2015年高考四川理科數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、2012015 5年高考四川理科數(shù)學(xué)試題 及答案解析22015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(四川卷) 數(shù)學(xué)(理科)第I卷(共50分)一、選擇題：本大題共 1010 小題，每小題 5 5 分，在每小題給 出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1 1)【20152015 年四川，理 1 1】設(shè)集合A x|(x 1)(x合B x|1 x 3，貝yAUB(3(D)(D)2)0，集B x|1 x 3，貝V(A A )x| 1x|1 x 2【答案】A A【解析】A 選 A A (2) 【20152015 年四川，理 2 2】設(shè)i是虛數(shù)單位，(A A)i【答案】【解析】(3) 【20152015 年

2、四川，理 3 3】執(zhí)行如圖所示的程序框圖, 出S的值是(A A)(D D)2【答案】【解析】)(B B)x| 1 x 1|2 x 3(C(C)ik-1x|1 x 2,B x|1 x 3,AU B x3，故則復(fù)數(shù)C C.32iiD D易得當(dāng)k步驟，所以S s吟(B B )3i(D)(D)3ii 2i i，故選 C C (B)(B)2(C)(C)1,2,3,4時(shí)時(shí)執(zhí)行的是否，當(dāng)k 5時(shí)就執(zhí)行是的1，故選 D D (4(4)【20152015 年四川，理 4 4】下列函數(shù)中，最小正周期為 且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是()34(A A)y cos(2x -)(D D)y sin x cosx【答案】A

3、A【解析】顯然對(duì)于 A A ,y cos(2 -) sin2x，最小正周期是，符合題意，故選 A A (5) 【20152015 年四川，理 5 5】過(guò)雙曲線(B(B) )y sin(2x 2)(C(C)y sin 2x cos2x為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且彳1的右焦點(diǎn)且與x軸A，B兩點(diǎn)，垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于則|AB|(A A)乎(D D )4 3【答案】D D【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為y怎，且右焦點(diǎn)(2,0)，則直線x 2與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A(2,2j3)，B(2,2冏，I|AB| 4屈，故選 D D (6) 【20152015 年四川，理 6 6】用數(shù)字 0 0，

4、1 1，2 2，3 3，4 4，5 5 組成 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比 4000040000 大的偶數(shù)共有()(A A ) 144144 個(gè)(C C) 9696 個(gè)【答案】B B(B(B) )23(C(C) 6 6( (B B) 120120 個(gè)(D(D) 7272 個(gè)【解析】這里大于 4000040000 的數(shù)可以分兩類(lèi)：1當(dāng) 5 5 在萬(wàn)位時(shí)，個(gè)位可以排 0 0、 的一個(gè)，十位百位和千位沒(méi)有限制.有2當(dāng) 4 4 在萬(wàn)位時(shí)，個(gè)位可以排 0 0、2 2 兩個(gè)數(shù)中的一2 2、4 4 三個(gè)數(shù)中C3H 72種；個(gè)，十位百位和千位沒(méi)有限制，.有C2A348種，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是()56綜上所

5、述：總共有 72+48=12072+48=120 種，故選 B B.(7)(7)【20152015 年四川，理 7 7】設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，uiui uuurunr urnrniiu uuiu4若點(diǎn)M,N滿足BM 3MC,DN 2NC，貝U AM NM(_ (B B) 1515(D(D) 6 6UlUABuuirAD(A A) 20209 9【答案】C C6,)(C(C)【解析】這里可以采用最快速的方法，把平行四邊形矩形化，因此，過(guò)B建立直角坐標(biāo)系，可得到A 0,6,M 3,0,.uuurluuunuuuuur-Ur、上匕廠N 4,2AM 3, 6，NM 1, 2，AM NM 3 1

6、2 9，故選 C C (8 8)【20152015 年四川，理 8 8】設(shè)a，b都是不等于 1 1 的正數(shù)，則的()(B(B )充分不必要條件“3bJ是l0ga3(A A )充要條件必要不充分條件【答案】B Blogb3(C(C)(D(D )既不充分也不必要條件解析】由已知條件3a3b3可得alog3a log3b 0 一 , 即loga3logsa logsb7lOg.3 logb3”的充分條件.然而取a滿足loga3 logb3, 卻不滿足a b 1. 的不必要條件.綜上“a3b3”是 要條件，故選B B.(9 9)【20152015 年四川，理 9 9】如果函數(shù)f在區(qū)間1,2單調(diào)遞減，則

7、mn的最大值為(A A )1616(C C) 2525【答案】B Blog3a log3b(D)(D)81logb3.11 33“3a3blogb3aa3a13b時(shí),3”是b貝U loga3 0 logb3,曰 “3疋loga3 logb3”的充分不必8 x 1m 0,n 0(B(B )1818圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是()78【解析】f Xm2 xn8，由于fX單調(diào)遞減得：二f X0, I m 2 x n 8 0在2,2上恒成立設(shè)g x一次函數(shù)gx在2,2上為非正數(shù)只須在兩個(gè)端點(diǎn)1金處f 1 0和f 2 0即可即2m 2 n 8OLLLL，22 m 2 n8 0LLLL、,2由得：m12 n.

8、二mnn12n 1n:_n18.mn當(dāng)且 僅當(dāng)m 3,n 6時(shí)取到最大值18.經(jīng)驗(yàn)證，m 3,n 6滿足條 件和，故選 B B.(10)(10)【20152015 年四川，理 1010】設(shè)直線i與拋物線y24x相交于A,B兩點(diǎn)，與圓x 52y2r2r 0相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有 4 4 條，則r的取值范圍 是( )2cos2小r2rsinsincosm 2 x n 8，則(A)(A)1,32,3【答案】D D【解析】設(shè)A(B B)1,4(D(D ) )2,4(C(C)B x2,y2，M 5 r cos , r sin，貝卩2y14x12y24x2兩式相減，得：y1y

9、2y1，當(dāng)直線i的斜率不存在時(shí)，顯然符合條件的直線i有兩條.當(dāng)直線i的斜率存在時(shí)，y24 x,X2可得:cossin?由于M在拋物線的內(nèi)部, 2r sin 4 5 r cos20 4r cos 20 4212第II卷(共100分)二、填空題：本大題共 5 5 小題，每小題 5 5 分(1111)【20152015 年四川，理 1111】在2x i5的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng) 的系數(shù)是_ 【答案】-40-40【解析】由題意可知X2的系數(shù)為：C5222( 1)340.(13(13)【20152015 年四川，理 1313】某食品的保鮮時(shí)間y(單位:C)滿足函數(shù)關(guān)系yek,b為常數(shù))若該食品在0C的保鮮

10、時(shí)間是 192192 小時(shí)，在23C的保鮮時(shí)間是 4848 小時(shí)，則該食品在33C的保鮮時(shí)間是 _小時(shí).【答案】2424正方形，它們所在的平面相互垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E,F分別為AB,BC中點(diǎn)，設(shè)異面直線EM與AF所成 的角為，則cos的最大值為r sin 2 3,r sinr4r24 2 3 r216 r 4，因此，2 r 4，故選 D D .(12(12)【20152015 年四川，【答案】乎【解析】sin15 sin 75 sin15理 1212】sin15 sin75的值是_cos15、.2s in 15452sin60 2T T -小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度X(單位:(e 2.718L為

11、自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，【解Q ek 0+b192L L，k 22 be48 L L L，當(dāng)x 33時(shí)，e33k bx L L L，33ke(14(14)【20152015 年四川，理1414】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為22k1e4ek12，24.AQ為z軸建立空間BFC【答案】25【解析】以AB為x軸，AD為y軸， 直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為12(15(15)【20152015 年四川，理 1515】已知函數(shù)fx 2x,gx x2ax( (其中a R).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)溝,，設(shè)m !2十，n弋廠產(chǎn), 現(xiàn)有如下命題：(1)(1) 對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)X1，沁，都有m 0；(2)(2) 對(duì)于任

12、意a的及任意不相等的實(shí)數(shù)為，X2，都有n 0；(3)(3) 對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)為，X2，使得m n；對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)為，X2，使得m n. 其中的真命題有 _ (寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))錯(cuò).簡(jiǎn)得到,而cosmaxuuu,EM1,m,21cosUULTAF1 11 1 rUUUL 1EMULUAF|EM/m 5,令f(m)(2 m)10m2Q5m 255m2252 mT5m5(mQ m 0,2,0,2 )f (m)0f(m)maxf(0) |,從【答案】(1)(1) (4)(4)【解析】 (1)(1)設(shè)X1,貝ymf(x1) f(x2)= =2X1X2, 函數(shù)y 2X是增

13、函數(shù)， 2X1200,所以正確； 設(shè)X X2，則X1X20,不妨我們?cè)O(shè)X11,X22,aa 2色X2X1X2XX1x2X1X222g X1g X2x1ax1迪ax2X2矛盾,X1X2X1則n 6 0,x1x2a所以(3)(3)Tm n，由(1)(2)(1)(2)可得:f X1f X2nX!x22，貝V A 0,0,0 , Ff (m)13，也即f X1，即對(duì)于任意的義域范圍內(nèi)存在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根f x1h xf X2g X1g X2x 2f x g x 2 x axg X1f X2g X2，令a函數(shù)hx在定x?X2.則100051214h x 2xl n22x a,h (x) 2xl n2

14、2x a,顯然當(dāng)a時(shí)，h x 0恒 成立，即hx單調(diào)遞增，最多與 X X 軸有一個(gè)交點(diǎn)， 不滿足題意，所以錯(cuò)誤.(4)(4)同理可得即對(duì)于任意的a函數(shù)hx在定義域范圍內(nèi)存在有 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x,x2，從而hx不是恒為單 調(diào)函數(shù).hx 2xIn2 2x a?hx 2xln 222 0恒成立，hx單調(diào)遞增，又x時(shí)，h 0,x時(shí)，h0所以hx為先減后增的函數(shù)，滿足要求，所以正確.解答題：本大題共 6 6 題，共 7575 分.【20152015 年四川，理 1616】(本小題滿分 1212 分)設(shè)數(shù)列an項(xiàng)和S2ana1， . 且a，a21，a3成等差數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)記數(shù)

15、列中的前n項(xiàng)和Tn，求得使|Tn1|柘成立的n的 最小值.解：(丘=2(nan- 1f X g捲g X2f X2x 2x g x 2 x ax,(1616)的前n an2：I)當(dāng)n 2時(shí)有，anS Si12an3 2),數(shù)列an是以a為首項(xiàng), 又由題意得(n N*)an2a22aia3H)由題意得1右an2anTna (2 an 1ad, 則an2an 1(n 2),2 2 為公比的等比數(shù)列.2 2a12 a14a1,.Ia1又Q丄丄丄21024 29512最小值為n 10.11(衛(wèi)T21，則Tn1 -(-2)Tn1成立時(shí)，=切，10005121516(17(17)【20152015 年四川，

16、理 1717】(本小題滿分 1212 分)某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦 3 3 名男 生，2 2 名女生，B中學(xué)推薦了 3 3 名男生，4 4 名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平 相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取 3 3 人，女生中隨 機(jī)抽取 3 3 人組成代表隊(duì).(I)求A中學(xué)至少有 1 1 名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(n)某場(chǎng)比賽前， 從代表隊(duì)的 6 6 名隊(duì)員中隨機(jī)抽取 4 4 人參賽，設(shè) X X 表示參賽的男生人數(shù)，求 X X 得分 布列和數(shù)學(xué)期望.I)設(shè)事件A表示“A中學(xué)至少有 1 1 名學(xué)生入選代表隊(duì)”,Ce5因此X的分布列為:X12313

17、1P555期望為：E(X) 1 1 2 3 3 5 2555(18(18)【20152015 年四川，理 1818】(本小題滿分 1212 分)一個(gè)正 方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如 圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M,GH的中點(diǎn)為解：(可以采用反面求解:P(A) 1n)由題意，知X 1,2,3,1991100 100P(X1)窖C613C3C31P(X 3)17N.(I)請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō) 明理由)；18BDH；（川）求二面角A EG M的余 弦值.解：（I）如下圖所示:H所以cos pQM晉,所以cos A EG M cos MLK務(wù)2,即二面角的余弦

18、值為22.3（H）證明：直線MN/平面DC1ABFF（H）如答圖所示，連接O分別為線段BD,AC相交于點(diǎn)O,BC、BD的中點(diǎn)，MO/CD連接M/GH且MO -CD21GH NH2二四邊形QMNH為平行四邊形，二OH /MN，又TOH平MN/平面面BDH,（川）連接連接MQ， 由三垂線定理可得EG MQ, 角A EGM的平面角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為MCP 45,MP 2a，所以tanBDHEG, 過(guò)點(diǎn)M作MP AC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PQ EG于占4八、PQM為4a,則PQBC 4a, MC2a,PQMPQMP V2a 424aA,B,C,D(H )若A+ A * B * C * Dtan tan tan

19、 tan2 2 2 2 *C 180EHCD .AH/INEABFC*POM19（1919）【20152015 年四川，理 1919】（本小題滿分 1212 分）如圖，為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.（I）證明：,AB 6,BC 3,CD 4,AD 5, 求7777,7tan220解：（I）證明:A _ .2AAsi n2si n AA 221 cosAtan2 AA A si nAcos 2sin cos 2 2 2(n)vACAtan 2o180,cosC cos 180 Acos A,sinC sin 180C 1 cosA 1 cosC 1 cosA 1 cosA 2 tan2 sin

20、 A sinCsi nAsi nA sin AAsi nA,A C 180,理及A C 180180o同理可得tanB tanD Z22 sin B連接BD，設(shè)BD x，在 可得：cosAABCD1tan tan tan tan 2 -2222sinABD和CBD中分別利用余1A sin B弦定sin A即 &5x22 6 5零同理可得，cosC,2 2 234 x2 3 4?丄19，cosB解得x2弓,從而得COSA噸tan a 6価sin B19BCD 1tan tan 2(-222sin A光)sin B2(2 1071、4 106 10319(20(20) 【20152015 年四川，

21、理 2020】（本小題滿分 1313 分）如圖， 橢圓E: 1的離心率是身，過(guò)點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線a b27圓相交于A,B兩點(diǎn)當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直線 圓E截得的線段長(zhǎng)為2逅（I）球橢圓E的方程；（H）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，是否存在與點(diǎn) 的定點(diǎn)Q，使得jQA驚恒成立？若存在，求Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.II）由題知橢圓過(guò)點(diǎn)匝1.因此可得：1被橢P不同出點(diǎn)解：(e c丄a 2241，解得:a2,bc2.U1a2b2c22122橢圓 E E 的方程為：孑專(zhuān)1.（n）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn)Q.當(dāng)直線i平行于x軸時(shí), 則園胃1，A,B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， Q點(diǎn)在y軸上.不妨設(shè)Q 0,a,當(dāng)

22、直線1垂直于XA 0, .2 ,B 0,2,IQAQB軸時(shí)，a 2 ZA a 2 PB,解得a 2或a 1（舍去，否則1 21 2是P點(diǎn)）,P點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2.下面我們證明對(duì)于一般的直線l：y kx 1,Q0,2Q點(diǎn)就也滿足題意.|QA|QB平分線.所以設(shè)A,B冷2，貝V y1kx11,y2聯(lián)立：y2k；21,消去y可得，x 2y 477由韋達(dá)定理可得，% 2 kx11k1x1x1kQAkQB2k丄+丄2kX1x?從而，假設(shè)成立， 得竺ZA恒成立QB PB恒成立（2121）【20152015 年四川，理_PAPBkQAkQB 由角平分線定理可知，B x?,y2y kx 122 x 2y 4kx

23、21，1 2k2KQA4k1 2k2，1,y22 kx2,kQB7X2x222k 2k 0 x1x2XiXi為X2即存在與點(diǎn)X1X2y軸為AQB的角4kx 20,1 2k2，7，兩式相加得，X2X2,即卩kQAkQB,P不同的定點(diǎn)Q，使2121】（本題滿分 1414 分）已知函數(shù) ，其中（I）設(shè)gx是f x的導(dǎo)函數(shù)，討論4）證明：存在a 0,1，使得f立，且f x 0在區(qū)間1,內(nèi)有唯一解.解：（I ）2 2f x 2 x alnxx 2ax 2a aa 0g xx 0在區(qū)間1，內(nèi)恒成的單調(diào)性;x 2 x al nxx22 ax 2 a2a,求導(dǎo)可得，23242ln x 22a2x 2a，x?即g x 2ln x 2空2x 2a a 0,x 0 x22 2a 2 x x a22-2- a 0, x 0，X XX對(duì)于多項(xiàng)式X2X a，(1 1 )當(dāng)1 4a 0，即a 1時(shí)，x2x此時(shí)，gx 0恒成立，所以(2 2)當(dāng)0 a 1時(shí)， 一元二次方程 根， 設(shè)為 2 .那么求根可得：1令gx 0，即x以g x在0,X1，2令gx 0，即X在X1,X2，時(shí)單調(diào)遞減