隨機序列及數(shù)字特征

1、1.2.5平穩(wěn)隨機序列的功率譜密度 平穩(wěn)隨機序列是無始無終序列, 其能量是無限的, 因此不存在傅氏變換與Z變換. 為此,現(xiàn)考察 , 取下列極限： 當 時, 上式表明零均值隨機序列的 是收斂的, 因此 存在Z變換與傅氏變換.)(mRxx2lim( )limxxnn mmmnn mxRmE xxE xE xm0 xm lim( )0 xxmRm)(mRxx)(mRxx1. Rxx(m)的的z變換及其收斂域變換及其收斂域定義: 正變換: (1.2.32) 逆變換: (1.2.33) 其中, c是一條在收斂域內(nèi)逆時針方向繞原點一周的圍線. 考慮到實實平穩(wěn)隨機過程的 具有偶對稱性, 即:(1.2.34)

2、對上式進行Z變換: ( )( )mxxxxmPzRm z11( )( )2mxxxxcRmPz zdzj( )xxRm( )()xxxxRmRm1( )()xxxxPzPz對復(fù)平穩(wěn)隨機過程,有1( )xxxxPzPz這說明: 若 是 的一個極點, 則 也是它的極點.收斂域收斂域: : （1） , 的收斂域一定包括單位園, 即 ; （2） 是雙邊序列(非因果序列)收斂域應(yīng)為園環(huán)域, 即 .進一步, 若 是靠近單位園的園內(nèi)極點, 則 便是靠近單位園的園外極點,結(jié)論：結(jié)論： 的收斂域有以下形式: ，1zz( )xxPz11zz0 xm0)(limmRxxm( )xxPz0 xm0)(limmRxxm

3、01xR)(mRxxxxRzR|xzR1xzR( )xxPz| 1xxRzR01xR2. 2. RxxRxx( (m m) )的傅氏變換的傅氏變換( (功率譜功率譜)維納維納- -辛欽定理辛欽定理 由于 的收斂域包含單位園, 所以存在傅氏變換. 令 , 代入變換式得到: (1.2.35)(1.2.36)以上二式表示的傅氏變換對, 稱為“維納維納-辛欽定理辛欽定理”.討論討論: :（1） 的物理意義: 由式(1.2.36) , 當 時, 得( )xxPzjze()( )( )jjj mxxxxxxz emPePzRm e1( )()2jj mxxxxRmPeed()jxxPe0m（1.2.37)

4、另因當均值 時, 有:所以21(0)()2jxxxxnRPedE x2( )( )xxxxxCmRmm0 xm 22(0)xxnxCE x221(0)(0)()2jxxxxxxxnRCPedE x(C) 的平均功率密度，即功率譜密度(B)區(qū)間 內(nèi)的平均功率(A)信號的平均功率nx解釋解釋: :（A） 或 代表信號的平均功率;（B） 在區(qū)間 的積分面積等于信號的平均功率;（C）所以， 即為平穩(wěn)隨機序列的平均功率密度, 稱為“功率譜密度”. 維納-辛欽定理說明, 是功率函數(shù). 由于 是隨機序列的統(tǒng)計平均特征量, 所以 是隨機序列的無窮多個樣本序列功率譜密度的集合平均(即統(tǒng)計平均).（2）功率譜是

5、的實偶函數(shù) 由 , 可得 2nE x2x()jxxPe()jxxPe)(mRxx)(mRxx()jxxPe1( )()xxxxPzPz()()jjxxxxPePe或表示為 (1.2.38)（3）功率譜是實的非負函數(shù)(證明從略), 即:(1.2.39)（4） 與 的互功率譜密度:(1.2.40)(1.2.41)且有(1.2.42)( )()xxxxPP( )0 xxP)(nX)(nY()()jmxyxymPRm e1()( )2j mxyxyRmPed( )()xyyxPP1.2.6 隨機序列的各態(tài)歷經(jīng)性1.1.有限集合平均有限集合平均 在有限個樣本序列中, 對同一個特定時刻的所有觀察值求算術(shù)平

6、均: (1.2.43) 對平穩(wěn)隨機序列, 若選擇兩個時刻 和 , 則有(1.2.44) 1( )xNmx nN個樣本序列nmn 1( ) ( ) ()xxNRmx n x nmN個樣本序列2.2.統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均 當樣本序列為無窮多個集合時, 上述集合平均的極限即為統(tǒng)計平均:(1.2.45)(1.2.46)3.3.時間平均時間平均 對實平穩(wěn)隨機序列 的一個實現(xiàn)的特定樣本曲線 , 對各個時刻的值求平均, 且當時間趨于無窮大時, 得到: 時間平均值:(1.2.47) 1lim( )xNNmx nN1( )lim ( ) ()xxNNRmx n x n mN( )X n( )x n1( )lim(

7、)21NNnNx nx nN若不具備務(wù)態(tài)歷經(jīng)性, 該式不能與式(1.2.29)等同.時間自相關(guān)函數(shù): (1.2.48)4.4.各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性（1）各態(tài)歷經(jīng)性的必要條件: 隨機序列必須是平穩(wěn)的, 即概率分布不隨時間變化. 這時, 假設(shè)平穩(wěn)隨機序列的每個實現(xiàn)都同樣經(jīng)歷了過程中的各種可能的狀態(tài), 則其中任何一個實現(xiàn), 都可以充當具有充分代表性的樣本, 于是(1.2.49) (1.2.50)上述性質(zhì)即稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”. 1( ) ()lim( ) ()21NNnNx n x nmx n x nmN此式適用于實平穩(wěn)隨機序列.( ) ( )xx nE x nm( ) () ( ) ()( )xxx

8、 n x n mE x n x n mRm（2）各態(tài)歷經(jīng)性假設(shè): 若一個平穩(wěn)隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)的, 則其集合平均等于一個樣本函數(shù)在整個時間軸上的平均值. 這種假設(shè)的好處是: a) 時間平均只需要一部測試設(shè)備即可. 為使樣本完整, 一個觀察者的測試時間必需足夠長; b) 可將統(tǒng)計平均轉(zhuǎn)化為時間平均, 計算方法簡單, 特別適合于用計算機求平均. 實際中遇到的平穩(wěn)隨機序列，一般都是各態(tài)歷經(jīng)的。實際中遇到的平穩(wěn)隨機序列，一般都是各態(tài)歷經(jīng)的。注意注意: : 實際測量只能得到平穩(wěn)序列一個樣本 的有限長時段, 因此, 只能得到統(tǒng)計均值的估計值:( )x n1( )( )21NxNnNmx nx nN1( )

9、( ) ()( ) ()21NxxNnNRmx n x n mx n x n mN1.2.71.2.7常見的隨機序列常見的隨機序列1.1.純隨機信號純隨機信號( (零階馬爾柯夫信號零階馬爾柯夫信號) ) 純隨機信號又稱零階馬爾柯夫信號。主要特性如下： (1)所有的隨機變量互相獨立, 有相同的概率密度函數(shù). (2)純隨機信號是平穩(wěn)的 均值為零: 各隨機變量方差相同: (1.2.51) 自相關(guān)函數(shù)與時間起點無關(guān), 只決定于時間差：(1.2.52) (3)純隨機信號是無記憶的 理由: 純隨機信號的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)(1.2.53)0nxE22(0)nxxxE xR2( )( )xxn knxRkE

10、 xxk 11(,)() ()nnnnp xxp xp x 條件密度函數(shù) (1.2.54) 由以上二式可以看出, 取值不受 的影響, 因而是無記憶的. 對一階馬爾柯夫信號, 只受前一個取樣值 的影響, 因而有 (1.2.55) 可見, 一階馬爾柯夫信號的記憶能力可維持一個取樣間隔.2. 2. 白噪聲序列白噪聲序列 白噪聲序列 的隨機變量兩兩互不相關(guān), 可表示為 (1.2.56)式中1()()nnnp xxp xnx1nxnx1nx12101(,)()nnnnnp xxxx xp xx( )w n2,( ,)nw wwmnCn m 1,0,mnm nm n 對于平穩(wěn)白噪聲序列, 進一步有(1.2

11、.57) 式中, 為常數(shù). 假設(shè)其均值 , 則功率譜 , 說明在整個頻帶內(nèi)功率譜是一個常數(shù). 白噪聲是隨機性最強的隨機序列. 理想的白噪聲序列是不存在的. 當信號帶寬遠大于系統(tǒng)帶寬, 且在系統(tǒng)帶寬內(nèi)信號頻譜基本恒定, 就可近似為白噪聲序列.3.3.正態(tài)正態(tài)( (高斯高斯) )隨機序列隨機序列 正態(tài)隨機序列 的 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 (1.2.58) 式中:2,( ,)w wmnCn m 20wm2()jxxPe)(nxNT1121 21 211( ,)exp() (var ) ()2(2 )|var|Np x xxx mxx mx 隨機矢量 均值矢量; 方差矩陣; 隨機變量 的方差; 與 的互

12、協(xié)方差. T12,NxxxxT12,Nmmmm11 212 12212222222222varNNNNNxx xx xx xxx xx xx xxx22() nnxnxE xm2cov(,)() ()nmnmx xnmnxmxxxE xmxmnxnxmx 高斯高斯- -馬爾柯夫過程馬爾柯夫過程: : 具有指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)高斯隨機過程, 是一種常見的隨機信號. 其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)分別為:(1.2.59)(1.2.60) 由上式可見, 當 時, , 均值 . 4.4.諧波過程諧波過程 諧波過程, 是由下式描述的隨機序列:(1.2.61) 式中, 振幅 和角頻率 是常數(shù); 相位 為獨立隨機變量, 服從均勻分布, 其概率密度可表示為:(1.2.62)2| |( )mxxRme2222()jxxPe m0)(mRxx0 xm1( )cos()Niiiix nAniAi), 2 , 1(Nii), 2 , 1(Ni1()2ipi諧波過程是平穩(wěn)隨機序列諧波過程是平穩(wěn)隨機序列, 說明如下: 設(shè) , 則 (1.2.63) 上式的均值為 (1.2.64) 自相關(guān)函數(shù)為1N( )cos()x nAn ( )cos()02AE x nnd22( ,) ( ) ()cos()cos ()2cos(2)