高三一輪復(fù)習(xí)立體幾何學(xué)案

1、立體幾何第3講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系編制：、復(fù)習(xí)目標(biāo):日期:審核：趙景春審批:1 .理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2 . 了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3 .能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.二、知識(shí)梳理4 .平面的基本性質(zhì)(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2:過 的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.(3)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有 公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公 共直線.(4)公理2的三個(gè)推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面;推

2、論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.2.空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間兩直線的位置關(guān)系共面直線平行相交異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a' / a, b' / b,把a(bǔ)'與b'所成的 叫做異面直線a與b所成白角(或夾角).范圍：0, 2.(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于 的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角3.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有 、三種情況.(2)平面與平面的位置關(guān)系有 、兩種情況.三、答

3、題策略1. 一點(diǎn)提醒：做有關(guān)平面基本性質(zhì)的判斷題時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，如“有且只有”、“只能”、“最多”等.2. 兩個(gè)防范：一是兩個(gè)不重合的平面只要有一個(gè)公共點(diǎn)，那么兩個(gè)平面一定相交得到的是一條直線，二是搞清 “三個(gè)公共點(diǎn)”是共線還是不共線3. 一個(gè)理解 異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).不能錯(cuò)誤地理解為不在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線.四、典例強(qiáng)化考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】：(1)以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是().不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn) A, B, C, D共面，點(diǎn) A, B, C, E共面，則 A, B, C, D, E共面；若直線a, b共面

4、，直線a, c共面，則直線b, c共面；依次首尾相接的四條線段必共面.A. 0B. 1 C. 2D. 3(2)在正方體 ABCD A1B1C1D1中，P, Q, R分別是 AB, AD , B1C1的中點(diǎn)，那么正方體 的過P, Q, R的截面圖形是().A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【訓(xùn)練1】 如圖所示是正方體和正四面體，P, Q, R, S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形的序號(hào)是. GH與EF平行；BD與MN為異面直線;GH,考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系【例2】如圖是正四面體的平面展開圖，G, H, M, N分別為DE, BE, EF, EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中,G

5、H與MN成60°角；DE與MN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是【訓(xùn)練2】 在圖中，G, H, M, N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線考點(diǎn)三異面直線所成的角【例3】 在四B隹P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，/ DAB = 60°,對(duì)角線 AC與BD交于點(diǎn)O, POL平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.求四棱錐的體積;【訓(xùn)練3】(2014成都模擬)在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E, F分別是棱 A1B1, A1D1的中點(diǎn)，則A1B 與 EF 所成角的大小為 五、課堂小結(jié)1 證明線共點(diǎn)問題，常用的方法是：先證其中兩條直線

6、交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上2證明點(diǎn)或線共面問題，一般有以下兩種途徑：(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余線 (或點(diǎn) )均在這個(gè)平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合3異面直線的判定方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn) A 與平面內(nèi)一點(diǎn) B 的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線；(2) 反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面六、 鞏固訓(xùn)練：一、選擇題1. (2013江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面 ”，3,加3= l, a?& a? &且a在 3內(nèi)的射影分別為直線 b 和 c ，則直線b 和

7、 c 的位置關(guān)系是() A.相交或平行B.相交或異面C.平行或異面D .相交、平行或異面2在正方體AC1 中， E， F 分別是線段BC， CD1 的中點(diǎn)，則直線A1B 與直線 EF 的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直3 .設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a, b表示兩條直線，”，3表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是（）.PC a, PC Q a? a aAb=P, b?儻 a? 3 a/ b, a? a, PC b, PC “？ b? ” an 3= b, pc% pc 僅 PCbA. B. C. D.4 .如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，過頂點(diǎn) Ai與正方

8、體其他頂點(diǎn)的連線與直線 BCi成60。角的條數(shù)為（）.A. i B. 2 C. 3 D. 45 .如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，/ BAD = Z FAB = 90 °,一 i,一 iBC 統(tǒng)2AD, BEMFA, G, H 分別為 FA, FD 的中點(diǎn).證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C, D, F, E四點(diǎn)是否共面？為什么？第4講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)編制：日期：審核：趙景春審批：一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：i.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)和 判定定理.6 .能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)

9、單命題.二、知識(shí)梳理i.直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a A a= ?a? a, b? % a" ba / aa H a, a? B, ad B=b結(jié)論a / ab / aa A a= ?a/ b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件加片?a? B. b? B. aAb=P.all 0, aCl 產(chǎn) a,a / & a? 3ala, b 1 aBnb結(jié)論a/ 3a / 3a/ ba / a三、答題策略一是推證線面平行時(shí)，一定要說明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi).二是推證面面平行時(shí)，一定要說明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一平面.三是利用線面

10、平行的性質(zhì)定理把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說明經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行.四、典例強(qiáng)化考點(diǎn)一有關(guān)線面、面面平行的命題真假判斷【例1】（1）（2013廣東卷）設(shè)m, n是兩條不同的直線，”，3是兩個(gè)不同的平面，下列命 題中正確的是（）.A.若 a± 3, m? % n? 3,則 m，n B.若 a/ & m? a, n?3，則 m/ nC.若 m± n, m? a, n? &則 a, 3 D.若 m± a, m / n, n / & 則 a± 3（2）設(shè)m, n表示不同直線，a, 3表示不同平面，則下列

11、結(jié)論中正確的是（）.A.若 m / a, m / n,則 n / aB.若 m? a, n? & m / 氏n / a,貝U a/ 3C.若 a/ 8 m / a, m / n,則n/ 3 D.若 a/ 8m / a, n /m, n? 3,則 n / 3【訓(xùn)練1】（1）（2014長(zhǎng)沙卞II擬）若直線a± b,且直線a/平面 %則直線b與平面”的位置關(guān)系是（）.A. b? aB. b/ a C. b? a或 b/ aD. b與a相交或b? a或b / a（2）給出下列關(guān)于互不相同的直線l, m, n和平面a, & 丫的三個(gè)命題:若l與m為異面直線，1? % m? 3,

12、則“/ 3；若 M & 1? " m?氏則l / m；若ad 3= 1,箱 km,們a= n, 1/ %則m/ n.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）.A. 3 B. 2 C. 1 D. 0考點(diǎn)二線面平行的判定與性質(zhì)例 2 如圖，直三棱柱 ABC A' B' C' , / BAC = 90°, AB = AC=也，AA' =1,點(diǎn)M, N分別為A B和B' C'的中點(diǎn).(1)證明：MN/平面A' ACC' ; (2)求三棱錐 A' - MNC【訓(xùn)練2】 如圖，在四面體 A-BCD中，F(xiàn), E, H分別是棱

13、AB, BD, AC的中點(diǎn)，G為DE的中點(diǎn).證明：直線 HG/平面CEF.考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)【例3】（2013陜西卷）如圖，四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，。是底面中心，AiO,底面 ABCD, AB= AAi = V2.證明：平面 AiBD/平面 CDiBi;(2)求三棱柱 ABDA1B1D1的體積.【訓(xùn)練3】 在正方體ABCD AiBiCiDi中，M, N, P分別是CiC, B1C1, C1D1的中點(diǎn),求證：平面 PMN /平面 AiBD.五、課堂小結(jié)1 .平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化方向如圖所示:2 在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“ 低維 ” 到 “ 高維

14、 ” 的轉(zhuǎn)化，即從 “ 線線平行 ” 到 “ 線面平行 ” ，再到 “ 面面平行 ” ；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“ 模式化 ”六、鞏固訓(xùn)練一、選擇題1 .已知直線a, b, c及平面 飛&下列條件中，能使 a/b成立的是（）.A. a/ a, b? a B. all a, b/ a C. a/c, b / c D. all a, an 3= b2 .在梯形 ABCD中，AB/CD, AB?平面 & CD?平面a,則直線 CD與平面 a內(nèi)的直線 的位置關(guān)系只能是（）A.平行 B.平行和異面C.平行和相交D.異面

15、和相交3 .已知直線a和平面 飛 那么all a的一個(gè)充分條件是（）.A.存在一條直線 b, a/b且b? aB.存在一條直線 b, a，b且b，aC.存在一個(gè)平面3, a? 3且a/ 3D.存在一個(gè)平面 氏a/ 3且a/ 34 .若m, n為兩條不重合的直線， 3為兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中正確的是（）.A .若m, n都平行于平面 ”，則m, n 一定不是相交直線B.若m, n都垂直于平面 ”，則m, n 一定是平行直線C.已知“，3互相平行，m, n互相平彳T,若 m/ ”，則n/ 3D.若m, n在平面a內(nèi)的射影互相平行，則 m, n互相平行5 .四棱錐P ABCD中，底面ABCD

16、為平行四邊形，N是PB中點(diǎn)，過A, N, D三點(diǎn)的平面交PC于M.(1)求證：PD/平面 ANC;(2)求證：M是PC中點(diǎn).第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)編制：日期：審核：趙景春審批：一、復(fù)習(xí)目標(biāo)1 .以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì) 與判定定理.2 .能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題 二、知識(shí)梳理1 .直線與平面垂直(1)定義：若直線l與平面a內(nèi)的 _一條直線都垂直，則直線 l與平面a垂直.(2)判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線渚B垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直？線面垂直).即：a? a, b?

17、a, l±a, l±b, a A b= P? (3)性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.即： a± % b! ? 2 .平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.即：a? ”，a,僅(3)性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.即：a! 3, a?” “n 3= b, a±b? 3 .直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角.，一，, 一一兀

18、(2)線面角。的范圍：長(zhǎng)0, 2 .4 .二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩 射線所成的角叫做二面角的平面角.三、答題策略一是注意在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，還有可能異面、相交等.二是注意使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”.三是判斷線面關(guān)系時(shí)最容易漏掉線在面內(nèi)的情況.四、典例強(qiáng)化考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定和性質(zhì)【例1】 如圖，在四棱錐 P ABCD中，PAL底面 ABCD, ABXAD,

19、ACXCD, / ABC = 60°, PA=AB=BC, E 是 PC 的中點(diǎn).證明：(1)CD，AE;(2)PD,平面 ABE.【訓(xùn)練 1】 如圖，直四柱 ABCD AiBiCiDi 中，AB / CD , ADXAB, AB = 2, AD=V2, AAi=3, E 為 CD 上一點(diǎn)，DE = 1, EC=3.證明：BE，平面BBiCiC.考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】(2014深圳一模)如圖，在三棱柱 ABC AiBiCi中，AAi,平面ABC, AB=BC =AAi,且AC=/2BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).證明：平面ABCi,平面BiCD.【訓(xùn)練2】 如圖，在長(zhǎng)方體

20、ABCDAiBiCiDi中，AB=AD=1, AAi=2, M是棱CCi的中點(diǎn).證明：平面 ABML平面AiBiM.考點(diǎn)三平行、垂直關(guān)系的綜合問題【例 3】 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，ABXAC, ABXFA, AB / CD , AB=2CD, E, F,G, M, N 分別為 PB, AB, BC, PD, PC 的中點(diǎn).(i)求證：CE/平面FAD;(2)求證：平面 EFG,平面 EMN.【訓(xùn)練3】 如圖，AB是圓。的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓。上的點(diǎn).(1)求證：BC，平面PAC;(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為 AOC的重心，求證：QG /平面 PBC.考點(diǎn)四 線面角、

21、二面角的求法【例 4 如圖，在四棱錐 P ABCD 中，PA，底面 ABCD, ABXAD, ACXCD, Z ABC= 60°, PA=AB=BC, E 是 PC 的中點(diǎn).求PB和平面PAD所成的角的大??；(2)證明AEL平面PCD;(3)求二面角 A PDC的正弦值.【訓(xùn)練4】 在正方體ABCD AiBiCiDi中，BBi與平面ACDi所成角的余弦值為A 八.3bTC.26 D.y五、課堂小結(jié)1.轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化判定六、鞏固訓(xùn)練一、選擇題1. 設(shè)平面“與平面3相交于直線 m,直線a在平面“內(nèi)，直線b在平面3內(nèi)，且b±m, 則“ 0a 3” 是 “ ab” 的(

22、).A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2. (2014紹興調(diào)研)設(shè)% 3為不重合的平面，m, n為不重合的直線，則下列命題正確的是().A.若a± 3,aA3= n, mXn,則 m±a B.若 m? a, n?& m±n,貝U n, aC.若n± a,n±3, m，8 貝Um a D.若 m"a, nil m±n,則 a± 33. (2013新課標(biāo)全國n卷)已知m, n為異面直線，m,平面a, n,平面 0直線l滿足l±m, l±n, l

23、?a, l? 3,則().A. a/ 3且 l / aB.江 3且 l, 3C. a與3相交，且交線垂直于l D. a與3相交，且交線平行于l4.如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AB/CD, ABXAD, CD = 2AB,平面 PAD，底面 ABCD ,PAXADE和F分別是 CD和PC的中點(diǎn).求證:(1)PA,底面 ABCD;(2)BE/平面 PAD;第6講空間向量及其運(yùn)算編制：、復(fù)習(xí)目標(biāo):日期：審核：趙景春 審批:(3)平面BEFL平面PCD.1 . 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解 及其坐標(biāo)表木.2 .掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3

24、.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直 二、知識(shí)梳理1 .空間向量在空間中，具有 的量叫做空間向量，其大小叫做向量的長(zhǎng)度或模.2 .空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a, b(bw0), a II b?存在入C R,使a=壯(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a, b不共線，則向量p與向量a, b共面？存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x, y),使p=xa + yb.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a, b, c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z使得p = xa+yb+zc.3 .兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)非零向量a,

25、 b的數(shù)量積a b = |a|b|cos<a, b>.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(啟)b=?(ab).交換律：ab=ba.分配律：a (b+ c)= a b + a c.4 .空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè) a=(ai, a2, a3), b=(bi, b2, b3).向里表小坐標(biāo)表小數(shù)量積a ba1b1 + a2b2+ a3b3共線a= ?b(b w 0)a1=入11 a2=入耳a=入_3垂直a b= 0(aw0, bw0)a1b+ a2b2+ a3b3= 0模|a|Ma2 + a2+a2夾角<a, b>(aw0, bw0),a1b1 + a2b2+a3b3c

26、os<a, b>-V a? + a2 + a35/b1+ b2 + b3三、答題策略(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立 體幾何問題的基本要求.另外解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則 和公式等，就近表示所需向量.(2)首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.所以在求若干向量的和，可以通過平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相 接的向量求和.四、典例強(qiáng)化考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算【例1】 如圖所示，已知空間四邊形 OABC,其對(duì)角線為 OB, AC, M, N分別為OA、 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) G 在線段 MN 上，

27、且 MG = 2GN,若OG = xOA+yOB+zOC,則 x, y, z 的值分別為.【訓(xùn)練1】如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD- ABGD中，O為AC的中點(diǎn).設(shè)E是棱DD上的點(diǎn)， 2 且DE= DD,試用AR AD AA表示EO 3考點(diǎn)二 共線定理、共面定理的應(yīng)用【例2】 已知E, F, G, H分別是空間四邊形 ABCD的邊AB, BC, CD, DA的中點(diǎn),用向量方法求證:(1)E, F, G, H 四點(diǎn)共面；(2)BD/平面 EFGH .1【訓(xùn)練2】 已知A, B, C二點(diǎn)不共線，對(duì)平面 ABC外的任一點(diǎn)O,若點(diǎn)M滿足OM=3f f ff f (OA+OB+OC). (1)判斷MA, M

28、B, MC三個(gè)向量是否共面；考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【例3】 如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB=AC=1, /ACD = 90°,把 ADC沿對(duì)角 線AC折起，使AB與CD成60°角，求BD的長(zhǎng).【訓(xùn)練3】 如圖，在直三棱柱 ABC A' B' C 中，AC=BC=AA' , / ACB=90°, D,E分別為AB, BB'的中點(diǎn).(1)求證:CE±A，D;(2)求異面直線 CE與AC'(2)判斷點(diǎn)M是否在平面 ABC內(nèi).五、課堂小結(jié)1 .利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ).2

29、.利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運(yùn)算可 以解決一些距離、夾角問題.3 .利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題.其中合理選取基底是優(yōu)化運(yùn)算的關(guān)鍵.六、鞏固訓(xùn)練一、選擇題1 .在下列命題中：若向量a, b共線，則向量a, b所在的直線平行；若向量a, b所在的直線為異面直線，則向量 a, b一定不共面；若三個(gè)向量a, b, c兩兩共面，則向量 a, b, c共面；已知空間的三個(gè)向量 a, b, c,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x, y, z使得p= xa+yb + zc.

30、其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）.A. 0 B. 1C. 2 D. 32 .已知a=（計(jì)1,0,2）, b= （6,2科一1,2；）,若all b,則 入與科的值可以是（）.A. 2, 1 B, -1, 1 C. - 3,2 D. 2,2 23 2A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.不確定二、填空題6.已知 a= (1, 3,2), b= (2,1,1),點(diǎn) A(3, 1,4), B( 2, 2,2).求|2a+b|; (2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn) E,使得OE，b(O為原點(diǎn))?7.如圖，在棱長(zhǎng)為 a的正方體 ABCD A1B1C1D1中，G為430口的重心,(1)試證：A1, G,

31、 C三點(diǎn)共線;(2)試證：A1C，平面BCD.第7講 立體幾何中的向量方法(一)一一證明平行與垂直編制：日期：審核：趙景春 審批：一、復(fù)習(xí)目標(biāo)1 .理解直線的方向向量及平面的法向量.2 .能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.3 .能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理二、知識(shí)梳理1 .直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：l是空間一直線，A, B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱 AB為直線l的方向向量，與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a, b是平面“內(nèi)兩不共線向量，n為平面a的法向量，則求法向量的方程

32、組為n a = 0,n b = 0.2.空間位置關(guān)系的向量表示位直大系向里表小直線11, 12的方向向量分別為n1, n2.11 / 12n " n2? m=加211 _L 12n1 ± n2? n1 n2= 0直線1的方向向量為n,平囿a的法向量為m1 / an±m? m n = 01 _L an " m? n =加平面a, 3的法向量分別為n,m.a/ 3n " m? n =加a_L 3n±m? n m= 0三、答題策略1.若用向量證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為判定向量或證明與平面的法向量垂直.2 .恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量

33、坐標(biāo)，運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵. 3.證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證 直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直 線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量 運(yùn)算.四、典例強(qiáng)化考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題【例1】如圖所示，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，M, N分別是CiC, B1C1的中點(diǎn).求 證：MN /平面 A1BD.【訓(xùn)練1】(2013浙江卷選編)如圖，在四面體 A-BCD中，AD，平面BCD, BCXCD,AD = 2, BD= 班，M是AD的中點(diǎn)，P是BM

34、的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ = 3QC.證明：PQ/平面BCD.考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題【例2】(2014濟(jì)南質(zhì)檢)如圖，在三棱錐 P-ABC中，AB = AC, D為BC的中點(diǎn)，PO，平面 ABC,垂足。落在線段 AD上.已知 BC=8, PO = 4, AO=3, OD = 2.(1)證明：APXBC;(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM = 3.試證明平面 AMCL平面BMC.【訓(xùn)練2】如圖所示，在直三棱柱 ABCAiBiCi中， ABC為等腰直角三角形，/ BAC= 90°,且AB = AAi, D, E, F分別為BiA, CiC, BC的中點(diǎn).求證：兒(1)D

35、E /平面 ABC;&'於97|鼾(2)BiF,平面AEF.弋密刈甘fir F C考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題【例3】(2014福州調(diào)研)如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi中，AAi = AD=1, E為CD的中點(diǎn).(1)求證：BiEXADi;(2)在AAi上是否存在一點(diǎn) P,使得DP /平面BiAE?若存在，求 AP的長(zhǎng)；若不存在， 說明理由.【訓(xùn)練3】 如圖所示，四棱錐 S- ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng) 的42倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證：AC ± SD.(2)若SD，平面PAC,則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn) E,使得BE /平

36、面PAC.若存在，求SE ：EC的值；若不存在，試說明理由.s五、課堂小結(jié)1 .用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這 種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象 演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.2 .兩種思路：(1)選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向量的線 性運(yùn)算進(jìn)行判斷.(2)建立空間坐標(biāo)系，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何 意義解釋相關(guān)問題.3 .運(yùn)用向量知識(shí)判定空間位置關(guān)系，仍然離不開幾何定理.如用直線的方向向量與平面 的法向量垂直來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.六、鞏

37、固訓(xùn)練一、選擇題1 .已知平面 飛3的法向量分別為 產(chǎn)(一2,3, 5), v = (3, 1, 4),則().A. a/ 3 B. a_L 3 C.外3相交但不垂直D.以上都不正確 2 .若AB= 4D+ 4E,則直線 AB與平面CDE的位置關(guān)系是().A.相交 B.平行C.在平面內(nèi)D,平行或在平面內(nèi)3 .已知 A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)三點(diǎn)，向量 n=(1,1,1),則以n為方向向量的直線 l 與平面ABC的關(guān)系是().A.垂直 B.不垂直 C.平行 D.以上都有可能4 .如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 中，AB=2, AA1=V3, AD = 2

38、72, P 為 C1D1 的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn).則AM與PM的位置關(guān)系為().A .平行 B.異面C.垂直 D.以上都不對(duì)5.已知平面 a和平面3的法向量分別為a= (1,1,2),b=(x, 2, 3),且a_L&則x=6 .已知平面 a內(nèi)的三點(diǎn) A(0,0,1), B(0,1,0), C(1,0,0),平面3的一個(gè)法向量 n=(-1, -1,-1).則不重合的兩個(gè)平面a與3的位置關(guān)系是 .7 .已知點(diǎn)P是平行四邊形 ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果AB = (2, 1, 4),AD = (4,2,0), AP = ( 1,2, 1).對(duì)于結(jié)論： APXAB;APAD;AP是平面 A

39、BCD的法向量； AP/ BD.其中正確的是.8 .如圖所示，平面 PAD，平面 ABCD, ABCD為正方形， PAD是直角三角形，且 PA=AD = 2, E, F, G分別是線段 PA, PD, CD的中點(diǎn).求證：PB/平 q、9 .如圖所示，在四棱錐 P-ABCD中，PC,平面ABCD, PC=2,在四邊形 ABCD中，/B=Z C= 90°, AB= 4, CD = 1,點(diǎn) M 在 PB 上，PB=4PM , PB 與平面 ABCD 成 30°的角.(1)求證：CM /平面FAD;(2)求證：平面 PABL平面 PAD.第8講 立體幾何中的向量方法(二)一一求空間

40、角與距離編制：日期：審核：趙景春 審批：一、復(fù)習(xí)目標(biāo)1 .能用向量方法解決直線與直線，直線與平面，平面與平面的夾角的計(jì)算問題.2 . 了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用二、知識(shí)梳理1 .兩條異面直線所成角的求法設(shè)a, b分別是兩異面直線11, 12的方向向量，則11與12所成的角0a與b的夾角3范圍c兀。，20, nt求法a b|a bcos 0=|a|b|cos 片所2 .直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a,平面”的法向量為n,直線l與平面”所成的角為 aa與n的夾角為 3.則 sin 0= |cos n'an. |a|n|3 .求二面角的大小(1)如圖，AB, CD是

41、二面角a13的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小0ni與n2的夾角(或其補(bǔ)角).= <AB, CD>.(2)如圖，ni, n2分別是二面角a-1- 3的兩個(gè)半平面 3的法向量，則二面角的大小。滿 足|cos q=|cos<ni, n2>|,二面角的平面角大小是向量yi, zi),點(diǎn) B(x2, y2, Z2),則 |AB|=4 .利用空間向量求距離(1)兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)A(xi |AB| = N xi X2 2 + yi y2 2+ zi z2 2.(2)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知 AB為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量，則B到平面a的距離為 舊。|=器產(chǎn)

42、.三、答題策略1 .利用空間向量求空間角，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點(diǎn)線面的位 置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡(jiǎn)單化.主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量 積的夾角公式計(jì)算.2 .兩種關(guān)系一是異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補(bǔ)角是異面直線所成的角.二是二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面 a3的法向量ni, n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與 向量ni, n2的夾角是相等，還是互補(bǔ).四、典例強(qiáng)化考點(diǎn)一求異面直線所成的角【例1】 如圖

43、，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，底面ABCD , E是PC的中點(diǎn).已知 AB=2, AD = 22, PA = 2.求: (1)三角形PCD的面積.(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.【訓(xùn)練1】如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC AiBiCi, CA=CCi=2CB,則直線BCi與直線ABi夾角的余弦值為().A裳B坐C.¥口(考點(diǎn)二利用空間向量求直線與平面所成的角【例2】(2013湖南卷)如圖，在直棱柱 ABCDAiBiCiDi中，AD / BC, Z BAD = 90°,(1)證明:ACXBiD;ACXBD, BC=1, AD = AAi = 3.(2)求直線BiCi與平面ACDi所成角的正弦值.【訓(xùn)練2】(2014青島質(zhì)檢)如圖，在三棱柱 ABC AiBiCi中，CA=CB, AB=AAi, /BAAi = 60 .(1)證明：ABAiC; CCfj若平面 ABC,平面 AAiBiB, AB=CB,求直線 AiC與平面BBiCiC所/V八成角的正弦值.'考點(diǎn)三利用向量求二面角【例