計算機結(jié)構(gòu)與組成 MachineStruFloatingPointI

1、L8 Floating Point I (1) #16 Cal rolls over OSU Behind the arm of NateLongshores 341 yds passing & 4 TDs, the Bears roll 41-13. Recall they stopped our winning streak LAST year. Next wk #11 Oregon home. Go Bears!Machine Structures Lecture 8Floating Point I Floating Point I (2)Quote of the day“95%

2、 of thefolks out there arecompletely clueless about floating-point.”James GoslingSun FellowJava Inventor1998-02-28L8 Floating Point I (3)數(shù)的小數(shù)的小結(jié)結(jié)計算機是用來處理數(shù)的計算機是用來處理數(shù)的in N位可以表示些什么位可以表示些什么?2N個東西個東西, 不會更多不會更多! 他們可以是他們可以是Unsigned integers:0to2N - 1(for N=32, 2N1 = 4,294,967,295)Signed Integers (補碼補碼)-2(N

3、-1)to 2(N-1) - 1(for N=32, 2(N-1) = 2,147,483,648)L8 Floating Point I (4)What about other numbers?1. 很大的數(shù)很大的數(shù)? (seconds/millennium) 31,556,926,00010 (3.155692610 x 1010)2. 很小的數(shù)很小的數(shù)? (Bohr radius) 0.000000000052917710m (5.2917710 x 10-11) 3. 既有整數(shù)部分又有小數(shù)部分的數(shù)既有整數(shù)部分又有小數(shù)部分的數(shù)? 1.5 4.首先考慮首先考慮3. 5. 其解也可以用來解決

4、其解也可以用來解決1和和2.L8 Floating Point I (5)表示小數(shù)部表示小數(shù)部分分“二進(jìn)制小數(shù)二進(jìn)制小數(shù)”：和：和10進(jìn)制小數(shù)點一樣，指定整數(shù)進(jìn)制小數(shù)點一樣，指定整數(shù)和小數(shù)間的邊界和小數(shù)間的邊界xx.yyyy21202-12-22-32-4例：6位表示10.10102 = 1x21 + 1x2-1 + 1x2-3 = 2.62510 假定以上“固定小數(shù)點”, 6位這樣的格式可以表達(dá): 0 to 3.9375 (almost 4)L8 Floating Point I (6)2的冪次的倒數(shù)可以表示的分的冪次的倒數(shù)可以表示的分?jǐn)?shù)數(shù)01.0110.51/220.251/430.125

5、1/840.06251/1650.031251/3260.01562570.007812580.0039062590.00195312510 0.000976562511 0.0004882812512 0.00024414062513 0.000122070312514 0.0000610351562515 0.000030517578125i 2-iL8 Floating Point I (7)定點法表示小數(shù)定點法表示小數(shù).加法和乘法結(jié)果對嗎加法和乘法結(jié)果對嗎?加法的結(jié)果:01.100 1.51000.100 0.51010.000 2.010乘法會更復(fù)雜一些: 01.100 1.510

6、00.100 0.510 00 000 000 00 0110 0 00000 000000000110000HI LOW答案是答案是, 0.11? (需要記住小數(shù)點的位置需要記住小數(shù)點的位置)L8 Floating Point I (8)表示小表示小數(shù)數(shù)目前為止目前為止, 表示小數(shù)，我們用的是小數(shù)點固定的方法，但我表示小數(shù)，我們用的是小數(shù)點固定的方法，但我們真正需要的是讓小數(shù)可以們真正需要的是讓小數(shù)可以“浮動浮動”. Why?浮點數(shù)能更有效地使用有限的位數(shù) (從而在表示數(shù)時精度更高): 000000.001010100000其它方案將損失精度!例: 將 0.1640625 表為二進(jìn)制. 5位

7、，確定小數(shù)點位置.保存這5位，并記下其位置為小數(shù)點后2位對于浮點表示對于浮點表示, 每個數(shù)都包含一個字段記錄小數(shù)點的位置每個數(shù)都包含一個字段記錄小數(shù)點的位置. 小數(shù)點小數(shù)點可在有效位之外可在有效位之外, 因此可表示很大的數(shù)和很小的數(shù)因此可表示很大的數(shù)和很小的數(shù).L8 Floating Point I (9)科學(xué)記數(shù)法科學(xué)記數(shù)法 (10進(jìn)制進(jìn)制)6.0210 x 1023radix (base)decimal pointmantissaexponent 規(guī)范化形式規(guī)范化形式: 無前導(dǎo)無前導(dǎo)0(小數(shù)點左邊有且僅有一位非零數(shù)字小數(shù)點左邊有且僅有一位非零數(shù)字) 表示表示1/1,000,000,000的

8、幾種形式的幾種形式 規(guī)范化規(guī)范化: 1.0 x 10-9 非規(guī)范化非規(guī)范化: 0.1 x 10-8,10.0 x 10-10 L8 Floating Point I (10)科學(xué)記數(shù)法科學(xué)記數(shù)法 (二進(jìn)制二進(jìn)制)1.0two x 2-1radix (base)“binary point”exponent計算機有專門的算術(shù)指令支持這種數(shù)的運算計算機有專門的算術(shù)指令支持這種數(shù)的運算，稱為，稱為floating point, 因為其所表示的數(shù)的因為其所表示的數(shù)的小數(shù)點是不固定的，這和整數(shù)不一樣小數(shù)點是不固定的，這和整數(shù)不一樣在在C語言中用語言中用 float來聲明該變量類型來聲明該變量類型manti

9、ssaL8 Floating Point I (11)浮點表示浮點表示 (0/2)普通形式普通形式: x.xxxxxxxxxxtwo*2yyyytwo031s? Exponent2423sign? Significand8 bits24 bits031s? Exponent8 7sign? significand8 bits？24 bits？L8 Floating Point I (12)浮點表示浮點表示 (1/2)規(guī)范化形式規(guī)范化形式: +1.xxxxxxxxxxtwo*2yyyytwo字的倍數(shù)字的倍數(shù) (32位位)031SExponent302322Significand1 bit8 bi

10、ts23 bitsS 代表代表 Sign Exponent 表示表示 ysSignificand 表示表示 xs最小可表達(dá)最小可表達(dá)2.0 x10-38,最大可表達(dá)最大可表達(dá)2.0 x 1038 L8 Floating Point I (13)浮點表示浮點表示 (2/2) 如果結(jié)果太大，怎么辦如果結(jié)果太大，怎么辦? ( 2.0 x1038 , 0 & 2.0 x10-38 , - 2.0 x10-38 ) Underflow!下溢下溢 負(fù)指數(shù)大于負(fù)指數(shù)大于8位指數(shù)字段可表示范圍位指數(shù)字段可表示范圍 如何減少上下溢出的機會如何減少上下溢出的機會?02x10-382x10381-1-2x1

11、0-38-2x1038underflowoverflowoverflowL8 Floating Point I (14)雙精度浮點表示雙精度浮點表示Double Precision字的二倍長字的二倍長 (64位位)對精度對精度 (vs. 單精度單精度)C變量，用變量，用double聲明聲明可表示的最小數(shù)為可表示的最小數(shù)為2.0 x 10-308 ，最大數(shù)為，最大數(shù)為2.0 x 10308 但，根本的好處是有效位更多，從而精度更高但，根本的好處是有效位更多，從而精度更高031SExponent3020 19Significand1 bit11 bits20 bitsSignificand (co

12、ntd)32 bitsL8 Floating Point I (15)四精度浮點數(shù)表示四精度浮點數(shù)表示Quad Precision字的四倍字的四倍 (128 bits)Unbelievable range of numbersUnbelievable precision (accuracy)目前正在制定規(guī)范目前正在制定規(guī)范 (IEEE 754r)目前的版本是目前的版本是15位指數(shù)，位指數(shù)，112個有效位個有效位 (113 位精度位精度)八精度八精度Oct-Precision? Some have tried, no real traction so far半精度半精度Half-Precisio

13、n? Yep, thats for a short (16 bit)/wiki/Quad_/wiki/Half_precisionL8 Floating Point I (16)IEEE 754浮點數(shù)標(biāo)準(zhǔn)浮點數(shù)標(biāo)準(zhǔn) (1/3)單精度單精度 (雙精度類似雙精度類似): +1.xxxxxxxxxxtwo*2yyyytwo Sign bit:1 表示負(fù)數(shù)表示負(fù)數(shù) 0 表示正數(shù)表示正數(shù) 有效位有效位Significand: 想多一些有效位想多一些有效位, 對規(guī)范化數(shù)，對規(guī)范化數(shù)，前導(dǎo)前導(dǎo)1缺省缺省 單精度有單精度有1 +

14、 23位位, 雙精度有雙精度有1 + 52位位 對于規(guī)范化數(shù)恒有對于規(guī)范化數(shù)恒有: 0 Significand positiveExponent: 0110 1000two = 104ten偏移調(diào)整偏移調(diào)整: 104 - 127 = -23Significand:1 + 1x2-1+ 0 x2-2 + 1x2-3 + 0 x2-4 + 1x2-5 +.=1+2-1+2-3 +2-5 +2-7 +2-9 +2-14 +2-15 +2-17 +2-22= 1.0 + 0.66611500110 1000 101 0101 0100 0011 0100 0010Represents: 1.66611

15、5ten*2-23 1.986*10-7 (about 2/10,000,000)L8 Floating Point I (21)例例: 10進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成浮點進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成浮點數(shù)數(shù)1.去規(guī)范化去規(guī)范化: -23.406252.轉(zhuǎn)換整數(shù)部分轉(zhuǎn)換整數(shù)部分:23 = 16 + ( 7 = 4 + ( 3 = 2 + ( 1 ) ) ) = 1011123.轉(zhuǎn)換小數(shù)部分轉(zhuǎn)換小數(shù)部分:.40625 = .25 + ( .15625 = .125 + ( .03125 ) ) = .0110124.兩部分合在一起，并規(guī)范化兩部分合在一起，并規(guī)范化:10111.01101 = 1.011101101 x 24

16、5.轉(zhuǎn)換指數(shù)部分轉(zhuǎn)換指數(shù)部分: 127 + 4 = 1000001121 1000 0011 011 1011 0100 0000 0000 0000-2.340625 x 101L8 Floating Point I (22)理解有效位理解有效位Significand (1/2)方法方法 1 (小數(shù)法小數(shù)法):10進(jìn)制數(shù)進(jìn)制數(shù): 0.34010 34010/100010 3410/100102進(jìn)制數(shù)進(jìn)制數(shù): 0.1102 1102/10002 = 610/810 112/1002 = 310/410好處好處: 少一些數(shù)字少一些數(shù)字, 更多一些思想更多一些思想; 這種方法這種方法可以幫助我們更

17、好地理解有效位可以幫助我們更好地理解有效位L8 Floating Point I (23)理解有效位理解有效位 Significand (2/2)方法方法 2 (位置值位置值):從科學(xué)計數(shù)法轉(zhuǎn)換而來的從科學(xué)計數(shù)法轉(zhuǎn)換而來的10進(jìn)制進(jìn)制:1.6732 = (1x100) + (6x10-1) + (7x10-2) + (3x10-3) + (2x10-4)2進(jìn)制數(shù)進(jìn)制數(shù):1.1001 = (1x20) + (1x2-1) + (0 x2-2) + (0 x2-3) + (1x2-4)針對數(shù)值距離小數(shù)點的位置來解釋數(shù)值針對數(shù)值距離小數(shù)點的位置來解釋數(shù)值好處好處: 能更快地求得有效位的值能更快地求得

18、有效位的值; 使用該方法使用該方法轉(zhuǎn)換浮點數(shù)轉(zhuǎn)換浮點數(shù)L8 Floating Point I (24)1: -1.752: -3.53: -3.754: -75: -7.56: -157: -7 * 21298: -129 * 27課堂練課堂練習(xí)習(xí)上面浮點數(shù)表示的上面浮點數(shù)表示的10進(jìn)制數(shù)是進(jìn)制數(shù)是?1 1000 0001 111 0000 0000 0000 0000 0000L8 Floating Point I (25)Peer Instruction AnswerWhat is the decimal equivalent of:1 1000 0001 111 0000 0000 0000 0000 0000SExponentSignificand(-1)S x (1 + Significand) x 2(Exponent-127)(-1)1 x (1 + .111) x 2(129-127) -