第2講不規(guī)則圖形面積的計(jì)算

1、五年級(jí)下學(xué)期 第2講第2講 不規(guī)則圖形面積的計(jì)算（二）解題思路：先考慮圖中每條線的來(lái)源，常常要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?、拼補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)等手段使之轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和、差關(guān)系，同時(shí)還常結(jié)合“容斥原理”（即：集合A與集合B之間有：SAUBSASB-SAB）例1 如圖，在一個(gè)正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個(gè)半圓.求陰影部分的面積。例2 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓，求陰影部分面積。例3 如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB=4厘米，求陰影部分的面積。例4 如圖，直角三角形AB

2、C中，AB是圓的直徑，且AB20厘米，如果陰影（）的面積比陰影（）的面積大7平方厘米，求BC的長(zhǎng)。例5 如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。例6 如圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)AB到達(dá)AC的位置，求陰影部分的面積（取=3）.例7 如圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分的面積.例8 如圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周上的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑，且AB=BC=10，求陰影部分面積（取3.14）。習(xí)題一 填空題（根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)求陰影部分面積）二、解答題： 1.如圖，大圓的直徑為4厘米，求陰影部分的面積。2.如圖，

3、大扇形半徑是6厘米，小扇形半徑是3厘米.求陰影部分的面積。3.如圖，三個(gè)同心圓的半徑分別是2、6、10，求圖中陰影部分占大圓面積的百分之幾？4.如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1厘米，依次以A、B、C、D為圓心，以AD、BE、CF、DG為半徑畫出扇形，求陰影部分的面積.5.如下圖（a），求陰影部分的面積。 6.如下圖（b），把OA分成6個(gè)等份，以O(shè)為圓心畫出六個(gè)扇形，已知最小的扇形面積是10平方厘米，求陰影部分的面積。7.如下圖（a），ABC是等腰直角三角形，直角邊AB=2厘米，BE、BD分別為以C、A為圓心，BC、AB為半徑所作的弧.求陰影部分面積.8.如下圖（b），已知半徑OA=OB=OC=9=

4、厘米，1=2=15°，求陰影部分的面積.  第二講 不規(guī)則圖形面積的計(jì)算（二）不規(guī)則圖形的另外一種情況，就是由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長(zhǎng)方形等規(guī)則圖形組合而成的，這是一類更為復(fù)雜的不規(guī)則圖形，為了計(jì)算它的面積，常常要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?、拼補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)等手段使之轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和、差關(guān)系，同時(shí)還常要和“容斥原理”（即：集合A與集合B之間有：SAUBSASB-SAB）合并使用才能解決。例1 如右圖，在一個(gè)正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個(gè)半圓.求陰影部分的面積。解法1：把上圖靠下邊的半圓換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到右圖.這時(shí)，右圖

5、中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣，因此它們的面積相等.所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。解法2：將上半個(gè)“弧邊三角形”從中間切開，分別補(bǔ)貼在下半圓的上側(cè)邊上，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形面積的一半。解法3：將下面的半圓從中間切開，分別貼補(bǔ)在上面弧邊三角形的兩側(cè)，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形的一半.例2 如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓，求陰影部分面積。解：由容斥原理S陰影S扇形ACBS扇形ACD-S正方形ABCD例3 如右圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半CB

6、=4厘米，求陰影部分的面積。解：S陰影S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD13-24=15（平方厘米）（取=3）。例4 如右圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB20厘米，如果陰影（）的面積比陰影（）的面積大7平方厘米，求BC長(zhǎng)。分析 已知陰影（）比陰影（）的面積大7平方厘米，就是半圓面積比三角形ABC面積大7平方厘米；又知半圓直徑AB20厘米，可以求出圓面積.半圓面積減去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面積，進(jìn)而求出三角形的底BC的長(zhǎng).（157-7）×2÷20=15（厘米）。例5 如右圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。分析 陰影部

7、分的面積，等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖的以6為半徑的圓的面積。解：S陰影=S三角形ACD-（S正方形BCDE-S扇形EBD）=48-9（取3）=39（平方厘米）。例6 如右圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)AB到達(dá)AC的位置，求陰影部分的面積（取=3）.解：整個(gè)陰影部分被線段CD分為和兩部分，以AB為直徑的半圓被弦AD分成兩部分，設(shè)其中AD右側(cè)的部分面積為S，由于弓形AD是兩個(gè)半圓的公共部分，去掉AD弓形后，兩個(gè)半圓的剩余部分面積相等.即=S，由于：+S=60°圓心角扇形ABC面積例7 如右圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分

8、的面積.例8 如下頁(yè)右上圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周上的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑，且AB=BC=10，求陰影部分面積（取3.14）。解：三角形ABC是等腰直角三角形，以AC為對(duì)角線再作一個(gè)全等的等腰直角三角形ACE，則ABCE為正方形（利用對(duì)稱性質(zhì)）。S陰影（S正方形ABCE+S半圓-SADE÷2（100+39.25-75）÷264.25÷232.125.總結(jié)：對(duì)于不規(guī)則圖形面積的計(jì)算問(wèn)題一般將它轉(zhuǎn)化為若干基本規(guī)則圖形的組合，分析整體與部分的和、差關(guān)系，問(wèn)題便得到解決.常用的基本方法有：一、相加法：這種方法是將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個(gè)基本規(guī)則圖形，分別計(jì)算

9、它們的面積，然后相加求出整個(gè)圖形的面積.例如，右圖中，要求整個(gè)圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了.二、相減法：這種方法是將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個(gè)基本規(guī)則圖形的面積之差.例如，右圖，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可.三、直接求法：這種方法是根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)直接求出不規(guī)則圖形面積.如下頁(yè)右上圖，欲求陰影部分的面積，通過(guò)分四、重新組合法：這種方法是將不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要，重新組合成一個(gè)新的圖形，設(shè)法求出這個(gè)新圖形面積即可.例如，欲求右圖中陰影部分面積，可以把它拆開使陰影部分分布在

10、正方形的4個(gè)角處，這時(shí)采用相減法就可求出其面積了.五、輔助線法：這種方法是根據(jù)具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線，使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成若干個(gè)基本規(guī)則圖形，然后再采用相加、相減法解決即可.如右圖，求兩個(gè)正方形中陰影部分的面積.此題雖然可以用相減法解決，但不如添加一條輔助線后用直接法作更簡(jiǎn)便.六、割補(bǔ)法：這種方法是把原圖形的一部分切割下來(lái)補(bǔ)在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形，從而使問(wèn)題得到解決.例如，如右圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來(lái)補(bǔ)在左邊，這樣整個(gè)陰影部分面積恰是正方形面積的一半.七、平移法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來(lái)平行移動(dòng)到一恰當(dāng)位置，使之組合成一個(gè)新的基本規(guī)則

11、圖形，便于求出面積.例如，如上頁(yè)最后一圖，欲求陰影部分面積，可先沿中間切開把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個(gè)陰影部分恰是一個(gè)正方形。八、旋轉(zhuǎn)法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來(lái)之后，使之沿某一點(diǎn)或某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補(bǔ)在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個(gè)新的基本規(guī)則的圖形，便于求出面積.例如，欲求上圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖（2）的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積.九、對(duì)稱添補(bǔ)法：這種方法是作出原圖形的對(duì)稱圖形，從而得到一個(gè)新的基本規(guī)則圖形.原來(lái)圖形面積就是這個(gè)

12、新圖形面積的一半.例如，欲求右圖中陰影部分的面積，沿AB在原圖下方作關(guān)于AB為對(duì)稱軸的對(duì)稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積。十、重疊法：這種方法是將所求的圖形看成是兩個(gè)或兩個(gè)以上圖形的重疊部分，然后運(yùn)用“容斥原理”（SABSASB-SAB）解決。例如，欲求右圖中陰影部分的面積，可先求兩個(gè)扇形面積的和，減去正方形面積，因?yàn)殛幱安糠值拿娣e恰好是兩個(gè)扇形重疊的部分.習(xí)題二一、填空題（根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)求陰影部分面積）二、解答題：1.如右圖，大圓的直徑為4厘米，求陰影部分的面積。2.如右圖，大扇形半徑是6厘米，小扇形半徑是3厘米.求陰影部分的面積。3.如左圖，三個(gè)同心圓的半徑分

13、別是2、6、10，求B中陰影部分占大圓面積的百分之幾？4.如右圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1厘米，依次以A、B、C、D為圓心，以AD、BE、CF、DG為半徑畫出扇形，求陰影部分的面積.5.如下圖（a），求陰影部分的面積。6.如下圖（b），把OA分成6個(gè)等分，以O(shè)為圓心畫出六個(gè)扇形，已知最小的扇形面積是10平方厘米，求陰影部分的面積。7.如下圖（a），ABC是等腰直角三角形，直角邊AB=2厘米，BE、BD分別為以C、A為圓心，BC、AB為半徑所作的弧.求陰影部分面積.8.如下圖（b），已知半徑OA=OB=OC=9=厘米，1=2=15°，求陰影部分的面積.習(xí)題二解答一、填空題：1.陰影部分等

14、于正方形面積的一半，即4.5（平方單位）。2.陰影部分等于三角形面積的一半，即25（平方單位）。3.陰影部分等于一個(gè)小正方形的面積，即1（平方單位）。5.陰影部分等于長(zhǎng)是b、寬是a的矩形面積，即ab（平方單位）。（平方單位）。8.陰影部分面積等于正方形面積減去圓面積，即100-25（平方單位）。9.陰影部分面積等于大半圓面積減去中和小兩個(gè)半圓面積，即18-10.陰影部分面積等于大半圓面積減去小半圓面積再減去一個(gè)直角三角11.陰影部分面積等于兩個(gè)半圓面積之和減去等腰直角三角形面積，即 10×10=50-100（平方單位）。14.陰影部分面積等于2個(gè)圓面積加上一個(gè)正方形面積，即2

15、5;×42+82=32+64（平方單位）。17.陰影部分面積等于小半圓面積加中半圓面積減大半圓面積再加直角（平方單位）。19.將左邊陰影部分割補(bǔ)到右邊，所以陰影部分就是這個(gè)平行四邊形面積，即2（平方單位）.20.扇形面積減去半個(gè)圓面積再減去三角形面積等于圓外陰影部分面積，方單位），即為所求陰影部分的面積.或者用圓內(nèi)兩個(gè)弓形從下半圓割下，補(bǔ)22.4（平方單位）.陰影面積是以2為邊長(zhǎng)的正方形面積。二、解答題：面積差，即12.56（12.562.28）2.28平方厘米，即為所求陰影部分面積。2.如右圖，把陰影部分下端的一塊割下，補(bǔ)在上面的空白部分，這樣陰得的差，即：3.33。4.7.5平方

16、厘米。5.如右圖，陰影部分面積矩形面積（S1S2）.把S向左平移2個(gè)單位，則與S拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形.陰影部分面積4×64×48（平方單位）。6.如右圖，OD2×OC，以O(shè)D為半徑的扇形面積是以O(shè)C為半徑的扇形面積的224倍，陰影M的面積是以O(shè)C為半徑的扇形面積的41=3倍，面積為10×330.OE3×OC，OF=4×OC，以O(shè)E、OF為半徑的扇形，分別是以O(shè)C為半徑的扇形面積的32=9倍、42=16倍，陰影N的面積為：10×（42-32）=70.OG5×OC，OA6×OC，以O(shè)G、OA為半徑的扇形面積，分別是以O(shè)C為半徑的扇形面積的5225倍、62=36倍，陰影W的面積是以O(shè)C為半徑的扇形面積的6