導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題典型例題(1)

1、2019與數(shù)的實(shí)際應(yīng)用示例內(nèi)容要求ABC導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用V1、能用導(dǎo)數(shù)方法求解有關(guān)利潤(rùn)最大等與最值有關(guān)的問(wèn)題2、感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。五年高考情況分析年份2015 年2016 年2018 年考查知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的實(shí)際應(yīng) 用，利用導(dǎo)數(shù)研 究函數(shù)的最值。函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的 最值。與立體幾何結(jié) 合。函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù) 研究函數(shù)的最值。匕二角函 數(shù)結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是函數(shù)模型的一個(gè)重要模塊，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)的一種重要工具，對(duì)函數(shù)的解析式?jīng)]有特殊的要求，無(wú)論解析式是復(fù)雜或者簡(jiǎn)單，與三角函數(shù)還是與其他模塊的結(jié)合都 可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，?？嫉闹R(shí)點(diǎn)可以與立體幾何、三角函數(shù)

2、、解析幾何等模塊結(jié)合，這是近 幾年江蘇高考命題的趨勢(shì)。在高考復(fù)習(xí)中要注意以下幾點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型。第一步：弄清問(wèn)題，選取自變量，確立函數(shù)的取值范圍；第二步：構(gòu)建函數(shù)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；第三步：解決構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題；第四步: 將解出的結(jié)果回歸實(shí)際問(wèn)題，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍。2、在建立函數(shù)模型時(shí)，要注意函數(shù)的定義域，要積累常見(jiàn)函數(shù)模型如分式函數(shù)、三次函數(shù)、 三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)模塊的結(jié)合。五年高考真題1、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條 連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為11, 12,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的

3、公路為1,如圖所示，M, N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn) M至山1, 12的距離分別為5km和40km,點(diǎn)N到1i, 12的距離分別為20km和2.5km,以12, li所在的直線分別為x, y a軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=x2ab(其中a, b為常數(shù))模型.(1)求a, b的值；(2)設(shè)公路1與曲線C相切于點(diǎn)P, P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫(xiě)出公路1長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出.其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路1的長(zhǎng)度最 短？求出最短長(zhǎng)度.X2、現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐 P-ABC。一下部 分的形狀是正四棱柱 ABCD-ABC1D1 （如圖所

4、示），并要求正四棱柱的高 OO1是正四棱錐的高 PQ的4倍.（1）若AB =6mPO 12n 則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？ （2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m, 則當(dāng)PQ為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？3、某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓 。的一段圓弧MPN （P為此圓弧的中點(diǎn)）和線 段:構(gòu)成.已知圓。的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫 室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚】工內(nèi)的地塊形狀為CDP,要求均在線段YN上, CQ均在圓弧上.設(shè)OC與所成的角為匕（1）用日分別表示矩形ABCD和ACDP的面積，并確定號(hào)端的取值范圍；（2）若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚11

5、內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值 之比為求當(dāng)電為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.三年模擬試題題型一與函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題OA的長(zhǎng)為1百米.為E-F,且 CD, DE, EF1百米參觀線路的費(fèi)用1、如圖，半圓AOB是某愛(ài)國(guó)主義教育基地一景點(diǎn)的平面示意圖，半徑 了保護(hù)景點(diǎn)，基地管理部門(mén)從道路l上選取一點(diǎn)C,修建參觀線路C-D 均與半圓相切，四邊形 CDEF是等腰梯形.設(shè)DE = t百米，記修建每5,0 <t< 1,為f(t)萬(wàn)元，經(jīng)測(cè)算f(t)=438 -1, - <t <2.t 3(1)用t表示線段EF的長(zhǎng)；(2)求修建該參觀線路的最低費(fèi)用.(第題

6、)2、下圖(I)是一斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，研究小組將其抽象成圖( II)所示的數(shù)學(xué)用K型.索塔AB, CD與橋面AC均垂直，通過(guò)測(cè)量知兩索塔的高度均為60m,橋面AC上一點(diǎn)P到索塔AB , CD距離之比為21: 4 ,且P對(duì)兩塔頂?shù)囊暯菫?35 .(1)求兩索塔之間橋面AC的長(zhǎng)度；(2)研究表明索塔對(duì)橋面上某處的 垂重強(qiáng)度”與多種因素有關(guān)，可簡(jiǎn)單抽象為：某索塔對(duì)橋面上某處的 筮重強(qiáng)度”與索塔的高度成正比(比例系數(shù)為正數(shù)a),且與該處到 索塔的 距離的平方成反比(比例系數(shù)為正數(shù) b ).問(wèn)兩索塔對(duì)橋面何處的 垂重強(qiáng)度”之和最小？并求出最小值.c第r題圖(r)(第V題圖(H &#

7、187;3、某經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃銷(xiāo)售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)凈化器的利潤(rùn)為x(單位：元，x>0)時(shí)，銷(xiāo)售量q(x)(單位：百臺(tái))與x的關(guān)系滿(mǎn)足：若x不超過(guò)20,則q(x)=1261；若x大于或等于180, 則銷(xiāo)售量為零；當(dāng) 20<x018時(shí)，q(x) = ag/X(a, b為實(shí) x十1常數(shù)).(1)求函數(shù)q(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(rùn)(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.4、經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品每噸的價(jià)格為x（1<x<14）百元時(shí)，該商品的月供給量為 yi噸，yi7 2121= ax+ 2a -a（a>0）；月需求重為y2萬(wàn)噸，y

8、2= -224x -2x+1,當(dāng)該冏品的需求重大于供給量時(shí)，銷(xiāo)售量等于供給量;當(dāng)該商品的需求量不大于供給量時(shí)，銷(xiāo)售量等于需求量，該商品的月銷(xiāo)售額等于月銷(xiāo)售量與價(jià)格的乘積.（1）若a=J問(wèn)商品的價(jià)格為多少時(shí)，該商品的月銷(xiāo)售額最大？ （2）記需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格為均衡價(jià)格，若該商品的均衡價(jià)格不低于 每噸6百元，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型二與平面或空間幾何體有關(guān)的最值問(wèn)題1、有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)），一邊AB長(zhǎng)為6分米，另一邊足夠長(zhǎng).現(xiàn)從中截取矩 形ABCD（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰割 能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)），其中OE

9、MF是以。為圓心、/ EOF= 120°的扇形，且弧EF, GH分別與邊BC, AD相切于點(diǎn)M, N.（1）當(dāng)BE長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折卷成的包 裝盒的容積；（2）當(dāng)BE的長(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？2、在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為 3 600平方厘米的矩形紙板ABCD ,然后在矩 形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方 體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB, BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘 米，其中a> b.(1)當(dāng)a= 90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值;(2)試確定a, b, x的值，使得紙盒的體積最大

10、，并求出最大值.題型三 與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題1、17.如圖，是一個(gè)扇形花園，已知該扇形的半徑長(zhǎng)為 400米，冗,且半徑0c平分AOB 二2/AOB ,現(xiàn)擬在0C上選取一'點(diǎn)P，修建二條路po , pa , pb供游人行走觀賞，設(shè)/PAO=a -(1)將三條路PO , PA, PB的總長(zhǎng)表示為a的函數(shù)1(a),并寫(xiě)出此函數(shù)一的定義域；(2)試確定口的值，使得l(ot)最小.第17題圖2、如圖，已知A, B兩鎮(zhèn)分別位于東西湖岸 MN的A處和湖中小島的B處，點(diǎn)C在A的正一、,.,.3. 兀 西萬(wàn)向1 km處，tan/BAN =4, / BCN =彳.現(xiàn)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜連通 A, B兩鎮(zhèn)，有兩

11、種鋪設(shè) 方案：沿線段AB在水下鋪設(shè)；在湖岸MN上選一點(diǎn)P,先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿 線段PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為 2萬(wàn)元 加、4萬(wàn)元161.(1)求 A, B兩鎮(zhèn)間的距離；(2)應(yīng)該如何鋪設(shè)，使總鋪設(shè)費(fèi)用最低？3、如圖是一個(gè)半圓形湖面景點(diǎn)的平面示意圖.已知 AB為直徑，且AB=2 km, O為圓心 ,C為圓周上靠近A的一點(diǎn)，D為圓周上靠近B的一點(diǎn)，且CD/AB.現(xiàn)在準(zhǔn)備從A經(jīng)過(guò)C 到D建造一條觀光路線，其中 A到C是圓弧 記，C至ij D是線段CD.設(shè)/ AOC=x rad,觀光 路線總長(zhǎng)為y km.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域;(2)求觀光

12、路線總長(zhǎng)的最大值.o2019與數(shù)的實(shí)際應(yīng)用示例內(nèi)容要求ABC導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用V3、能用導(dǎo)數(shù)方法求解有關(guān)利潤(rùn)最大等與最值有關(guān)的問(wèn)題4、感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。五年高考情況分析年份2015 年2016 年2018 年考查知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的實(shí)際應(yīng) 用，利用導(dǎo)數(shù)研 究函數(shù)的最值。函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，禾I 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的 最值。與立體幾何結(jié) 合。函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù) 研究函數(shù)的最值。匕二角函 數(shù)結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是函數(shù)模型的一個(gè)重要模塊，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)的一種重要工具，對(duì)函數(shù)的解析式?jīng)]有特殊的要求，無(wú)論解析式是復(fù)雜或者簡(jiǎn)單，與三角函數(shù)還是與其他模塊的結(jié)合都 可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，?？嫉闹R(shí)點(diǎn)可

13、以與立體幾何、三角函數(shù)、解析幾何等模塊結(jié)合，這是近 幾年江蘇高考命題的趨勢(shì)。在高考復(fù)習(xí)中要注意以下幾點(diǎn):3、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型。第一步：弄清問(wèn)題，選取自變量，確立函數(shù)的取值范圍；第二步：構(gòu)建函數(shù)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；第三步：解決構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題；第四步: 將解出的結(jié)果回歸實(shí)際問(wèn)題，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍。4、在建立函數(shù)模型時(shí)，要注意函數(shù)的定義域，要積累常見(jiàn)函數(shù)模型如分式函數(shù)、三次函數(shù)、 三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)模塊的結(jié)合。五年高考真題1、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條 連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為11, 12,山區(qū)邊

14、界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為1,如圖所示，M, N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn) M至山1, 12的距離分別 為5km和40km,點(diǎn)N到1i, 12的距離分別為20km和2.5km ,以。li所在的直線分別為x,ay軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y = X2rb(其中a, b為常數(shù))模型.(1) 求a, b的值；(2)設(shè)公路1與曲線C相切于點(diǎn)P, P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫(xiě)出公路1長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路1的長(zhǎng)度最 短？求出最短長(zhǎng)度.解析：(1)由題意知，點(diǎn)M, N的坐標(biāo)分別為(5,40), (20,2.5).a將其分別代入y = a=1000,、b =

15、 0.25Zb=40，,得x2 -=2.5,400+ b(2)由(1)知，丫=啰°(50乂&2 0則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 x設(shè)在點(diǎn)P處的切線1交x, y軸分別于A, B兩點(diǎn)，2000100020003t3000因?yàn)?y = ?-，則 1 的萬(wàn)程為 yi= p-(x t)，由此得 AQ，0 B_0,/,s/冏、2一,3000 2 3 I 2 4X106故 f(t)=黃 2 = 3 7/+4?-，tC5,20. o 4M0616X06 .l設(shè) g(t) = t2+-,則 g' (t)2t .令 g' (t)0,解得 t=10/2.當(dāng)tC (5,105)時(shí),g' (

16、t)<0g是減函數(shù);當(dāng)te(i042, 20)時(shí)，g'(t)>0 g是增函數(shù).從而，當(dāng)t=10也時(shí)，函數(shù)g有極小值，也是最小值，所以 g(t)min=300,此時(shí)f(t)min = 15 3.答：當(dāng)t=1072時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15V3 km.2、現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P-ABC。一下部分的形狀是正四棱柱 ABCD-ABGD(如圖所示)，并要求正四棱柱的高 OQ是正四棱錐的高 PQ的4倍.(1)若AB=6m,PO =2m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,則當(dāng)PQ為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？解析：(1)由

17、 POi = 2 知 OiO = 4POi = 8.因?yàn)?AiBi=AB=6,所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積一 121 -23V 錐=& A1B1 POi = & >6 >2 = 24(m ); 33正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V 柱=人82 OQ=62>8 = 288(m3).所以倉(cāng)庫(kù)的容積 V = V錐+ V柱= 24 + 288=312(m3).(2)設(shè) A1B1 = a(m), PO = h(m),則 0<h<6, OO = 4h.連結(jié) O1B1.因?yàn)樵?RtPQB1 中，OiB2+PO2=PB2,所以12a 2+ h2 =

18、 36,即 a2= 2(36 h2),于是倉(cāng)庫(kù)的容積V = V 柱+V 錐=a 4h+1a2 h = 13a2h = 26(36h h3), 0<h<6, 3332622從而 V =§(36 3h2) = 26(12h2).令 V'=0,得 h=25或 h= 273(舍).當(dāng)0<h<2小時(shí)，V' >0 V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)2t3<h<6時(shí)，V' <0 V是單調(diào)減函數(shù).故h=243時(shí)，V取得極大值，也是最大值.因此，當(dāng)POi = 2«3 m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大.3、某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓 。

19、的一段圓弧MPN (P為此圓弧的中點(diǎn))和線 段構(gòu)成.已知圓。的半徑為40米，點(diǎn)P到Y(jié)N的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫 室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚】工內(nèi)的地塊形狀為ACDP,要求均在線段MN上, CQ均在圓弧上.設(shè)OC與NfN所成的角為匕(1)用日分別表示矩形ABCD和 3P的面積，并確定sin6的取值范圍；(2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值 之比為4：3.求當(dāng)。為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.【解析】分析：(1)先根據(jù)條件求矩形長(zhǎng)與寬，三角形的底與高，再根據(jù)矩形面積公式以及三 角形面積公式得結(jié)果，最后根據(jù)

20、實(shí)際意義確定 所日的取值范圍；(2)根據(jù)條件列函數(shù)關(guān)系式, 利用導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法 .詳解：解：(1)連結(jié)PO并延長(zhǎng)交MN于H,則PHXMN ,所以O(shè)H=10.過(guò)。作 OELBC 于 E, WJ OE/ MN ,所以/ COE=,故 OE=40cos9, EC=40sin8,則矩形 ABCD 的面積為 2X40cos&40sin 0 +10=800 (4sin 0 cos 0 +c0$8 CDP 的面積為;x 2X 40cos(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0 cos 0過(guò)N作GN，MN ,分別交圓弧和 OE的延長(zhǎng)線于G和K,則

21、GK=KN=10 .人， .1一一 M令/ GOK = 0,貝 sin 0=Gb ( 0,-).46兀當(dāng)ee 0,-)時(shí)，才能作出滿(mǎn)足條件的矩形 abcd,所以sin珀勺取值范圍是；,1).4答：矩形ABCD的面積為800 (4sin 9 cos 9 +cos方米， CDP的面積為1600 (cos 0 - sin 0)cosin 的取值范圍是, 1).(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4 : 3,設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為 4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k (k>0),則年總產(chǎn)值為 4k>800 (4sin 0 cos 0 +cos+3kX1600 (cos 0 - s

22、in 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +cos 配0,，. L兀設(shè) f (切=sin 0 cos 0 +q os (BE 0,-),貝U 式日)=M?白-sm2e -sine= - Qsmi七 +- 1)=-(裔in。- l)(sin0 十 I).令F=0,得心， o 兀當(dāng)院(凱-)時(shí)，m,所以f( 8)為增函數(shù)； 兀 兀當(dāng)修(及5)時(shí)，'"，所以f (0)為減函數(shù)，因此，當(dāng)8?時(shí)，f ( 9)取到最大值.答：當(dāng)81時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大. 6題型一與函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題1、如圖，半圓AOB是某愛(ài)國(guó)主義教育基地一景點(diǎn)的平面示意圖，半徑 OA的

23、長(zhǎng)為1百米.為 了保護(hù)景點(diǎn)，基地管理部門(mén)從道路l上選取一點(diǎn)C,修建參觀線路C-D-E-F,且CD, DE, EF 均與半圓相切，四邊形 CDEF是等腰梯形.設(shè)DE = t百米，記修建每1百米參觀線路的費(fèi)用5,0<t< 1,為f(t)萬(wàn)元，經(jīng)測(cè)算f(t)=<3l8v 3”.(1)用t表示線段EF的長(zhǎng)；(2)求修建該參觀線路的最低費(fèi)用解答 設(shè)DE與半圓相切于點(diǎn)Q,則由四邊形CDEF是等腰梯形知OQ_Ll , DQ = QE,以O(shè)F 所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 xOy.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,1),設(shè)直線 EF 的方程為 y_1=k(xJ (k<

24、;0),即 kx y 十 1gtk=0 .因?yàn)橹本€EF與半圓相切，1|1 - 1tk|所以圓心O到直線EF的距離為 2_1解得k=4 .kt4代入 y-1 =k(x：)可得 y -1 =4(x-i),2t242點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4 +1,0). 4 t所以 EF = J(L +1 _子 +1 =± +1 ,即 EF = t +1 (0<t<2). 4 t 24 t4 t方法二：設(shè)EF切圓。于G ,連結(jié)OG ,則OG _L EF過(guò)點(diǎn)E作EH _LAB ,垂足為H .因?yàn)?EH =OG , NOFG =NEFH ,所以 RtAEHFRtAOGF,1 1因?yàn)?EG = DE =t

25、,所以 HF =FG =EF -t .2 22由 EF2 =EH 2 +HF 2 =1 十(EF -1t)2,所以 EF =；+；(0 <t <2 ).(2)設(shè)修建該參觀線路的費(fèi)用為y萬(wàn)元.當(dāng)。<3，y=5卜(4+：)+t=5(2t+2),由y'=5(3 -2) <0 ,則y在(。，1 上單調(diào)遞減.2 t3所以當(dāng)t=1時(shí)，y取最小值為32.5； 3當(dāng) 1Mte2 時(shí),y =(8 -1) 2(a +；) +t=12t 峙 -3 -用，3 t14 t t 2 t_ 2-所以y2_f +?=蝴一號(hào)十&-1),因?yàn)?1 <t <2 ,所以 3t2 +

26、3t -1 >0 , 3且當(dāng) tw（1,1）時(shí)，y'<0；當(dāng) tw（1,2）時(shí)，yr>0, 3所以y在（1,i）上單調(diào)遞減；在（1,2）上單調(diào)遞增. 3所以當(dāng)t =1時(shí)，y取最小值為24.5 .由知，y取最小值為24.5.答：（1） EF的長(zhǎng)為（十1）百米； 4 t（2）修建該參觀線路的最低費(fèi)用為24.5萬(wàn)元.【解后反思】應(yīng)用題建模是關(guān)鍵，選擇什么知識(shí)作為解題工具，是平幾、解幾還是三角，與拋 物線、橢圓、雙曲線等曲線有關(guān)的平面圖形為背景的應(yīng)用題，一般要通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系 運(yùn)用解幾知識(shí)來(lái)建立模型，對(duì)于圓的問(wèn)題有時(shí)不建系反而簡(jiǎn)單，如這里的方法二，故不能絕對(duì) 化.2、下

27、圖（I）是一斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，研究小組將其抽象成圖（ II） 所示的數(shù)學(xué)用K型.索塔AB, CD與橋面AC均垂直，通過(guò)測(cè)量知兩索塔的高度均為60m,橋面 AC上一點(diǎn)P到索塔AB , CD距離之比為21: 4 ,且P對(duì)兩塔頂?shù)囊暯菫?35 . （1）求兩索塔 之間橋面AC的長(zhǎng)度；（2）研究表明索塔對(duì)橋面上某處的 筮重強(qiáng)度”與多種因素有關(guān)，可簡(jiǎn)單 抽象為：某索塔對(duì)橋面上某處的 筮重強(qiáng)度”與索塔的高度成正比（比例系數(shù)為正數(shù) a）,且與 該處到索塔的距離的平方成反比（比例系數(shù)為正數(shù)b） .問(wèn)兩索塔對(duì)橋面何處的筮重強(qiáng)度”之和最??？并求出最小值.解答 (1)設(shè) AP=21t, BP=

28、4t, (t A0),記上APB=a, NCPD=P ,則x 6 02 0-6 01 5tan =-=， t a n =一, 2 174 t20 15tan -tan!：- 7t T /由 tan(a + P) =tan453 = -;-n =-=1 ，1 - tan 二 tan -1 300127t2化簡(jiǎn)得 7t2 一 125t 一300 =0 ,解得 t =20 或 t =一15 (舍去)，所以, AC =AP +PC =25x20 =500 .答：兩索塔之間的距離 AC=500米.(2)設(shè)AP=x，點(diǎn)P處的承重強(qiáng)度之和為L(zhǎng)(x).則 L(x) =60ab + ab 2,且 xw(0,50

29、0), x2(500 -x)211即 L(x) =60ab。1_2, x (0,500) x2(500 -x)2(注：不寫(xiě)定義域扣1分)1122記 l(x) =+r,x = (0,500),貝U1'(x)=f+3 ,x2(500 -x)2x3(500 - x)3令 l (x) =0 ,解得 x =250 ,當(dāng) xW (0,250) , l(x)<0, l(x)單調(diào)遞減;當(dāng) XW (250,500) , l'(x)A0, l(x)單調(diào)遞增;所以x=250時(shí)，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值§也3125答：兩索塔對(duì)橋面AC中點(diǎn)處的 筮重強(qiáng)度”之和最小，且最小

30、值為-6ab31253、某經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃銷(xiāo)售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)凈化器的利潤(rùn)為x(單位：元，x>0)時(shí)，銷(xiāo)售量q(x)(單位：百臺(tái))與x的關(guān)系滿(mǎn)足：若x不超過(guò)20,則1260q(x)=x260；若x大于或等于180,則銷(xiāo)售量為零;當(dāng)20< x018時(shí)，q(x) = a-bVx(a, b為實(shí) 常數(shù)).(1)求函數(shù)q(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(rùn)(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.解答(1)當(dāng) 20<X0180,由 4a b V20= 60,；”a b 180 00<x< 2020<x< 180x>180.

31、1 260 x+1 ' 故附=：90-3倔,L 0,(2)設(shè)總利潤(rùn) f(x)=xq(x),Off W 20,20<丸近 180,x > 180,1 260 x+1 '90-3 反, 由得f(x)=>126 000x126 000 .當(dāng) 0<x<20時(shí)，f(x) = x+ 1一 = 126 000 x+ 1 , f(x)在(0,20上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x = 20時(shí)，f(x)有最大值120 000. (8分)當(dāng) 20<x0 180寸，f(x)=9 000x-300/5 x/x, f' (x)9 000 45075 /x,令 f'

32、(x)0,得 x=80.當(dāng) 20<x<80 時(shí)，f' (x)>0 f(x)單調(diào)遞增,當(dāng) 80<x0 180寸，f' (x)<0f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x = 80時(shí)，f(x)有最大值240 000.當(dāng) x>180 時(shí)，f(x)=0.答：當(dāng)x為80時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值240 000元.易錯(cuò)警示 本題易錯(cuò)在忽視了題目中所給單位百臺(tái)”導(dǎo)致14分全部扣完.應(yīng)用題的數(shù)據(jù)上要注意兩個(gè)方面：一題目所給單位是什么？如百臺(tái)，千件；二是數(shù)據(jù)的值比較大，計(jì)算要 謹(jǐn)慎，而這兩類(lèi)問(wèn)題多出自函數(shù)應(yīng)用題.4、經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品每噸的價(jià)格為 x(1<x<14)百

33、元時(shí)，該商品的月供給量為 y1噸，y17 2121= ax+ 2a -a(a>0)；月需求重為y2萬(wàn)噸，y2= 224x 五乂+1,當(dāng)該冏品的需求量大于供給 量時(shí)，銷(xiāo)售量等于供給量；當(dāng)該商品的需求量不大于供給量時(shí)，銷(xiāo)售量等于需求量，該商品 的月銷(xiāo)售額等于月銷(xiāo)售量與價(jià)格的乘積.1(1)若a= 7,問(wèn)冏品的價(jià)格為多少.時(shí)，該冏品的月銷(xiāo)售額取大？(2)記需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格為均衡價(jià)格，若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸6百元，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.加依小 w 112117121解答(1)右 a=7,由 y2>y1，得一224x -+ 1>7x+27 ! -7.解得40<x<

34、;6 .因?yàn)?1<x<14,所以 1<x<6.設(shè)該商品的月銷(xiāo)售額為g(x),則 g(x)=一 一.1133當(dāng) 1<x<6 時(shí)，g(x) =，3 2,<g(6)=亍.一一1 21當(dāng) 6<x<14寸，g(x)=1224x H2x+1 x, 12 一一 1則 g (x) 224(3x2 + 4x224)= 224(x 8)(3x + 28),由 g' (x)>0 得 x<8 ,所以g(x)在6,8)上是增函數(shù)，在(8,14)上是減函數(shù)，36故當(dāng)x = 8時(shí)，g(x)有取大值g(8) = y.(2)設(shè) f(x) =y1一y2=2

35、24x2+ j12+ a " + 7a21a,因?yàn)閍>0,所以f(x)在區(qū)間(1,14)上是增函數(shù)，若該商品的均衡價(jià)格不低于6百元，即函數(shù)f(x)在區(qū)間6,14)上有零點(diǎn),所以f6尸Q f(14>0,一 2117a + 10a7&Q)即17I 薩2 + 13a>0, 2)解得0<ag.一11 -I一 答：(1)若2= 7,商品的每噸價(jià)格定為8百元時(shí)，月銷(xiāo)售額最大；(2)若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸 6百元，實(shí)數(shù)a的取值范圍是,，71解后反思 本題是蘇教版高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)高中數(shù)學(xué)必修2第94頁(yè)例3的改編題：某商品的市場(chǎng)需求量y1(萬(wàn)件)、市場(chǎng)供應(yīng)量

36、y2(萬(wàn)件)與市場(chǎng)價(jià)格x(元/件)分別近似地滿(mǎn)足 下列關(guān)系：y1= x+70, y2=2x 20.當(dāng)y1 = y2時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格為市場(chǎng)平衡價(jià)格，此時(shí)的需求量 為平衡需求量.(1)求平衡價(jià)格和平衡需求量； (2)若要使平衡需求量增加4萬(wàn)件，政府對(duì)每件商品應(yīng)給予多少元的補(bǔ)貼? 題型二與平面或空間幾何體有關(guān)的最值問(wèn)題1、有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)），一邊AB長(zhǎng)為6分米，另一邊足夠長(zhǎng).現(xiàn)從中截取矩 形ABCD（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好.能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)），其中OEMF是以。為圓心、/ EOF= 120°的扇 形，且

37、弧EF, GH分別與邊BC, AD相切于點(diǎn)M, N.（1）當(dāng)BE長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折卷成的包裝盒的容積；（2）當(dāng)BE的長(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大?解答（1）在圖甲中，連結(jié) MO交EF于點(diǎn)T.設(shè)OE = OF = OM = R,1R 一R在 RtzXOET 中，因?yàn)? EOT=2/EOF = 60 ,所以 OT = 2,則 MT = OMOT=?Ri從而 BE = MT = 2,即 R = 2BE=2.（2 分）故所得柱體的底面積S=S扇形oef Saoef = 3 tt f -2R2sin120m.（4分）又所得柱體的高EG=4,所以V = SXEG = 2y 4/3. 3答：當(dāng)B

38、E長(zhǎng)為1分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積為 f6工4乖，立方分米.（6分）（2）設(shè)BE = x,則R = 2x,所以所得柱體的底面積 S= S扇形oef Saoef=（冗一;R2sin12032=42r5,X2又所得柱體的高EG=62x,所以V = S XEG=F 2點(diǎn)j（ x3+3x2）,其中 0<x<3.（10 分） 令f(x) = x3+3x； xC(0, 3),則由 f' (x) 3x2 +6x= 3x(x 2)=0,解得 x = 2.(12分) 列表如下：x(0, 2)2(2, 3)f' (x)十0一f(x)極大值所以當(dāng)x = 2時(shí)，f(x)取得極大值,也是最

39、大值.答：當(dāng)BE的長(zhǎng)為2分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大.(14分)易錯(cuò)警示1.底面積計(jì)算錯(cuò)誤，或者因?yàn)樯刃蚊娣e公式計(jì)算錯(cuò)誤，或者是三角形面積計(jì) 算錯(cuò)誤；2 .將 黑2#，x3+3x2)展開(kāi)成四項(xiàng)的過(guò)程中出現(xiàn)失誤；3 .計(jì)算體積時(shí)，公式多乘3.32、在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為 3 600平方厘米的矩形紙板ABCD ,然后在矩 形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方 體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB, BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘 米，其中a> b.(1)當(dāng)a= 90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2)試確定a, b,

40、x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值.解答(1)當(dāng)a=90時(shí)，b = 40,紙盒的底面矩形的長(zhǎng)為90-2x,寬為40 2x,周長(zhǎng)為260 一8x.所以紙盒白側(cè)面積 S(x) = (260 8x)x= 8x2 + 260x,其中 x C (0,20),故 S(x)max= Sg 4f5.答：當(dāng)a=90時(shí)，紙盒側(cè)面積的最大值,為平方厘米.(2)紙盒的體積 V = (a2x)(b2x)x,其中 xC ", 2), a>1>0,且 ab= 3 600.因?yàn)?a2x)(b 2x) = ab2(a+ b)x+4x2<ab4/abx+ 4x2=4(x2 60x+900),當(dāng)且

41、僅當(dāng) a= b=60時(shí)取等號(hào)，所以 V0 4(x3 60x2 + 900x), x (0,30).記 f(x) = 4(x3- 60x2 + 900x), x C (0,30),則 f' (x)12(x-10)(x-30),令f' (x)0,得x=10,列表如下:x(0,10)10(10,30)f' (x)十0一f(x)極大值由上表可知，f(x)的極大值是f(10)=16 000,也是最大值.答：當(dāng)a=b=60,且x=10時(shí)，紙盒的體積最大，最大值為 16 000立方厘米.解后反思 因?yàn)閍= 3-60°,所以第(2)題實(shí)際上是體積V關(guān)于兩個(gè)變量b, x的最值問(wèn)

42、題.先固定x,處理變量b,再處理x.另外，對(duì)于求f(x)的最大值，學(xué)習(xí)過(guò)不等式選講的學(xué)生也可用下面的解法.因?yàn)?x(0,30),所以 f(x) =4x(30x)2=2 2x(30 x)(30 x) &衿+(30一 3)±i30x16 000,當(dāng)且僅當(dāng)x = 10時(shí)取等號(hào).題型三 與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題1、如圖，是一個(gè)扇形花園，已知該扇形的半徑長(zhǎng)為400米，- n，且半徑oc平分AOB 二-2/AOB 現(xiàn)擬在OC上選取一點(diǎn)P，修建二條路po , PA , PB供游人行走觀賞,設(shè)/PAO=ot(1)將三條路PO,PA,PB的總長(zhǎng)表示為口的函數(shù)1),并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域；(2)試確定

43、。的值,使得1(3)最小. J-貳 x* . K、sin(cr + )sin(cr + 7)故所求函數(shù)為f(a)="建回電,ae(0.).sin(a + )*,“,"6 分(2 )記/=x/2 +sin« 2 + V2sinff,笈sing + )喂）第17題圖、,2 sin 二：【思路分析】第2問(wèn)的難點(diǎn)在于三角式殺處理.由于該分式的分子分母不是齊次式，又4沒(méi)有Sine（土cosqsin ctcosct ”特征，故只能采用求導(dǎo)法求最值.4pnpAO1L解：3 )在&4尸。中.由正弦定理，得= =-51n £AOP sin £PAO sm

44、 APOBn AP OP 400.20072 人口 400sin«.R sin ex - z 71、- z k、, 耗、sinsin(tz + )sin(£r + )sin(z + )4444bl” r, % cn njnn cn rn/ 4(N 居訪儀200 正所以 l(a = OP-PA + PB - OP+2PA +2x,.r 、 V2 cos«(sin(2 4-coscr) -(2 +V2sin«)(costt-sinfZ)因?yàn)?#39;9)=2V2sin(« - ) +V2410分答：當(dāng)口二£時(shí)./最小, 122 sin :【解后反思】熟悉復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的同學(xué)可以直接對(duì)f（"）=不求導(dǎo)，即sin（.，%）4in （：-）-：.z ，冗、,冗、，不，.，Ccos- sin（-） -cos（