發(fā)散級數(shù)和正交級數(shù)的探討

1、發(fā)散級數(shù)和正交級數(shù)的探討劉海偉 PB07210219 信息學(xué)院0702班 在初步學(xué)習(xí)完級數(shù)這章后，深深被里面所體現(xiàn)的深刻的數(shù)學(xué)思想所吸引，也很好的 體現(xiàn)出哲學(xué)方法論。比如始終貫穿科學(xué)研究的方法，化未知的為以已知，用已知去估計 未知。即使一個相當(dāng)復(fù)雜的函數(shù)都可以通過三角或者冪級數(shù)等等簡單函數(shù)的和形式來表 達，真的是很精彩。但是總感覺這里還有很多的東西書上未做出合適的解釋或者分析，不痛不癢，吊足 了胃口。鑒于本人目前的知識水平，文章中有很多尚未解決的問題，還望老師和親愛的 同學(xué)們能夠給以指導(dǎo)。正交級數(shù)導(dǎo)入：高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論第 462頁，定義2 :若對于在區(qū)間a,b上可積且平方可積的任意函數(shù)f(x),貝

2、塞爾不等式成為等式就稱函數(shù)系攤是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系，等式即為廣義的巴賽瓦爾等式，這樣，只有險詭因是完備正交系時，才能得出冷身諾平方收斂于f(x)，因為這時有l(wèi)im I |Sa(x)-f(x)|:dx= 0即函數(shù)f(x)可以表示成函數(shù)系飾J：幼的線性組合進:-. . _ . 其中二.f啊血冊這里，教材引入了一個新的定義，函數(shù)空間區(qū)間a,b上可積且平方可積的復(fù)值函數(shù)的全體。并且定義了空間的內(nèi)積和模 如同n維Euclid空間一樣，函數(shù)空間|.學(xué)的完備標(biāo)準(zhǔn)系舉幼就是這個空間的標(biāo)準(zhǔn)基， ajx) 就是系數(shù)。稱廣義的巴賽瓦爾等式就是函數(shù)空間的勾股定理。仔細(xì)分析這里的定義，不難發(fā)現(xiàn)，這里的定義其實我們都見過，

3、并不新。見高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論的第12頁，有n維歐氏空間的相關(guān)定義。將直角坐標(biāo)系的建中的點距離公式和向量的 模的公式推廣到 丄中, 設(shè)陽為島怎.、泣，L釧訓(xùn)汕:J川J為弊中任意兩個元素,稱為x和y的距離,稱-_ .：為x的模，顯然 p(xy) = lx-y|并且給出了歐氏空間 X的3個性質(zhì)。(1)正定性，對于X中的任意一對兀素 x和y，都有血張；又 隠噸當(dāng)且僅當(dāng)x=y；(2)對稱性，即對于 X中的任意一對兀素 x和y，都有矗扁".(3)三角不等式成立，即對于任意詼,都有py)<p(zx) + p<這些東西的證明參見教材，在此不再贅余。只是聯(lián)想到前面級數(shù)涉及到的正交系可以模仿此 處

4、再定義些東西，并就此推導(dǎo)出一些相關(guān)的性質(zhì)。如距離.葡臨冋用能內(nèi)積妙川馳模 1111-另方面，任何復(fù)數(shù)總可以表示成 和苗的形式，函數(shù)應(yīng)該也可以。這里，淙I逡:"刖:心 那么模又可以定義為可以證明函數(shù)空間也是滿足歐氏空間的3條性質(zhì)的。并且仿照 Cauchy不等式 設(shè)：氓；整：-"：左制那帕恥皿；帕為2n個實數(shù)，則有姑且成為函數(shù)空間的 Cauchy不等式。證明如下:若f,g中有一個是0，那么等式兩邊都是0,等式顯然成立。下面就可以假設(shè)f,g都非零,有均值不等式2遼：（；代入有If 詢生 J lflJ , IgP 兩邊積分就得到要證明的不等式。對于性質(zhì)中前2條的證明直接根據(jù)定義基本

5、就能解決，但是第3條如下(If-hl + lb-glpdx堆 |f-gFdx）改（*）= p(£h)+p(g,h)其中（*）式還是不知道如何過渡。權(quán)且放在這里，待以后解決。另，這里是兩個函數(shù)的關(guān)系， 姑且記為2維，猜想應(yīng)該也是可以推導(dǎo)出 n維的函數(shù)空間的, 正如歐氏空間一樣，只要符合前面所說的3條性質(zhì)就可以了。發(fā)散級數(shù)教材在一引入級數(shù)這個概念之后，很快的就將我們的注意力引到了收斂級數(shù)上，似乎級數(shù) 一旦發(fā)散就是毫無用處的。事實上，真的是這樣嗎？看如下級數(shù)大家都知道這里取=1，x=-1,會得出結(jié)論Bm(i-x+r-xs+-»)一二廠 1=1/2.這個結(jié)論是相當(dāng)有趣的， 右端的級

6、數(shù)是發(fā)散的， 但是求和也得出一個結(jié)果， 盡管我們這個是 不正確的，但是這個究竟是什么。查閱了相關(guān)書籍，才知道在Cauchy之前的數(shù)學(xué)家在分析級數(shù)時是不分發(fā)散或是收斂的。 Abel定義 fOO = Zn=o 亀 Xn 有收斂半徑r,3 / 5且x=r時收斂則有但若了爲(wèi)怎：不收斂而Ijill if才在r=1時存在，就是發(fā)散級數(shù)和的定義。"i-*r-這個定義就是將發(fā)散級數(shù)和收斂級數(shù)的定義統(tǒng)一了，特別的彰顯了數(shù)學(xué)的大統(tǒng)一的美學(xué)觀。在熱學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，遇到一系列的積分。如上.護帝等，熱學(xué)教材上稱該式為誤差函數(shù)，并且制成了誤差函數(shù)表了。顯然這個函數(shù)是不能被分解為收斂函數(shù)的，但是距具體計算而已，我

7、們不妨仍然將其展開。只是做下適當(dāng)?shù)淖冃?，利用分部積分就可以得到，細(xì)=1卜于益-顯然級數(shù)收斂的是非常快的，可以很好的進行逼近，因為在實驗物理上不需要嚴(yán)格的準(zhǔn)確值， 只要足夠逼近達到一定精度就可以了。發(fā)散級數(shù)在此起到很大的作用。 對于其他的函數(shù)，如,其中n=1,2,3,4,等，這里利用了通過廣義積分可以求出結(jié)果，而可以又上面2者做差得出。很好的解決了熱學(xué)中的實際問題。初等函數(shù)級數(shù) 教材給出了指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式X T3 I1£* = 1 + y; + + + « , -W < X < QQ同時又給出打弁工和的展開，其實是沒有必要的。令上式x=-x,有AM一工咒血一x

8、心e*x = 1 + + + ® < t < oo1!2!3!做差有 血二:r + + + j -oo<x<做和有 ch(x)= 二：:/?! X!再令x=ix有IX -Xs -ix9T4= 1 + 7； + rr +- +-<x < M 1!2!3!4!令x=-ix有-cc <X做差有防-2i做和有一一 =而且在 ：還能得出等式shx=(-i)*sin(ix) 利用以上的結(jié)論再進行變化和組合，如賦值、換元、導(dǎo)數(shù)積分、四則運算(如除以 x的n 次方等)可以解決很多相關(guān)的與階乘在分母上有關(guān)的級數(shù)求和問題。 相信大家對此都已經(jīng)相 當(dāng)?shù)氖煜ち恕Ｄ敲措A乘在分子上的級數(shù)求和問題呢？即Y(x)=這里的形式滿足微分方程