「命題邏輯的基本概念」

1、命題邏輯的根本概念 第一節(jié)命題一、什么是命題命題是一個(gè)非真即假不可兼的陳述句.有兩層意思,首先命題是一個(gè)陳述句,而命令句、疑問(wèn)句和感慨句都不是命題.其次是說(shuō)這個(gè)陳述句所表達(dá)的內(nèi)容可決定是真還是假,而且不是真的就是假的,不能不真又不假,也不能又真又假.凡與事實(shí)相符的陳述句為真語(yǔ)句,而與事實(shí)不符的陳述句為假語(yǔ)句.這就是說(shuō) ,一個(gè)命題具有兩種可能的取值又稱真值為真或?yàn)榧?又只能取其一.通常用大寫字母T表示真值為真,用 F表示真值為假,有時(shí)也可分別用1和0表示它們.由于只有兩種取值,所以這樣的命題邏輯稱為二值邏輯.我們把以這種非真必假的命題作為研究對(duì)象的邏輯稱為古典邏輯,但也有人反對(duì)關(guān)于命題的這種觀點(diǎn)

2、,認(rèn)為存在既不真也不假的命題,例如：直覺(jué)主義邏輯、多值邏輯等.Aw舉例舉例說(shuō)明命題概念：1 ."雪是白的".是一個(gè)陳述句,可決定真值,顯然其真值為真,或說(shuō)為T,所以是一個(gè)命題.2 ."雪是黑的".是一個(gè)陳述句,可決定真值,顯然其真值為假,或說(shuō)為 F,所以是一個(gè)命題. 3 . 好大的雪啊不是陳述句,不是命題.4.一個(gè)偶數(shù)可表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和 "哥德巴赫猜測(cè).是命題,或?yàn)檎婊驗(yàn)榧?只不過(guò)當(dāng)今尚不知其是 真命題還是假命題.5 . "1 + 10 1=110"o這是一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式,相當(dāng)于一個(gè)陳述句,可以表達(dá)為"1加101等

3、110",這個(gè)句子所表達(dá)的內(nèi)容在十進(jìn)制范圍中真值為假,而在二進(jìn)制范圍中真值為真.可見(jiàn)這個(gè)命題 的真值還與所討論問(wèn)題的范圍有關(guān).冷?舉例舉例：以下句子都是命題 1 8小于12.（2） 8大于12.3 2 1世紀(jì)末,人類將住在月球.4任何一個(gè)大于5的偶數(shù)可表成兩個(gè)素?cái)?shù)的和.1顯然為命題,它陳述了一個(gè)事實(shí).2表示了一個(gè)錯(cuò)誤的判斷,故為假,又是一個(gè)陳述句,故為命題.3也是命題,雖然現(xiàn)在還不知道真假,但到21世紀(jì)末,就能知其真假,故它是不為真必為假的一個(gè)陳述句,即為命題.4是不知真假的一個(gè)陳述句,但"不知"不等于"不存在",這句話要么為真,要么為假,只是

4、不知道而已,故也為一個(gè)命題.舉例舉例:以下句子不是命題.1 8大于12嗎（2） 請(qǐng)勿吸煙.3 X大于丫.4本頁(yè)這一行的這句話是假話.1是一個(gè)疑問(wèn)句,不是陳述句.2是一個(gè)祈使句.3是一個(gè)不能確定其真假的句子,它可能為真 , 也可能為假,從而不為命題.在判斷一個(gè)語(yǔ)句是否是命題時(shí),從語(yǔ)法上就是看他是否是陳述句.但值得注意的是,這里所說(shuō)的陳述句不包括那些 "自指謂"的語(yǔ)句.如4這個(gè)語(yǔ)句,它的結(jié)論是對(duì)自身而言的,就是所謂"自指謂"的.這種自指謂的語(yǔ)句往往會(huì)產(chǎn)生自相矛盾的結(jié)論,即所謂的悖論.如上面這句話,如果成認(rèn)它 是真的,由于本頁(yè)這一行中沒(méi)有別的話,所以必須成認(rèn)它

5、是假的；另一方面,如果成認(rèn)它是假的, 這剛好就是 這句話所說(shuō)的,所以又必須成認(rèn)它是真的.因此這句話本身包含了悖論.我們?cè)谂袛嘁粋€(gè)語(yǔ)句是否是命題 時(shí)把這種語(yǔ)句排除在命題之外.二、命題變項(xiàng)為了對(duì)命題作邏輯演算,采用數(shù)學(xué)手法將命題符號(hào)化形式化 是十分重要的.我們約定用 大寫字母表示命題,如以P表示“雪是白的",Q表示"北京是中國(guó)的首都"等等. 當(dāng)P表示任一命 題時(shí),P就稱為命題變項(xiàng)變?cè)?有些文獻(xiàn)中,用小寫拉丁字母表示命題變量：p,q, r, ；而用大寫字母代表具體的、確指的命題：P, Q,R,本書在不發(fā)生混淆的地方有時(shí)也用大寫字母代表命題變量.命題與命題變項(xiàng)含義是不同的

6、,命題指具體的陳述句, 是有確定的真值,而命題變項(xiàng)的真值不定,只當(dāng)將某個(gè)具體命題代入命題變項(xiàng)時(shí),命題變項(xiàng)化為命題,方可確定其真值.命題與命題變項(xiàng)象初等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系一樣.如 5是一個(gè)常量,是一個(gè)確定的數(shù)字,而x是一個(gè)變量,賦給它一個(gè)什么值它就代表什么值 , 即x的值是不定的.初等數(shù)學(xué)的運(yùn)算規(guī)那么中對(duì)常量與變量的處理原那么是相同的,同樣在命題邏輯的演算中,命題與命題變項(xiàng)的處理原那么也是相同的.因此,除在概念上要區(qū)分命題與命題變項(xiàng)外,在邏輯演算中就不再區(qū)分它們了.三、簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題簡(jiǎn)單命題又稱原子命題,它是不包含任何的與、或、非一類聯(lián)結(jié)詞的命題.如 1 . 1.1中所舉 的命題例子都是

7、簡(jiǎn)單命題.這樣的命題是不可再分割了,如再分割就不是命題了.而像命題"雪是白的而且1 + 1 = 2",就不是簡(jiǎn)單命題,它可以分割為 "雪是白的"以及"1+1 = 2 "兩個(gè)簡(jiǎn)單命 題,聯(lián)結(jié)詞是"而且".在簡(jiǎn)單命題中,盡管常有主語(yǔ)和謂語(yǔ),但我們不去加以分割,是將簡(jiǎn)單 命題作為一個(gè)不可分的整體看待,進(jìn)而作命題演算.在謂詞邏輯里,才對(duì)命題中的主謂結(jié)構(gòu)進(jìn)行 深入分析.?僅只限于簡(jiǎn)單命題的討論,除分別討論真值外,再?zèng)]有可研究的內(nèi)容了.而命題邏輯所討論的 正是多個(gè)命題聯(lián)結(jié)而成的復(fù)合命題的規(guī)律性.把一個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單命題用聯(lián)結(jié)詞如與

8、、或、非聯(lián)結(jié)所構(gòu)成的新的命題稱為復(fù)合命題 ,也稱為分子命題.復(fù)合命題自然也是陳述句,其真值依賴于構(gòu)成這復(fù)合命題的各簡(jiǎn)單命題的真值以及聯(lián)結(jié)詞,從而復(fù)合命題有確定的真值."張三學(xué)英語(yǔ)和李四學(xué)日語(yǔ)"就是一個(gè)復(fù)合命題,由簡(jiǎn)單命題 "張三學(xué)英語(yǔ)""李四學(xué)日語(yǔ)"經(jīng)聯(lián)結(jié)詞"和"聯(lián)結(jié)而成, 這兩個(gè)簡(jiǎn)單命題真值均為真時(shí),這復(fù)合命題方為真.在數(shù)理邏輯里,僅僅把命題看成是一個(gè)可取真或可取假的陳述句,所關(guān)心的并不是這些具體的陳述句的真值究竟為什么或在什么環(huán)境 下是真還是假,這是有關(guān)學(xué)科本身研究的問(wèn)題,而邏輯關(guān)心的僅是命題可以被賦予真或假這

9、樣的 可能性,以及規(guī)定了真值后怎樣與其他命題發(fā)生聯(lián)系的問(wèn)題.不能分解成更簡(jiǎn)單的命題的組合的命題稱為簡(jiǎn)單命題.而像下面這樣的命題： 1期中考試,張三沒(méi)有考及格.2期中測(cè)試,張三和李四都考及格了.3期中測(cè)試,張三和李四中有人考 9 0分.4張三能考90分,那么李四也能考9.分(5)張三能考90分當(dāng)且僅當(dāng)李四也能考90分.它們都是由簡(jiǎn)單命題通過(guò)加上諸如："不是","或者","而且","如果-那么","當(dāng)且僅當(dāng)"等這樣一些否認(rèn)詞或連詞得到的.這些詞稱為聯(lián)結(jié)詞.由聯(lián)結(jié)詞連接的命題稱為復(fù)合命題.第二節(jié)命題連

10、接詞及真值表聯(lián)結(jié)詞可將命題聯(lián)結(jié)起來(lái)構(gòu)成復(fù)雜的命題,命題邏輯聯(lián)結(jié)詞的引入是十分重要的,其作用相當(dāng)于初等數(shù)學(xué)里的實(shí)數(shù)集上定義的+、-、X、一等運(yùn)算符.通過(guò)聯(lián)結(jié)詞便可定義新的命題,從而使命題邏輯的內(nèi)容變得豐富起來(lái),我們要討論的僅只是復(fù)合命題的真值,可由組成它的相應(yīng)命題的真值所確定.值得注意的是邏輯聯(lián)結(jié)詞與日常自 然用語(yǔ)中的有關(guān)聯(lián)結(jié)詞的共同點(diǎn)和不同點(diǎn).?下面介紹五個(gè)常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞： -、八、V、一、聯(lián)結(jié)詞分為兩類. 一類是由此聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題的真假完全由構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題的真 假?zèng)Q定,這種聯(lián)結(jié)詞叫做真值聯(lián)結(jié)詞.例如,張三和李四都考了 90分.假設(shè)"張三考了 90分","

11、;李四考了 9 0分"都真,那么原命題真,假設(shè)這兩個(gè)命題有一個(gè)假,那么原命題假.所以"和"是個(gè)真值聯(lián)結(jié) 詞.另一類是由此聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題的真假不完全由構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題的真假來(lái)確定,例如：(1)清華大學(xué)是中國(guó)最好的大學(xué)之一,促使許多有志學(xué)子前來(lái)求學(xué).(2)珠穆朗瑪峰最高,促使許多有志學(xué)子來(lái)清華求學(xué).這兩個(gè)命題都是用聯(lián)結(jié)詞"促使來(lái)連接的,但前者為真,后者卻為假了.在古典邏輯中,我們只討論真值聯(lián)結(jié)詞,即復(fù)合命題的真假完全由構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題的真假來(lái)確定.一、否認(rèn)詞-1 ?否認(rèn)詞"1 "是個(gè)一元聯(lián)結(jié)詞.一個(gè)命題 P加上否認(rèn)詞就形成了一個(gè)新的命題 ,記作P ,這個(gè)新命題是命題的否認(rèn),讀作非Po?規(guī)定,假設(shè)命題P的真值為真,那么P的真值就為假.假設(shè) P的真值為