。對任意m,n N*, 當m、n互質(zhì)時，f(mn)=f(m)f(n).又f(180)=

18、180,求f(2004)值。分析 由f(180)=180及題設(shè)可推出f(1)=1，再利用f(n) N*尋找f(n)及n關(guān)系， 然后求值。解Tf(180)=f(1 180)=f(1) f(180)=180, 即卩f(1)f(180)=180,f(1)=1.由f(n)是增 函數(shù)及函數(shù)值是自然數(shù)可得，仁 f(1)vf(2)vf(3)f(179)vf(180)=180.f(n)=n(10時，f(x)0，且f(1)=-2。求函數(shù)f(x)在-3，3上的最值。分析抽象函數(shù)求最值問題，一般是先根據(jù)條件確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再確定其最值。解設(shè)0WXVX2W3則f(X2)=f(X2xi)+x1=f(x2xi)+f

19、(x1)即f(X2Xi)=f(X2)-f(xi).TX2-Xi。,：f(X2-Xl)0.二f(X2)-f(Xi)f(X2). f(x)在0,3上是減函數(shù)。又由f(-x)=-f(x)，得f(x)在3,0上也是減函數(shù)，從而f(x)在-3，3上是減 函數(shù)。所以，當x=-3時，f(x)取最大值，其值為f(-3)=-f(3)=-f(I+2)=-f(i)-f(i+i)=-3f(i)=6.當x=3時，f(x)取最小值，其值為f(3)=-f(3)=-6.注函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，在確定函數(shù)單調(diào)性時，要根據(jù)條件，把定義域分割成若干個區(qū)間，分別討論其單調(diào)性。四、判斷函數(shù)的周期例5設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，

20、且f(-x)=f(x)，其圖象關(guān)于直線x=i對稱,1對任意X1X20,都有f(Xl+X2)=f(X1)f(X2).21 1設(shè) f(1)=2，求f( )?f()；證明f(X)是周期函數(shù)。24分析 (1)把f(1)用f(1)表示，再求f (1)，而f(1)=f2(-)，注意開方時的符2224號。(2)由圖象關(guān)于X=1對稱，可得f(x)=f(2X)，再利用f(x)=f(x)就可確定其 周期。解(1)由函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)知，X XXXf(x) =f( ) =f( )f( ) 0,x 0,1.2 2221 121又Tf(1)=f(；Tf2(-2-224f(;) -Zft)二f2(；)2,224.f(

21、1H42.4將上式中X以X代替得，f(x)=f(x+2),x R.故f(x)是以2為一個周期的周期函 數(shù)。注 判斷函數(shù)f(x)的周期性，就是尋找滿足等式f(x+T)=f(x)中的非零常數(shù)T。在 解題時，注意利用題設(shè)中函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質(zhì)，把這些性質(zhì)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的等式，再證明f(x+T)=f(x)o五、不等式問題例6定義在(一1，1)上的函數(shù)f(x)滿足：(1)對任意X、y(1，1)都有f(x) f(y)二f(-)；1 +xy11 11(2)當x (1,0)時，有f(x)0;求證：ff()f(一) f()511n+3n + 12分析 因為(1,0)時，有f(x)0，而結(jié)論中要求x0時f(x)

22、的值，故要先判斷f(x)的奇偶性。因為不等式證明時需放縮，還要判斷f(x)的單調(diào)性。解 在等式f (x) f(y) =f( )中，令x=y=0,得f(0)=0，再令y=x，得1 +xyf(x)+f(x)=0，即f(x)=f(x)， f(x)在(一1，1) 上是奇函數(shù)。設(shè)一1VX1VX2V0，貝Uf(X1)- f(X2)= f (xj f (-X2)= f (x1X2)1 -x1x2T1X1X20,二X1X20. f(X1)f(X2).故f(x)在(1,0)上是減函數(shù)。又由奇函數(shù)的性質(zhì)知f(x)在x (0,1)上仍然是減函數(shù)，且f(x)4可知方程f(x)=0有四對不同的實數(shù)根， 即方程f(x)=

23、0有8個不同的實根，n=8.注 解此題的關(guān)鍵是，理解f(x)=f(12x)的意義，判斷出方程根的性質(zhì)。抽象函數(shù)問題，往往綜合運用函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)學(xué)思想方法，挖掘隱含條件，探 索抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，尋找解題思路。高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，大體可分三個階段，每一個階段的復(fù)習(xí)方法與側(cè)重點都各不相 同，要求也逐步提高。一、基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段 系統(tǒng)整理，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò) 將高中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識進行系統(tǒng)整理， 進行有機的串聯(lián)， 構(gòu)建成知識 網(wǎng)絡(luò)， 使學(xué)生對整個高中數(shù)學(xué)體系有一個全面的認識和把握，以便于知識的存儲、 提 取和應(yīng)用， 也有利于學(xué)生思維品質(zhì)培養(yǎng)和提高， 這是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要環(huán)節(jié)。 從近幾年 來高

24、考試題中我們可以看到： 基礎(chǔ)知識， 基本技能， 基本思想和方法始終是高考數(shù)學(xué) 試題考查的重點?？荚囌f明明確指出：易、中、難題的占分比例控制在3：5：2左右，即中、低檔題占總分的80%左右，這就決定了我們在高考復(fù)習(xí)中必須抓基礎(chǔ)， 常抓不懈，只有基礎(chǔ)打好了，做中、低檔題才會概念清楚，得心應(yīng)手，做難題和綜合 題才能思路清晰， 運算準確。在高考第一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)以夯實雙基為主， 對構(gòu)建的知識 網(wǎng)絡(luò)上每個知識點要弄清要領(lǐng)， 了解數(shù)學(xué)知識和理論的形成過程以及解決數(shù)學(xué)問題的 思維過程， 注重基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)和基本技能的訓(xùn)練， 不求高難， 應(yīng)為后繼階段的綜合 能力提高打下堅實基礎(chǔ)。要貼緊課本，對課本中的例題、知識點

25、加以概括和延伸，使 之起到舉一反三， 觸類旁通的效果。 如課本中數(shù)列一章有詳細推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù) 列前n項和公式的過程，通過復(fù)習(xí)要掌握 倒序相加法”和錯位相加法”兩種不同的方 法，為我們在數(shù)列求和的解題中提供思路和方法。 因此在復(fù)習(xí)時特別要注意課本中例 題和習(xí)題所啟示的解題方法，要關(guān)于總結(jié)，豐富解題思路。二、綜合復(fù)習(xí)階段 綜合深化，掌握數(shù)學(xué)思想方法 第二輪復(fù)習(xí)是在第一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上進行鞏固、 完善、綜合、提高的重要階段， 是關(guān)系到學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)能否迅速提高進而適應(yīng)高考中、 難度試題的關(guān)鍵。 第二物理 學(xué)復(fù)習(xí)要加強對思維品質(zhì)和綜合能力的培養(yǎng)， 主要著眼于知識重組，建立完整的知識 能力結(jié)構(gòu)，包括學(xué)科的方法能力、思維能力、表達能力，但這都必須建立在知識的識 記能力基礎(chǔ)之上，理解知識的來源及其所蘊含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，把握知識的縱 橫聯(lián)系，培養(yǎng)探索研究問題的能力。常用的數(shù)學(xué)思想方法有化歸，函數(shù)與方程的思想， 分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等等。這些基本思想 和方法分散地滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中， 在高一、高二的學(xué)習(xí)過程中，主要精力集中于 數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中，缺乏對基本的數(shù)學(xué)思想和方法的歸納和總結(jié)， 在高考前的復(fù)習(xí)過程 中，要在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識的同時，有意識地掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法，只有這樣，在高 考中才冊靈