ch1-4無窮小量及無窮大量ppt課件

1、第第1章章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)、極限、連續(xù)第第1節(jié)節(jié) 集合、映射與函數(shù)集合、映射與函數(shù)第第2節(jié)節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限第第3節(jié)節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第第4節(jié)節(jié) 無窮小量及無窮大量無窮小量及無窮大量第第5節(jié)節(jié) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)第第4節(jié)節(jié) 無窮小量及無窮大量無窮小量及無窮大量n4.1 無窮小量及其階無窮小量及其階 n4.2 無窮小的等價代換無窮小的等價代換n4.3 無窮大量無窮大量 無窮小量無窮小量（1定義定義4.1(無窮小量無窮小量)當(dāng)當(dāng) 假設(shè)假設(shè)0 xx 時時 , 函數(shù)函數(shù)( )0 ,x 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf0 xx 例如例如 :1lim(1 )0 ,xx函數(shù)函數(shù) 1x當(dāng)當(dāng)1x時為無窮

2、小時為無窮小;sinlim0 ,xxx 函數(shù)函數(shù) sin xxx 時為無窮小時為無窮小;)x (或為為時的無窮小量時的無窮小量 .)x (或( 1)lim0,nnn ( 1).nnn 數(shù)當(dāng)時為無窮數(shù)當(dāng)時為無窮列小列小0limsin0,xx sin0 xx 數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時為為無無窮窮；函函小小注意注意1.1.無窮小是以無窮小是以0 0為極限的函數(shù)為極限的函數(shù), ,不能與很小的不能與很小的數(shù)混淆數(shù)混淆; ;例：例：同時無窮小是相對于某變化過程而言同時無窮小是相對于某變化過程而言! 12lim(1 )0 ,lim(1 )1xxxx 注意注意2.2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的

3、數(shù). .即即除除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 ! 因為因為0)(lim0 xfxx,0,0當(dāng)當(dāng)00 xx時時, 0)(xf顯然顯然 C 只能是只能是 0 !CC（2 2無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系其中其中 為為時的無窮小量時的無窮小量 . 定理定理 4. 1( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )證證: :當(dāng)當(dāng)時時, ,有有對自變量的其它對自變量的其它變化過程類似可證變化過程類似可證 .0lim( )xxf xa 0 xx( )f xa, 0,0,00 xx ( )f xa ( )f xa 0lim0 xx 0lim( )xxf

4、 xa 意義意義1.1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題( (無窮小無窮小););02.( )( ),( ).f xxf xAx 給給數(shù)數(shù)在在達達誤誤為為出出了了函函附附近近的的近近似似表表式式差差（3 3無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì)定理定理4.2 4.2 在同一極限過程中在同一極限過程中, ,(1)(1)有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小; ;(3)(3)有極限的函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有極限的函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .推論推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .(2)(2)有限個無窮小的乘積也是無

5、窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小. .定理定理4.3 4.3 設(shè)設(shè)0lim( ) ( )0.xxx f x ( )f x0lim0,xx 在在x0處局部有界，那么處局部有界，那么定理定理4.34.3常描述為有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常描述為有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .證證0( )f xx已知在處局部有界，已知在處局部有界，00,0,0,( ).Mxxf xM 則則( )( )( )( )Mxxf xMx 從而有從而有0lim( )0,xxMx 由夾逼性由夾逼性,有有0lim( )( )0.xxxf x 211,0,sin,arctanxxxxx當(dāng)當(dāng)時時例例如如都是無窮小都是無窮小.

6、2. 無窮小的比較無窮小的比較xxx3lim20 xxxsinlim0201cos1lim2xxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不快慢程度不同同.;32趨近零的速度要快得多趨近零的速度要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx, 0 , 1 觀察各極限觀察各極限210,sin,1cossin.xx xxxxx 當(dāng)當(dāng)時時, ,，均均是是無無窮窮小小量量21cos;xx 與與大大致致相相同同01sinlimxxxx不可比不可比.xx1sinlim0 .不不存存在在（1 1無窮小的階無窮小的階定義定義4.24.2,0. 設(shè)設(shè)是是同同一一極極限限過過程程中中的

7、的兩兩個個無無窮窮小小 且且lim1, 特特別別地地, , 若若則則稱稱 與與 是是等等價價無無窮窮小小, ,(2)lim0,;c 如如果果則則稱稱 與與 是是同同階階無無窮窮小小(1)lim0, 高階高階如果是 的如果是 的無窮小無窮小稱稱(3)lim00),.kkck 如如果果（則則稱稱關(guān)關(guān)于于 的的 階階的的無無窮窮小小是是( ).o 記作記作;記作記作000lim,()kxxcxxxxk 若若則稱 是當(dāng)時則稱 是當(dāng)時的 階無窮小.的 階無窮小.lim0,o(1); 特特別別, , 若若記記作作lim,. 若若不不則則稱稱 與與 無無法法比比較較注意注意1cos( )xo x ,0時時當(dāng)

8、當(dāng) xtansin( )xxo x例例.sintan,0的的階階數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于求求時時當(dāng)當(dāng)xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的的三三階階無無窮窮小小為為xxx 1sinxxx與 無法比較.與 無法比較.,0時時當(dāng)當(dāng) x例如例如例例2 證明證明: 當(dāng)當(dāng)0 x 時時,11nx1xn證證0 limx11nx1nx0limx 11nnx1nx 11nnx 21nnx 11 11nx1xnnnab ()ab 1(na 2nab 1)nb 0,x當(dāng)當(dāng)時時等價無窮小的刻畫等價無窮小的刻畫lim1, lim0, ( ),o 即即( ).

9、o 于于是是有有例如例如,),(sinxoxx ( )o 111( )nxxo xn 0 ,x 21sinu u, arcsinu u; 1cosu u ;2tanu u, arctanu u; sinu1e1sinuu,1 sinu 1sinu.2 ua1 ulna (a0,a1),(1u)1 u (0) 常用的等價無窮小常用的等價無窮小:u0,當(dāng)時 有當(dāng)時 有uln(1u) u, e1 u; （2 2無窮小的等價代換無窮小的等價代換定理定理4.4(4.4(無窮小量的等價代換無窮小量的等價代換) )limlim,limlim,lim,a 設(shè)=0設(shè)=0若，且=若，且=limlim. a 證證

10、limlimlimlim lima 例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價無窮小量代換不能濫用等價無窮小量代換.注意注意 只能對分子分母中的無窮小因子進行代換只能對分子分母中的無窮小因子進行代換. .不能不能對所求極限表達式中的被加對所求極限表達式中的被加, ,被減函數(shù)進行代換被減函數(shù)進行代換, ,否否則會產(chǎn)生錯誤則會產(chǎn)生錯誤. .例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解

11、,0時時當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 3. 無窮大量無窮大量觀察：觀察：1 ,x 1 ,x 1( )1f xx 1( )1f xx 1,x 1( )1f xx 越來越大越來越大,x 越來越大越來越大越來越小越來越小越來越大越來越大( )xf xe 1( )2xf x 0 ,x 越來越大越來越大xye xye 11yx ( )f xM 定義定義4.3 若任給若任給 M 0 ,000 xx 一切滿足不等式一切滿足不等式的的 x , 總有總有則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時為無窮大時為無窮大,

12、使對使對0lim( ).xxf x 若在定義中將若在定義中將 式改為式改為Mxf)(則記作則記作0()lim( )xxxf x 0()( lim( )xxxf x )(Xx )(x(lim( )xf x (正數(shù)正數(shù) X ) ,記作記作( ( ) ,f xM 總存在總存在無窮大無窮大( (量量) )的定義的定義11lim.1xx 例例證明證明6 6證證. 0 M1,1Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時時當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx00:lim( ),( ).xxf xxxyf x 如果則直線是函數(shù)如果則直線是函數(shù)的圖的圖定義定義鉛直鉛直的的漸近線漸近線

13、形形11 xy注意注意1.無窮大量是變量無窮大量是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大量是一種特殊的無界變量無窮大量是一種特殊的無界變量,但是但是無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.)(lim. 20認為極限存在認為極限存在切勿將切勿將 xfxx.無無窮窮大大實實質(zhì)質(zhì)上上是是函函數(shù)數(shù)極極限限不不存存在在的的一一種種情情況況 0 xxlimf x 0M0, 0, 0 | x-x |, |f x | M 使使當(dāng)當(dāng)時時 有有 0,xx,f x其其否否定定 即即時時不不是是無無窮窮大大 *000M0, 0, x0 |x -x |, |f x| M 存存在在 滿滿足足但但 11

14、:x0,f xsin.xx 例例 當(dāng)當(dāng)時時 無無界界函函數(shù)數(shù)不不是是無無窮窮大大4.4.無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系假設(shè)假設(shè)( )f x為無窮大為無窮大,1( )f x為無窮小為無窮小 ;假設(shè)假設(shè))(xf為無窮小為無窮小, 且且( )0 ,f x 那那么么1( )f x為無窮大為無窮大.那那么么據(jù)此定理據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論無窮小來討論.定理定理4.5 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,意義意義:證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè)000,01,0,1( ),xxMf xM 使得使得恒有恒有當(dāng)時當(dāng)時.)(1,0為

15、為無無窮窮小小時時當(dāng)當(dāng)xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反反之之000,1,1( )0,Mf xMxxM 使得當(dāng)使得當(dāng)恒有恒有時時對對).1(Mf x 從而從而01,.( )xxf x當(dāng)時為無窮大量當(dāng)時為無窮大量, 0)( xf由由于于5 5 無窮大量階的比較無窮大量階的比較(1)lim,;zzyy 如如果果則則稱稱 是是比比的的無無階階窮窮大大量量高高定義定義,.y z設(shè)設(shè)是是同同一一極極限限過過程程中中的的兩兩個個無無窮窮大大量量(2)lim0,;zczyy如果則稱 與 是的無如果則稱 與 是的無階(級)階(級)窮大量窮大量同同(3)lim,zzyy 如如果果不

16、不則則稱稱 與與 無無法法比比較較; ;(4)lim0(0),.kzckzyyk如果就說 是 的的如果就說 是 的的無窮大量無窮大量階階ln(0),(1), !knnnnannkan 當(dāng)當(dāng)時時，均均是是無無窮窮大大. ., (1), (1)(0) (!ln0)! nnnkknnnaanaaknkn 且比且比比比比，比，比比高階的無窮大.高階的無窮大. O O記號的含義記號的含義 (P63) (P63) 0( )( ( )().f xOxxxg 記記作作000,(),( ),( )(1)MxU xf xMf xO 特特別別, ,若若記記作作00( )0,(, ),( )f xMxU xMg x

17、若若0)lim0,xxxc （當(dāng)當(dāng)0( )( ( )().xOxxxx 則（則（定義定義. 0)( ,)(,0 xgxUgfo且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮大量與無窮小量的關(guān)系由無窮大量與無窮小量的關(guān)系,得得例例7 7.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx例例8 8 .147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去

18、除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 為為非非負負整整數(shù)數(shù)時時有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 00101101,lim0,.mmmnnxnanmba xa xanmb xb xbnm 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無窮小以分出無窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .小結(jié)例例9 9 求求. )1(lim2xxxx 解法解法 1 1 原式 =2lim1xxxx 21lim111xx 12 解法解法 2 2 令令1,tx 20111lim1tttt 12 那那么么原式原式 = =22011limttt 201lim11tt 0t EX.求極限求極限 xxxx193lim 解答解答 xxxx1