(整理)平面向量的概念及運(yùn)算知識總結(jié)

1、平面向量的概念及運(yùn)算一.【課標(biāo)要求】(1)平面向量的實(shí)際背景及基本概念通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景， 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；(2)向量的線性運(yùn)算通過實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義；了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義(3)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表不了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算； 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件二.【命題走向】本講內(nèi)容屬于平面向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容，與平面向量的數(shù)量積比較出題量

2、較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等。此類題難度不大，分值 59 分。預(yù)測2010年高考：(1)題型可能為1道選擇題或1道填空題；(2)出題的知識點(diǎn)可能為以平面圖形為載體表達(dá)平面向量、借助基向量表達(dá)交點(diǎn)位置 或借助向量的坐標(biāo)形式表達(dá)共線等問題。三.【要點(diǎn)精講】1 .向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)uuiruuu的大寫字母表示，如：AB幾何表示法 AB , a；坐標(biāo)表示法a xi yj (x, y)。向量的uuu大小即向量的

3、模(長度)，記作| AB |即向量的大小，記作I a|。向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小零向量長度為0的向量，記為0 ,其方向是任意的，0與任意向量平行零向量 a = 0| a Irr=0。由于0的方向是任意白0,且規(guī)定 0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行(共線)的問題中務(wù)必看清楚是否有 非零向量”這個(gè)條件。(注意與0的區(qū)別)單位向量模為1個(gè)單位長度的向量，向量 a°為單位向量I a0 I = 1。平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量。 任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作 a / b o由于向量可以進(jìn)行任意的平移 (即自由向

4、量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的 “共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的 “平 行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a bo大小相等,方向相同(xi，yj3)1:yi y22 .向量的運(yùn)算(i)向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法uuu r uuur r r uuu unn uuu 設(shè) AB a,BC b,則 a + b=AB BC = AC °規(guī)定：(1) 0 a a 0

5、 a；(2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”(1)用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的 始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。(2)三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法 則。向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：uuruuuruun uuinuuuuuuABBCCDL PQQRAR，但這時(shí)必須“首尾相連”

6、。(2)向量的減法相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量記作 a ,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有：(i) ( a) = a； (ii)a +( a)=( a)+a=0; (iii)若 a、b 是互為相反向量，則 a = b,b= a ,a + b =0 °向量減法向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a b a ( b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法作圖法：a b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量(a、b有共同起點(diǎn))(3)實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量，記作入 a,它的長度與方向規(guī)定如下：(I) | a | | |a；(n)當(dāng)

7、 0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng) 0時(shí)，入a的方向與a的方向相反；當(dāng) 0時(shí)，a 0,方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律3 .兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得b = a。4 .平面向量的基本定理如果e1,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有一對實(shí)數(shù) 1, 2使：a1el2e2其中不共線的向量 e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底5 .平面向量的坐標(biāo)表示(1)平面向量的坐標(biāo)表不：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單r rr位向量i,j作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a

8、可表示成r r r rr 一 ra xi yj ,由于a與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫作a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。規(guī)定：(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對 位置有關(guān)系。(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：什 rrrr若 ax1,y1 ,bx2,y2，則 abx1x2,y1y2;uur若 A x，yi ,B x2, y2 ,則 AB x2 x1 * 必；若 a=(x,y),則 a=( x, y)；什 rrr r若 ax1,y1 ,bx2

9、,y2 ，貝U abx1y2 x2yl 0。6 .向量的數(shù)量積(1)兩個(gè)非零向量的夾角1 * * T已知非零向量a與a,作OA = a , OB = b ,則/ AOA= 0(0 wg同叫a與b的夾角；說明：(1)當(dāng)0=。時(shí)，a與b同向；rf(2)當(dāng)仁兀時(shí)，a與b反向；(3)當(dāng)9=時(shí)，a與b垂直，記a ± b；20 & <180o(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍已知兩個(gè)非零向量它們的夾角為則a b= a b cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)r。規(guī)定00;向量的投影:rI b I cosr re R,稱為向量b在a方向上的投影。投影的絕對值稱為射

10、影;(3)數(shù)量積的幾何意義:r rb等于a的長度與r rb在a方向上的投影的乘積(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與平方的關(guān)系:a2 ii2。乘法公式成立a br2abr2r2 a2abr b22a平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律、八r r交換律成立：a b對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立:r r分配律成立：a b向量的夾角：cos= cos a,br ra?bX1X2y1y2o22 X2y2當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與br同方向時(shí)，0 =00,當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)。=180°,同r時(shí)0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題(5)兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算rrr r已知兩個(gè)向量 a (x1,y1),b (x2,

11、y2)，則 a b =x1x2 y1y2。(6)垂直：如果a與b的夾角為900則稱a與b垂直，記作a ± b o兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：a X b a - b = Ox1x2 y1y2 0,平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。(7)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè) a (x, y),則 | a |2 x2 y2 或 | a | 寸 x2 y2。如果表示向量 a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1, y1)、(x2,y2),那么| a | v(xi x2)2 (yi y2)2 (平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)2.向量的應(yīng)用(1)向量在幾何中的應(yīng)用；(2)向量在物理中的應(yīng)用。五.【思維總結(jié)】數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、形成基本技能的“藍(lán)本”，能力是在知識傳授和學(xué)習(xí)過程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的。新課程試卷中平面向量的有些問題與課本的例習(xí)題相同或相似，雖然只是個(gè)別小題，但它對學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義，教學(xué)中重視教材的使用應(yīng)有不可估量的作用。 因此，學(xué)習(xí)階段要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個(gè)局部知識按照一定的觀點(diǎn)和方法組織成整體， 形成知識體系。學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離等。由于向量