淺析特殊二元一次方程組的巧妙解法

1、解： (1) + (2)得 7x -7y = 7淺析特殊二元一次方程組的巧妙解法云南省曲靖市宣威市羊場鎮(zhèn)初級中學張榮芝【摘要】 解二元一次方程組最常用的方法是代人法和加減法， 但對于一些特殊的二元一次方程組，若能根據(jù)方程組的特征，靈活運 用一些技巧，不僅可以簡化解題過程，而且有助于培養(yǎng)同學們的創(chuàng)新 意識?！娟P(guān)鍵詞】二元一次方程組巧解創(chuàng)新意識加減法二元一次方程組的解題思路就是消元，通過消元把二元轉(zhuǎn)化為一 元。消元分代入消元法和加減消元法，這是解二元一次方程組的基本 方法。解題時常遇到一些特殊形式的方程（組），它們結(jié)構(gòu)巧妙而富 有規(guī)律性。此時應(yīng)仔細觀察題目的特點，抓住方程的結(jié)構(gòu)特征或某種 規(guī)律，聯(lián)

2、想一些解題方法與技巧，往往能避免常規(guī)解法帶來的繁雜運 算，找到較為簡便的解法。這兩種方法都是從“消元”這個基本思想 出發(fā)，先把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”把解二元一次方程組的問題歸結(jié) 為解一元一次方程，在“消元”法中，包含了 “未知”轉(zhuǎn)化到“已 知”的重要數(shù)學化歸思想。一、整體代入法y 1 x 2例1 解方程組下 飛一2x 3y 1解：原方程組可變形為4x 3y2x 3y繼續(xù)變形為 2 x 3y+2 x=52 x L 3y=1(2)代入(1)得：12 x 5 x 3x解得:方程組的解為y再如：2aj +b=3 (1)3a +b=4 (2)ax by m, 解：(2)式變形為(2a+ b) +a =

3、4 (3) bx ay n把(1)代入(3)得3 +a=4把a= 1代入(1)得b=1原方程組的解是&=1b L =1二、直接加減法ax x+by=m當方程組中未知數(shù)的系數(shù)具有輪換特點時，即類似于bx + ay=nL的形式，可以直接將兩個方程相加、減，反復兩次，然后聯(lián)立得到新 方程，從而巧妙地迅速求解，我們稱之謂反復加減法.例2解方程組4x3y=3 (1)3x L -4y=4 (2)x y = 1(3)(3) (2)得 x +y=- 1 (4)由(3), (4)得 x= 0 x = 0, : y = -197x79y212，再如： ”"仙八令 可用此種方法快速求解79x97y

4、140三、整體疊加法例3解方程組3x 5(x y) 36, 3y 4(x y) 36.分析：兩個方程的第一項未知數(shù)x、y的系數(shù)相同，并且都含有x y 的倍數(shù)，故可將x y視為一個整體，把兩方程相加，先求出x y的值, 爾后將x y的值分別代入兩方程即可得解.解：(1) + (2)得3(x+y)+9(x+y)=72 x+y=6(3)把(3)代入(1) (2)彳# 3x+30=36 x=23y+24=36 y=4所以原方程組的解為x =2Yy 1=4四、消常數(shù)項法例4解方程組2 2x-5y= - 3(1)1-4x+ y = - 3(2)解： (1) (2)得6x 6y = 0 化簡得 x = y（

5、3）把（3）代入（1）得y= 1 把y = 1代入（1）得x=1所以原方程組的解為 X = 1 YyJ = 17x 38y 90, 再如：解方程組23X 67y 180.五、設(shè)參數(shù)代入法例5解方程組X -3y=2 （1） x:y=4:3 X y 解：由（2）得：4 3、X工k設(shè) 43 ，則 x=4k,y=3k（3）把（3）代入（1）得：4k 9k 2解得： 5,286k -x 一, y 把 5代入（3）,得： 558 x56 y所以原方程組的解是 5六、換元法部分看作一個整所謂換元法，就是把一個數(shù)學式子或者其中的 體，用一個中間變量去代換，從而達到簡化式子的目的x/5 + y/7=12(1)2

6、x 3y32x 3y27,8.2x 3 y解方程組42x 3y3分析：從該方程組的特點可以看出，把2x 3y,2x 3y各視為一個整體, 利用換元法較為簡捷。解：設(shè)2x + 3y = a, 2x -3y=b則原方程組可變形為'3a+4b= 842a+3b=48解得a = 60q b=-242x+3y=60x=92x-3y= -24解得這個方程組，得卜=14用換元法解方程組可化繁為簡，不僅可減少運算量，還可以又快 又準地解出方程。七、對稱方程組的解法例7解方程組x /5+ y/7=12L y/5+x/7=12分析：觀察方程組不難發(fā)現(xiàn)，把期中任意一個方程中的兩個未知 數(shù)互換位置，得到的方程恰為另一個方程。不難驗證，在這種情況下 將原方程組中任一方程與y= x聯(lián)立求得的解即為原方程組的解。解：原方程組與下列方程組的解相同(2)把(2)代入(1)得x=35, 把x = 35代入(2)得 y = 35所以原方程的解為一 x= 35、y=35八、簡化系數(shù)法例8解方程組4x 3y=3(1)I 3x 4y=4(2)解：(1) +(2)得:7x-7y=7所以 xy=1(3)(1)(2)得：x+y= 1(4)由(3)(4)得：x 0其實解二元一次方程組的方法遠遠不止以上幾種，有些二元一