分離變量法的精神和解題要領(lǐng)

1、習(xí)題一：判定下列二階方程的類型及化簡(jiǎn)06234yxyyxyxxuuuuu0)1 ()1 (22yxyyxxyuxuuyuxuuu14711471答案：答案：0uu0yyxxxuu0)(60)()(24103023uuuoruuxuxuuux答案：2)()0 ,(),( 0), 0()0,0( 2xlxxukqtlututlxuauxxxt習(xí)題二：長(zhǎng)為l的均勻桿，側(cè)面絕緣，一端溫度為零，另一端有恒定熱量q進(jìn)入（即單位時(shí)間由通過(guò)單位截面積流入的熱量為q），桿的初始溫度分布是 2)(xlx，試寫(xiě)出相應(yīng)的定解問(wèn)題。答案： 建立方程解題思路： 設(shè)其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線密度為。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律

2、。 建立坐標(biāo)：設(shè)桿長(zhǎng)方向?yàn)閤軸，考慮桿上從x到x+dx的一段(代表)，其質(zhì)量為dm= dx，熱容量為cdm。設(shè)桿中的熱流沿x軸正向，強(qiáng)度為q(x,t)，溫度分布為 u(x,t)，則 由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut = -qx 由熱傳導(dǎo)定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut = k uxxut = a2 uxxxu解題方法： 1 1建立方程， 2 2定解條件：邊界條件，初始條件 3 3定解問(wèn)題分離變量法的精神和解題要領(lǐng) 1分離變量法的精神 將未知函數(shù)按多個(gè)單元函數(shù)分開(kāi)，如，令 從而將偏

3、微分方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)常微分方程的求解 2分離變量法的解題步驟 用分離變量法求解偏微分方程分4步 （1）分離變量：將未知函數(shù)表示為若干單元函數(shù)的乘積，代入齊次方程和齊次邊界條件，得到相應(yīng)的特征值問(wèn)題和其它常微分方程。 （2）求解特征值問(wèn)題 （3）求解其它常微分方程，并將求得的解與特征函數(shù)相乘，得到一系列含有任意常數(shù)的分離解（如 ）。 （4）疊加（如 ）用初始條件和齊次邊界條件確定系數(shù)（即任意常數(shù)），從而得到偏微分方程定解問(wèn)題的解。)()()()(),(tTzZyYxXtzyxu, 2 , 1,nunnuu特征值問(wèn)題 在用分離變量法求解偏微分方程的定解問(wèn)題時(shí)，會(huì)得到含有參數(shù)的齊次常微分方

4、程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）組成的定解問(wèn)題，這類問(wèn)題中的參數(shù)，必須依據(jù)附有的邊界條件取某些特定的值才能使方程有非零解。這樣的參數(shù)，稱為特征值，相應(yīng)的方程的解，稱為特征函數(shù)，求解這類特征值和相應(yīng)的特征函數(shù)的問(wèn)題，稱為特征值問(wèn)題。 常涉及到的幾種特征值問(wèn)題： （1） 特征值 ，特征函數(shù) （2） 特征值 ，特征函數(shù) （3） 特征值 ，特征值函數(shù) （4） 特征值為 ，特征值函數(shù) 0)()0(0)()(lXXxXxX222ln, 2 , 1 sin)(nxlnCxXnn 0)()0(0)()(lXXxXxX2)(ln, 2 , 1 , 0 cos)(nxlnCxXnn 0)()0(0)()(lXX

5、xXxX2)21(ln , 2 , 1 , 0 21sin)(nxlnCxXnn 0)()0(0)()(lXXxXxX2)21(ln , 2 , 1 , 0 21cos)(nxlnCxXnn有界弦的自由振動(dòng) ( , )( ) ( )u x tX x T t3 , 2 , 1sin)(kxxXk 0 )( )(u 0)(t 0),(), 0( )0,0( 0002lxxuxtlututlxuautttxxtt 0)()0( 0)()(lXXxXxX特征值問(wèn)題同熱導(dǎo)相同222lkkxlktlakBtlakAtTxXtxutxukkkkkkkksin)sincos()()(),(),(111lkdl

6、nlA0sin)(2lkdlnakB0sin)(2形式不變有界桿上的熱傳導(dǎo)0:0:0)(:0)0 , 0(02huulxuxxutlxtuauxxxt)3 , 2 , 1(sinsin)(kxlxxXkkk1sin),(2kktakxeAtxuk), 2 , 1()(2klkk形式不變( , )( ) ( )u x tX x T t特征值問(wèn)題同振動(dòng)方程相同1020sinsinsin)(),(2kktalklkxeddtxuklklkkddA020sinsin)(), 2 , 1()(2klkk222,(0, ),0( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxu xx

7、xlutu l tt本征值和本征函數(shù)21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln222112220()()( , )expsinnnannu x tAtxll120()2( )sinlnnAdll 波動(dòng)與熱導(dǎo)對(duì)比( , )( ) ( )u x tX x T t本征值問(wèn)題( )( )0(0)( )0XxX xXX lX(x)：2( )( )0TtaT tT(t)：( )( )0(0)( )0XxX xXX l本征值問(wèn)題X(x)：2( )( )0T taT tT(t)：波動(dòng)熱導(dǎo)0yyxxxuu0)(60)()(24103023uuuoruuxuxuuux答案： 建立方程解題思路：

8、 設(shè)其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線密度為。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。 建立坐標(biāo)：設(shè)桿長(zhǎng)方向?yàn)閤軸，考慮桿上從x到x+dx的一段(代表)，其質(zhì)量為dm= dx，熱容量為cdm。設(shè)桿中的熱流沿x軸正向，強(qiáng)度為q(x,t)，溫度分布為 u(x,t)，則 由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut = -qx 由熱傳導(dǎo)定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut = k uxxut = a2 uxxxu解題方法： 1 1建立方程， 2 2定解條件：邊界條件，初始條件 3 3定解問(wèn)題 （1） 特征值 ，特征函數(shù) （2） 特征值 ，特征函數(shù) （3） 特征值 ，特征值函數(shù) （4） 特征值為 ，特征值函數(shù) 0)()0(0)()(lXXxXxX222ln, 2 , 1 sin)(nxlnCxXnn 0)()0(0)()(lXXxXxX2)(ln, 2