2019年數(shù)學(xué)高考一模試題(帶答案)

1、2019年數(shù)學(xué)高考一模試題（帶答案）、選擇題A.B.1c. 4 3i5 5D.3.i52.已知a 2iiR ,其中i為虛數(shù)單位，則a+b =A.-1B. 1C.D.3.5sin 72cos7A.B. aC.D.4.設(shè)集合Mx log 2 x 1A.2 B. x xC.5.某公司的班車在7:30, 8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是A.1 B.-2C.6.(x2F）5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（A.80B. -80C.40D. -400121 p1_PP222P 在 0,1設(shè)07.p 1 ,隨機(jī)變量的分布

2、列如圖，則當(dāng)內(nèi)增大時(shí)，（）A.減小B. D增大C.先減小后增大D. D先增大后減小3-418.已知復(fù)數(shù)z =,則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A.第一象限9.在Aabc中，若B.第二象限AB 13, BC 3,C.D.第四象限A.B. 2C.120 ,則 AC=(D. 410.若 a 0,b 0 ,4” 的（）A.充分不必要條件C.充分必要條件B.D.必要不充分條件既不充分也不必要條件11.在0,2 內(nèi)，不等式sinx 后2的解集是A.(0,)B.C.D.已知A ABC為等邊三角形， AB 2 ,設(shè)PQ滿足若 BQ cP1A.一2B.1 .22C. 1D.3 2.22、填空題13 .函數(shù)f X

3、2x 62,x 0lnx,x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是14 .在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,x1 ,，一_ ,cos 的值介于0,的概率為2215 .在 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,若A 3b=1,則力L16 . sin50" 1 V3tan10"17 .備函數(shù)y=x：當(dāng)”取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間0,1上它們的圖像是一族美麗的曲線點(diǎn)A(1,0),B(0,1)，連接AB,線段AB恰好被其中的兩個(gè)哥函數(shù)y=x*y=xB的圖像三等分BM=MN=NA，那么，a 等于.(如圖).設(shè)，即有18 .在體積為9的斜三棱柱 ABCHAiBiG中，S是GC上的一點(diǎn)，SABC的體積

4、為2,則三1 cos2c ,CccosB 1 cos2BbcosC19 .在4ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若bcosC一-一 一1 一是銳角，且a 2J7, cosA ,則4ABC的面積為320 .已知四棱錐S ABCD的三視圖如圖所示，若該四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積等于 21 .某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課，為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有 關(guān)，該學(xué)校對(duì)100名高一新生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡游 泳/、喜歡游 泳合計(jì)男生10女生20合計(jì)已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為(1)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(

5、2)并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)？并說明你的理由；(3)已知在被調(diào)查的學(xué)生中有 5名來自甲班，其中3名喜歡游泳，現(xiàn)從這 5名學(xué)生中隨機(jī) 抽取2人，求恰好有1人喜歡游泳的概率.卜面的臨界值表僅供參考:P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828on(ad bc)(參考公式：K ,其中 n=a+b+c+d)(a b)(c d)(a c)(b d)22.已知數(shù)列 an滿足a1 2,an1 2an 2n 1(1)設(shè)bn 2-,求數(shù)列 0的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an的前

6、n項(xiàng)和Sn ；n 2n、1n 4n 2 2(3)記cn ,求數(shù)列 cn的前n項(xiàng)和Tn.anan 123.如圖，四面體 ABCD, Q E分別是BQ BC的中點(diǎn)， AB AD 42,CA CB CD BD 2.(1)求證：AO 平面BCD(2)求異面直線 AB與CD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.24 .如圖，在三棱柱 ABC AB1C1中，H是正方形AABB的中心，AA 2、歷，CiH 平面 AAB1B,且 C1H 指.(I )求異面直線 AC與AiBi所成角的余弦值；(n )求二面角A AC1 B1的正弦值；(出)設(shè)N為棱BiCi的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A

7、iBQi ,求線段 BM的長.25 . 一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2, 3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取 3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為 a, b, c .(i)求 抽取的卡片上的數(shù)字滿足 a b c”的概率；(n)求 抽取的卡片上的數(shù)字 a, b, c不完全相同”的概率.【參考答案】*試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除、選擇題1. D解析：D【解析】【詳解】由題意可得：z d4 32 5,且：z 4 3i,z 4 3i 4 3據(jù)此有：7 7i .z 55 5本題選擇D選項(xiàng).2. B解析：B【解析】 【分析】ai b i,再利用復(fù)數(shù)相等列方程求出a

8、,b的利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則化簡原式可得2值，從而可得結(jié)果.【詳解】一 2因?yàn)?2_aai 22i 2 ai b i , a,b R,ii所以b 2,貝U a+b 1,故選B. a 1復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理 解，掌握純虛數(shù)、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通 過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題 出錯(cuò)，造成不必要的失分.3. D解析：D【解析】【分析】【詳解】故選D.4. B解析：B【解析】【分析】求解出集合M ,根據(jù)并集的定義求得結(jié)果.【詳解】11 IMx|log2x1

9、 0x0x11 x 1 x 2M N xx 2本題正確選項(xiàng)：B【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5. B解析：B【解析】試題分析：由題意，這是幾何概型問題，班車每30分鐘發(fā)出一輛，到達(dá)發(fā)車站的時(shí)間總長度為40,等車不超過10分鐘的時(shí)間長度為 20,故所求概率為 竺 1 選B.40 2'【考點(diǎn)】幾何概型【名師點(diǎn)睛】這是全國卷首次考查幾何概型，求解幾何概型問題的關(guān)鍵是確定測(cè)度”常見的測(cè)度有長度、面積、體積等 .6. C解析：C【解析】【分析】先求出展開式的通項(xiàng)，然后求出常數(shù)項(xiàng)的值【詳解】2)rC5rx10 5r22 5r 2 5 r 2 r(x2)5展開式的通項(xiàng)公式為：Tr

10、1C；(x2)(二)r,化簡得Tr1xx令10 5r 0,即r:2,故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 T3 (2)2C； 40.故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式的應(yīng)用，熟練運(yùn)用公式來解題是關(guān)鍵7. D解析：D【解析】【分析】先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性1 p 1 pE( ) 0 p 12 -222D(p(02)22(12)2S2 p 1)2-1,2 (0,1) , D()先增后減，因此選D.【點(diǎn)睛】 nnn_22_2E( ) XR,D( )(Xi E( ) PiXi Pi E ().i 1i 1i 18. A解析：A【解析】11 2z =- = z +=S *55

11、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)11 2Z坐標(biāo)為在第一象限，故選A.9. A解析：A【解析】余弦定理ab2 BC2 AC2 2BC?ACcosC將各值代入得 AC2 3AC 4 0解得AC 1或AC 4（舍去）選A.10. A解析：A【解析】【分析】本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取a,b的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)a>0, b>0時(shí)，a b 2相，則當(dāng)a b 4時(shí)，有2后 a b 4 ,解得ab 4,充分性成立；當(dāng) a=1, b=4時(shí)，滿足ab 4，但此時(shí)a+b =5>4

12、 ,必要性不成 立，綜上所述，“ a b 4”是“ ab 4”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取a,b的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果11. C解析：C【解析】【分析】 根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到結(jié)論.【詳解】解：在0, 2兀內(nèi)，1若 sinx<Y3則 4< x< 2 '33即不等式的解集為（,33故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解不等式，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.12. A解析：AbQ bA aQ , cP cA aP ,再根據(jù)向量的數(shù)運(yùn)用

13、向量的加法和減法運(yùn)算表示向量【解析】 【分析】量積運(yùn)算，建立關(guān)于的方程，可得選項(xiàng).W1, 一BQBQ BA AQ, cP ca AP,.BQ cp Ba aQ ca Ap aBaC aBap acaq aqaP故選：A.二、填空題13. 2【解析】【詳解】當(dāng)x0時(shí)由f (x) =x2-2=硼得乂=有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x>0函 數(shù)f (x) =2x- 6+lnx單調(diào)遞增則f (1) <0f (3) >0此時(shí)函數(shù)f (x)只有一個(gè)零 點(diǎn)所以共有2個(gè)零點(diǎn)故答案為：解析：2【解析】【詳解】當(dāng)xwo時(shí)，由f (x)當(dāng)x>0,函數(shù)f (x) 則 f (1) < 0, f (3) 所

14、以共有2個(gè)零點(diǎn).故答案為：2.=x2- 2=0 ,解得x=短，有1個(gè)零點(diǎn);=2x-6+lnx,單調(diào)遞增，>0,此時(shí)函數(shù)f (x)只有一個(gè)零點(diǎn)，【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法a, b上是連續(xù)不斷的直接法(直接求零點(diǎn))：令f(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn),定理法(零點(diǎn)存在性定理)：利用定理不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間曲線，且f(a)f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)，圖象法(利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù))：畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)h(x)=就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù) f(x)拆成兩個(gè)函

15、數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f(x) = 0?g(x),則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù) y = h(x)和y= g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，性質(zhì)法(利用函數(shù)性質(zhì))：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的 函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)14. 【解析】試題分析：由題意得因此所求概率為考點(diǎn)：幾何概型概率一 1斛析：二3【解析】試題分析：由題意得x 10 cos-,x 1,122x fx一 或32222,因此所求概率為1 ( 1)考點(diǎn)：幾何概型概率c的方程即可解出15. 2【解析】【分析】根據(jù)條件利用余弦定理可建立關(guān)于【詳解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填 2

16、【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用 余弦定理求三角形的邊屬于中檔題解析：2【解析】【分析】根據(jù)條件，利用余弦定理可建立關(guān)于c的方程，即可解出 c.【詳解】由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA得3 1 c2 c,即c2 c 2 0 ,解得c 2或c 1 （舍去）.故填2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用余弦定理求三角形的邊，屬于中檔題16. 【解析】【分析】利用弦化切的運(yùn)算技巧得出然后利用輔助角二倍角正弦 以及誘導(dǎo)公式可計(jì)算出結(jié)果【詳解】原式故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用三 角包等變換思想求非特殊角的三角函數(shù)值在計(jì)算時(shí)要結(jié)合角之間的關(guān)系選擇 解析：1【解析】【分析】利用弦化切的運(yùn)算技巧得出sin 50“

17、 1 J3tan10”sin 50" cos10西sin10' ,然后cos1 0'利用輔助角、二倍角正弦以及誘導(dǎo)公式可計(jì)算出結(jié)果【詳解】2sin 10 30、sin50，2sin 40： cos40cos10，cos10原式/ cos10.、3sin10；sin50，cos10sin80： sin 90 10 cos10 , '"1 1.cos10，cos10,cos10故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換思想求非特殊角的三角函數(shù)值，在計(jì)算時(shí)要結(jié)合角之間的關(guān)系選擇合適的公式化簡計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題 17. 【解析】【分析】由條件

18、得 MN則結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得 a B = 1詳解】 由條件得MN可得即a =lo B =廝以a B =1。 lo=1睛】本題主要考查幕函數(shù)的 性質(zhì)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用等知識(shí)意在考查學(xué)生解析：【解析】【分析】122 11221由條件，得M-,N-,-，則1-,21，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得a限333 33333【詳解】由條件，得2，N 3可得-3即 a =log113=logi 33所以a 3 =lg1 21g31g3 1= = 1.2 11g31g3【點(diǎn)睛】本題主要考查募函數(shù)的性質(zhì), 和計(jì)算求解能力.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力18.【解析】【分析】由已知棱柱體積與

19、棱錐體積可得 S®J下底面距離與棱柱高 的關(guān)系進(jìn)一步得到SSU上底面距離與棱錐高的關(guān)系則答案可求【詳解】設(shè)三棱柱 的底面積為高為則再設(shè)到底面的距離為則得所以則到上底面的距離為所 解析：1【解析】【分析】由已知棱柱體積與棱錐體積可得s到下底面距離與棱柱高的關(guān)系，進(jìn)一步得到s到上底面距離與棱錐高的關(guān)系，則答案可求.【詳解】設(shè)三棱柱ABC A1B1C1的底面積為S',高為h,則 S'h 9, S' 9, h11 9再設(shè)S到底面ABC的距離為h',則-S'h' 2,得三h' 2,33 h所以莊2 , h 3 1則S到上底面A1B1C1的

20、距離為-h ,1八11所以三棱錐S A1B1C1的體積為一S'h - 9 1339故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查棱柱、棱錐體積的求法，考查空間想象能力、思維能力與計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié) 合思想，三棱錐體積為 V 1s底4h ,本題是中檔題.3早19.【解析】【分析】由及三角變換可得故于是得到或再根據(jù)可得從而然后根 據(jù)余弦定理可求出于是可得所求三角形的面積【詳解】由得又為三角形 的內(nèi)角或又.于是由余弦定理得即解得故.故答案為【點(diǎn)睛】正余弦定理解析:7 2【解析】 【分析】,bcosC 1 cos2csinB cosC由 及二角變換可得 ，故sin2B sin2C ,于是得到ccosB1 co

21、s2BsinCcosB1B C或B C ,再根據(jù)cosA 可得B C ,從而b c ,然后根據(jù)余弦定理可求 23出b c J21,于是可得所求三角形的面積 【詳解】Ix-v 22 2 i 22 公,bcosC 1 cos2csinBcosC2cos C由，得，ccosB1 cos2BsinCcosB2cos B.cosC 0,cosB 0,sinB cosC sinC cosB ' sin2B sin2C,又B,C為三角形的內(nèi)角， B C 或 B C , 2.1又 cosA 一 , 3B C ,于是 b c.由余弦定理得a2 b2 c2 2bcosA,即 2 6 2 b2 b2 -b2

22、, 3解得b后，故c后S abc 1bcsinA 1 ，21.21 212 712 .223故答案為7拒. 【點(diǎn)睛】正余弦定理常與三角變換結(jié)合在一起考查，此類問題一般以三角形為載體，解題時(shí)要注意 合理利用相關(guān)公式和三角形三角的關(guān)系進(jìn)行求解，考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，屬 于中檔題.20.【解析】【分析】先還原幾何體再從底面外心與側(cè)面三角形的外心分別作 相應(yīng)面的垂線交于。即為球心利用正弦定理求得外接圓的半徑利用垂徑定理求得球的半徑即可求得表面積【詳解】由該四棱錐的三視圖知該四棱錐直觀圖解析:1015即為先還原幾何體，再從底面外心與側(cè)面三角形SAB的外心分別作相應(yīng)面的垂線交于O,球心，利用正弦

23、定理求得外接圓的半徑，利用垂徑定理求得球的半徑，即可求得表面積【詳解】由該四棱錐的三視圖知，該四棱錐直觀圖如圖，ABS令1為 SAB外接圓半徑，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,則cos SBAsin SBA可得R219 2r113OF2sin SBAad0F=2231,計(jì)算得,R281 12010120因?yàn)槠矫鍿AB 平面ABCD ,連接AC,BD交于E,過E作面ABCD勺垂線與過三角形的外心作面ABS的垂線交于 0,即為球心連接 AO即為半徑,所以S21014 R5故答案為101本題考查了三視圖還原幾何體的問題，考查了四棱錐的外接球的問題，關(guān)鍵是找到球心, 屬于較難題.三、解答題

24、321. （1）列聯(lián)表見解析；（2）有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)；（3）；.【解析】試題分析：（1）根據(jù)在100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為 -,5可得喜愛游泳的學(xué)生，即可得到列聯(lián)表；（2）利用公式求得 K2與鄰界值比較，即可得到結(jié)論；（3）利用列舉法，確定基本事件的個(gè)數(shù)，即利用古典概型概率公式可求出恰好有1人喜歡游泳的概率.試題解析：（1）因?yàn)樵?00人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為，所以喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為人其中女生有20人，則男生有40人，列聯(lián)表補(bǔ)充如下：喜歡游泳/、喜歡游泳合計(jì)男生401050女生203050合計(jì)6040100因?yàn)镸=四60x4*0x

25、50x50所以有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)（3） 5名學(xué)生中喜歡游泳的 3名學(xué)生記為a, b, c,另外2名學(xué)生記為1,2,任取2名 學(xué)生，則所有可能情況為（a,b）、（a,c）、（ a, 1）、（ a,2）、（ b, c）、（b,1）、（ b,2）、（c,1）、（ c,2）、（ 1,2）,共 10種.其中恰有1人喜歡游泳的可能情況為（a, 1）、（ a, 2）、（ b, 1）、（ c, 1）、（c, 2）,共 6種6 3所以，恰好有1人喜歡游泳的概率為一二-10 5【方法點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題，利 用古典概型概率公式，求概率時(shí)，找準(zhǔn)基

26、本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先 （A,B1）, （%,3）. （A,Bn）,再（A2,B1）,（A2, B2） . （A2, Bn）依次（A3,B1）（A3, &） . （A3, Bn） 這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象 的發(fā)生.n 11 2 n 4122. （1） bn n （2） Sn n 1 22（3） -3 3 n 1 2n 1【解析】【分析】【詳解】(1)由 an 1 2an 2n 1 得 bn 1 bn 1 ,得 bn n ;2 23 J n 2n 1(2)易得 ann|2n,Sn121222n2n,2Sn122錯(cuò)位相減得 Sn 21 221

27、12n n 2n 1 2 1- n 2n 1所以其前n項(xiàng)和Snn 1 2n 1 2；Cn1 n n2 4n 2 2nn2n?n 1 2n 1""1 n n2 4n 2n?n 1 2n1/ n 21 n n 2 n 1 nn?n 1 2n 12nn '1nnn 1 ?2n 1n?2nn 1 ?2n 1III1121222IIInn 1n22 n 1 更nn 1n 12 1112 n 41t -EPC 與 Jzpc ：3 62 n 1 ?2n 13 3n 12點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“ Sn

28、”與“ qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“ Sn 參數(shù)，應(yīng)分公比等于qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為 1和不等于1兩種情況求解.23.(1)見解析(2)叵(3)叵47【解析】【分析】(1)連接OC,由BO = DO, AB =AD ,COXBD .在4AOC中，由題設(shè)知 AO 此能夠證明AOL平面BCD；(2)取AC的中點(diǎn)M,連接OM、ME、知 AO，BD ,由 BO = DO , BC = CD,知1, CO 73, AC = 2,故 AO2+CO2 = AC2,由OE,由E為BC的中點(diǎn)，知ME / AB ,OE / DC,故

29、直線OE與EM所成的銳角就是異面直線 AB與CD所成的角.在 OME中，EM1AB 2、21，OE DC 1 ,由此能求出異面直線22AB與CD所成角大小的余弦；(3)設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.在4ACD中，CA CD2, AD旬ACD1五J4§?，由AO=1,知 1立，由此能2求出點(diǎn)E到平面ACD的距離.【詳解】(1)證明：連接 OC, BO=DO, AB = AD, AOBD, ,. BO=DO, BC=CD,COXBD.在AAOC 中，由題設(shè)知 AO 1, CO J3, AC=2, ao2+co2=ac2, ./ AOC = 90° ,即 AOXOC. . AOX

30、BD, BDA OC=O, .AO,平面 BCD.(2)解：取AC的中點(diǎn)M,連接OM、ME、OE,由E為BC的中點(diǎn),知 ME / AB, OE / DC,直線OE與EM所成的銳角就是異面直線 AB與CD所成的角.在4OME 中，EM Iab 巫，OE - DC 1, 222一一 八1 八OM是直角 AOC斜邊AC上的中線，OM -AC 121 - 1cos OEM22122異面直線AB與CD所成角大小的余弦為4(3)解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h. V Ve ACD Va CDE ,1 uo1二 hl.SACD二.33在 ACD 中,CA, Sacd22AOf S；CDE u. AO S”E

31、 - h 0SACDAO.SCDE，CD 2, AD 亞,4-m 22242 '1_2且近 7， 2點(diǎn)E到平面ACD的距離為7【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)、線、面間的距離的計(jì)算，考查空間想象力和等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，解題時(shí)要認(rèn)真審 題，仔細(xì)解答，注意化立體幾何問題為平面幾何問題.24.( I)也；(n)32/5 ；(出)20【解析】【分析】(I )以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA所在直線為x軸，BBi所在直線為面直線AC與AB1所成角為，算出,再禾I用cosy軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)異|cos|計(jì)算即3可；(n)分別求出平面 AAG的法向量m與平面B1AC1的法向量n ,再利用向量的夾角公式算得cos m, n即可；(出

32、)設(shè)M (a,b,0),由mn平面AB。，得MN 0,進(jìn)一步得到M的坐MN AC1 0標(biāo)，再由模長公式計(jì)算 BM的長.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，BB1所在直線為y軸，由題意，B(0,0,0), A(2x2,0,0), C(、2, .2, ,5),A1(2.2,2 .2,0), Bi(0,2 .2,0), Ci( . 2, .2, .5)( 2, v2, v5), A1B1 ( 2v2,0,0)所以cosAC就£| 3 2 2 3設(shè)異面直線AC與AB所成角為則 cos | cos2所以異面直線 AC與A1B1所成角的余弦值為 (n)易知Aa1 (0,2v2,0