裂項相消與放縮法解數(shù)列專題(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列專題3一、裂項求和法裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：通項為分式結構，分母為兩項相乘，型如：， 是的等差數(shù)列。常用裂項形式有： ；特別地：二、用放縮法證明數(shù)列中的不等式將不等式一側適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的方法，叫放縮法。1.常見的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關，其基本結構形式有如下4種：（為常數(shù)）；（為常數(shù)）.放縮目標模型可求和（積）等差模型、等比模型、裂項相消模型2.幾種常見的放縮方法 （1）添加或舍去一些項，如：；（2）將分子或分母放大（或縮?。?； （程度大）（程度?。?/p>

2、或平方型：；立方型：指數(shù)型： ；利用基本不等式，如：（一）放縮目標模型可求和等比數(shù)列或等差數(shù)列例如：（1）求證：.（2）求證：.（3）求證：.總結：放縮法證明與數(shù)列求和有關的不等式，若可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和的，一般要先將通項放縮后再求和. 問題是將通項放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的才行呢？其實，能求和的常見數(shù)列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、錯位相減模型、裂項相消模型等. 實際問題中，大多是等比模型或裂項相消模型. （1）先求和再放縮例1.設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足4Snan124n1，nN*，且a2，a5，a14構成等比數(shù)列(1)證明：；

3、(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有.（2）先放縮再求和例如：求證：. 例如：函數(shù)，求證：.例2.設數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有總結：一般地，形如或（這里）的數(shù)列，在證明（為常數(shù)）時都可以提取出利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放縮為等比模型.練習：1.設數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：當時，；（3）試探究：當時，是否有？說明理由.（3）形如例如：設，求證：.根據(jù)所證不等式的結構特征來選取所需要的不等式，不等式關系：注：應注意把握放縮的“度”

4、：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放縮成，則得，就放過“度”了?？偨Y：形如的數(shù)列不等式證明：設和分別為數(shù)列和的前項和，若，利用不等式的“同向可加性”這一基本性質(zhì)，則有.要證明不等式，如果記看作是數(shù)列的前項和，則，那么只要證其通項滿足即可.（二）放縮目標模型可求積放縮法證明與數(shù)列求積有關的不等式，方法與上面求和相類似，只不過放縮后的是可求積的模型，能求積的常見的數(shù)列模型是（分式型），累乘后約簡為.姐妹不等式：和記憶口訣：“小者小，大者大”，（解釋：看，若小，則不等號是小于號，反之）。例如：求證：.例如：求證：。總結：形如的數(shù)列不等式證明：設和分別為數(shù)列和的前項積，若，利用不等式的“正數(shù)同向

5、可乘性”這一基本性質(zhì)，則有.要證明不等式，如果記看作是數(shù)列的前項積，則，那么只要證其通項滿足即可.例3.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，并求出的通項；（2）證明：對于，.（二）添加或舍去一些正項（或負項）若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。例如：已知，求證：.例4.已知數(shù)列的各項為正數(shù)，其前n項和.（I）求之間的關系式，并求的通項公式；（II）求證例5.已知數(shù)列：滿足：，記.(I)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(II)若對任意恒成立，求t的取

6、值范圍；(III)證明:. （三）固定一部分項，放縮另外的項例6.設數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a11，nN*.（1）求a2的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有.練習：2.設，則的整數(shù)部分是（ ）A.17 B.18 C.19 D.203.已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列，為其前n項和，且， .（I）求數(shù)列的通項；（II）求證：.數(shù)列專題3一、裂項求和法裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：通項為分式結構，分母為兩項相乘，型如：， 是的等差數(shù)列。常用裂項形式有： ；特別地：二、用放縮法證明數(shù)列中的

7、不等式將不等式一側適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的方法，叫放縮法。1.常見的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關，其基本結構形式有如下4種：（為常數(shù)）；（為常數(shù)）.放縮目標模型可求和（積）等差模型、等比模型、裂項相消模型2.幾種常見的放縮方法 （1）添加或舍去一些項，如：；（2）將分子或分母放大（或縮?。?； （程度大）（程度?。┗蚱椒叫停?；立方型：指數(shù)型： ；利用基本不等式，如：（一）放縮目標模型可求和等比數(shù)列或等差數(shù)列例如：（1）求證：.分析：不等式左邊可用等比數(shù)列前項和公式求和。解析：左邊=表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是數(shù)列求和。（2）求證：.分析：左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求和，將通項

8、放縮為等比數(shù)列。解析：，左邊（3）求證：.分析：注意到，將通項放縮為錯位相減模型。解析：，左邊總結：放縮法證明與數(shù)列求和有關的不等式，若可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和的，一般要先將通項放縮后再求和. 問題是將通項放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的才行呢？其實，能求和的常見數(shù)列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、錯位相減模型、裂項相消模型等. 實際問題中，大多是等比模型或裂項相消模型. （1）先求和再放縮例1.設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足4Snan124n1，nN*，且a2，a5，a14構成等比數(shù)列(1)證明：；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正

9、整數(shù)n，有.解析： (1)當n1時，4a1a225，a224a15.an0，.(2)當n2時，4Sn1an24(n1)1，；4Snan124n1，由，得4an4Sn4Sn1an12an24，an12an24an4(an2)2.an0，an1an2，當n2時，an是公差d2的等差數(shù)列a2，a5，a14構成等比數(shù)列，a52a2·a14，(a26)2a2·(a224)，解得a23.由(1)可知，4a1a2254，a11.a2a1312，an是首項a11，公差d2的等差數(shù)列數(shù)列an的通項公式為an2n1.(3).總結：（3）問左邊可用裂項相消法求和，先求和再放縮，表面是證數(shù)列不等式

10、，實質(zhì)是數(shù)列求和。（2）先放縮再求和例如：求證：. 分析：左邊不能求和，應先將通項放縮為裂項相消模型后求和，保留第一項，從第二項開始放縮。解析：左邊當時，不等式顯然也成立.例如：函數(shù)，求證：.分析：此題不等式左邊不易求和，此時根據(jù)不等式右邊特征，先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和.若分子，分母如果同時存在變量時，要設法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。例2.設數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項公

11、式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有解：（1）在2Sn=an+12n+1+1中，令n=1得：2S1=a222+1，令n=2得：2S2=a323+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13，又2（a2+5）=a1+a3，解得a1=1（2）由2Sn=an+12n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，又a1=1，a2=5也滿足a2=3a1+21，所以an+1=3an+2n對nN*成立，an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，an=3n2n；（3）分析：（3）左邊不能直接求和，考慮將通項放縮后求和。利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型。（法二）an=3

12、n2n=（32）（3n1+3n2×2+3n3×22+2n1）3n1，+1+=；（法三）an+1=3n+12n+12×3n2n+1=2an，當n2時，累乘得：，+1+×+×總結：一般地，形如或（這里）的數(shù)列，在證明（為常數(shù)）時都可以提取出利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放縮為等比模型.練習：1.設數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：當時，；（3）試探究：當時，是否有？說明理由.（3）形如例如：設，求證：.根據(jù)所證不等式的結構特征來選取所需要的不等式，不等式關系：注：應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放

13、縮成，則得，就放過“度”了?？偨Y：形如的數(shù)列不等式證明：設和分別為數(shù)列和的前項和，若，利用不等式的“同向可加性”這一基本性質(zhì)，則有.要證明不等式，如果記看作是數(shù)列的前項和，則，那么只要證其通項滿足即可.（二）放縮目標模型可求積放縮法證明與數(shù)列求積有關的不等式，方法與上面求和相類似，只不過放縮后的是可求積的模型，能求積的常見的數(shù)列模型是（分式型），累乘后約簡為.姐妹不等式：和記憶口訣：“小者小，大者大”，（解釋：看，若小，則不等號是小于號，反之）。例如：求證：.例如：求證：?？偨Y：形如的數(shù)列不等式證明：設和分別為數(shù)列和的前項積，若，利用不等式的“正數(shù)同向可乘性”這一基本性質(zhì)，則有.要證明不等式，

14、如果記看作是數(shù)列的前項積，則，那么只要證其通項滿足即可.例3.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，并求出的通項；（2）證明：對于，.（二）添加或舍去一些正項（或負項）若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。例如：已知，求證：.本題在放縮時舍去了，從而使和式得到了化簡。例4.已知數(shù)列的各項為正數(shù)，其前n項和.（I）求之間的關系式，并求的通項公式；（II）求證例5.已知數(shù)列：滿足：，記.(I)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(II)若對任意恒成立，求t的取

15、值范圍；(III)證明:.解：（）證明：由得 即，且數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列（）由()可知 由得，易得是關于的減函數(shù) ， （） 得證（三）固定一部分項，放縮另外的項例6.設數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a11，nN*.（1）求a2的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有.解：(1)依題意，2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)當n2時，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即.又，故數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以1(n1)×1n.所以ann2.(3)當n1時，；當n2時，；當n3時，此時