五邑大學,近代物理,物理數(shù)學,hatom

1、2021-12-3181氫原子氫原子2021-12-3182經典力學中的角動量中心力場問題在粒子運動問題中占有特別重要的地位。中心力場問題在粒子運動問題中占有特別重要的地位。當粒子在中心力場中運動時，角動量守恒有重要作用。當粒子在中心力場中運動時，角動量守恒有重要作用。假定質量為假定質量為 的粒子在中心力場的粒子在中心力場 中運動：中運動： rVprlprprlpp1Vrsinrrrr0粒子在中心力場中運動時，對力心的角動量保持不變。粒子在中心力場中運動時，對力心的角動量保持不變。由于角動量與徑矢和動量構成的由于角動量與徑矢和動量構成的平面垂直，角動量守恒帶來的結平面垂直，角動量守恒帶來的結果

2、是，運動軌道必定是有確定法果是，運動軌道必定是有確定法線方向的平面曲線，軌道平面的線方向的平面曲線，軌道平面的法線方向指向角動量的方向。法線方向指向角動量的方向。lrp2021-12-3183量子力學中的角動量在量子力學中，用另一種方法可以證明粒子在中心力在量子力學中，用另一種方法可以證明粒子在中心力場中運動時角動量也是一個守恒量。場中運動時角動量也是一個守恒量。 rVpH22 rV222,klH 22222122lrV rrrrr 角動量算符的各個分量只與角度有關，因此，它們與哈角動量算符的各個分量只與角度有關，因此，它們與哈密頓量中的純徑向坐標函數(shù)項對易。密頓量中的純徑向坐標函數(shù)項對易。不

3、難證明，角動量的各個分量與角動量平方對易。不難證明，角動量的各個分量與角動量平方對易。2222,xxxxyxzl ll ll ll l ,yxyxyyzxzxzzll ll llll ll ll002021-12-3184球坐標系中的薛定諤方程由于勢能具有球對稱性，采用球坐標系是方便的。由于勢能具有球對稱性，采用球坐標系是方便的。 22222122lrV rrErrrr徑向動能徑向動能離心勢能離心勢能角動量的分量是守恒量，角動量的分量是守恒量， 必有共同本征函數(shù)。必有共同本征函數(shù)。klH,角動量的平方是守恒量，并且與各分量對易，角動量的平方是守恒量，并且與各分量對易，2,kH ll必有共同本征

4、函數(shù)。必有共同本征函數(shù)。角動量的各個分量互不對易，不同分量的本征函數(shù)可角動量的各個分量互不對易，不同分量的本征函數(shù)可能有相同的角動量和能量。因此，能級一般都有簡并。能有相同的角動量和能量。因此，能級一般都有簡并。習慣上選習慣上選2,zH ll為守恒量完全集，為守恒量完全集，共同本征函數(shù)是：共同本征函數(shù)是： ,lmlYrRr, 2 , 1 , 0llm, 2, 1, 02021-12-3185中心力場的徑向方程222dd12rrRYrllm222 rYlRlml0lmlYREVlmYll21 22dd1rrRrlVE22012lRrll做如下變換做如下變換llrRll01222 llrllVE在

5、不同的中心力場中，粒子的定態(tài)波函數(shù)的差別僅在在不同的中心力場中，粒子的定態(tài)波函數(shù)的差別僅在徑向部分，它們由中心勢的性質決定。徑向部分，它們由中心勢的性質決定。徑向方程中不出現(xiàn)磁量子數(shù)，這導致能量本征值與徑向方程中不出現(xiàn)磁量子數(shù)，這導致能量本征值與m無無關，能級是關，能級是2l+1 重簡并的。重簡并的。2021-12-3186徑向波函數(shù)的漸近行為假定勢能在原點附近的行為滿足假定勢能在原點附近的行為滿足 0lim20rVrr這時，徑向方程漸近地表示成這時，徑向方程漸近地表示成012 llrll原點是方程的正則奇原點是方程的正則奇點，解必取以下形式點，解必取以下形式 rrl011llll, 12,

6、1 lllrrrr,lim10 10,lim,lllrrrrR波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋要求在任何體積元內找到粒子的概波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋要求在任何體積元內找到粒子的概率有限，因此負冪率有限，因此負冪 l + 1 1.5，這只當，這只當 l = 0 時才成立。時才成立。當當 l = 0 時，將這個解代入徑向方程，時，將這個解代入徑向方程，01222 llrllVElVE22這給出恒為零的無物理意義的解。這給出恒為零的無物理意義的解。物理上可接受的解滿足：物理上可接受的解滿足： 10limllrrr llrrrRlim02021-12-3187氫原子的徑向方程氫原子是少數(shù)幾個能夠嚴格求解的問題之一。氫原子是少

7、數(shù)幾個能夠嚴格求解的問題之一。在氫原子中，電子在質子的在氫原子中，電子在質子的庫侖場中運動，靜電勢能：庫侖場中運動，靜電勢能： rerV1402具有一定角動量的氫原子的徑向波函數(shù)滿足方程：具有一定角動量的氫原子的徑向波函數(shù)滿足方程：01422022 llrllreE 00 做變量替換做變量替換cr 0122dd1222022222llcllceEcc2c12202ec011dd222llll顯然，原點和無窮顯然，原點和無窮遠點是方程的奇點遠點是方程的奇點2021-12-3188合流超幾何方程在原點附近，方程近似地表示成在原點附近，方程近似地表示成012 llll滿足物理要求的漸近解滿足物理要求

8、的漸近解 1ll在無窮遠的鄰域，方程近似地表示成在無窮遠的鄰域，方程近似地表示成0 ll2這個方程的漸近解這個方程的漸近解 expl正冪項不滿足束縛態(tài)條件，必須被拋棄。正冪項不滿足束縛態(tài)條件，必須被拋棄。氫原子的徑向方程的解氫原子的徑向方程的解 ulle1011212 ululu做變量替換做變量替換b0112dd212dd222ulbublbubb21021112 ululu0 uuu合流超幾何方程2021-12-3189按漸近行為整理徑向方程01122 llll ulle1ullle1ule1ule1luul1llluuuu 221luul21lllluuluu 2212112011212

9、ululu2021-12-31810合流超幾何函數(shù)0 uuu0kkkcu211kkkckk11kkkkc1kkkkc00kkkc1 kk111kkkckk011kkkck001 cc011kkckckkkkckkkc11由此得到合流超幾何方程的由此得到合流超幾何方程的解，它叫合流超幾何函數(shù)：解，它叫合流超幾何函數(shù)： ,Fu一般情況下，這是無窮級數(shù)，在無窮遠是發(fā)散的：一般情況下，這是無窮級數(shù)，在無窮遠是發(fā)散的：,1limlim1kcckkkk,e,limF21elimll因此，波函數(shù)在無窮遠處不滿足物理上的要求。除非因此，波函數(shù)在無窮遠處不滿足物理上的要求。除非2021-12-31811氫原子的

10、能級kkckkkc110rn0rnkc合流超幾何函數(shù)被截斷成多項式合流超幾何函數(shù)被截斷成多項式rnl211徑向量子數(shù)徑向量子數(shù)nlnr211121主量子數(shù)主量子數(shù)4202242242eE222024132ne對于給定的主量子數(shù)，對于給定的主量子數(shù)，1rnnl1, 2 , 1 , 0n對于給定的角量子數(shù)，對于給定的角量子數(shù)，lm, 2, 1, 0因此，對于給定的主量子數(shù)，因此，對于給定的主量子數(shù)，(l , m)的組合數(shù)為的組合數(shù)為101nlllmnf1012nll2n每個組合對應的態(tài)的主每個組合對應的態(tài)的主量子數(shù)相同，能量相等量子數(shù)相同，能量相等于是，與主量子數(shù)于是，與主量子數(shù) n 對應的能級的

11、簡并度是對應的能級的簡并度是2n2021-12-31812氫原子的波函數(shù)合流超幾何函數(shù)被截斷成合流超幾何函數(shù)被截斷成多項式后取如下形式：多項式后取如下形式： , 22 , 1llnFru220221rennar2歸一化的徑向波函數(shù)：歸一化的徑向波函數(shù)： 2e, 22 , 1llnFNrRlnlnl,!1!122223lnlnlnaNnl 1d022rrrRnl歸一化的總波函數(shù)：歸一化的總波函數(shù)： ,lmnlYrRr 對于給定的主量子數(shù)，角量子數(shù)和磁量子數(shù)不同的態(tài)有對于給定的主量子數(shù)，角量子數(shù)和磁量子數(shù)不同的態(tài)有相同的能量，這是庫侖場的對稱性帶來的結果。相同的能量，這是庫侖場的對稱性帶來的結果。根據光譜學的習慣，對每根據光譜學的習慣，對每一個角量子數(shù)對應的態(tài)都一個角量子數(shù)對應的態(tài)都賦予一個特別的名稱：賦予一個特別的名稱：角量子數(shù)角量子數(shù)0 1 2 3 4 5 6態(tài)的標記態(tài)的標記 s p d f g h i 2021-12-31813電子的徑向分布和角分布根據概率解釋，在任意一個體積元中找到電子的概率根據概率解釋，在任意一個體積元中找到電子的概率 dd2rrdd222rrYRlmnl對角度積分得到在一個球殼中找到電子的概率：對角度積分得到在一個球殼中找到電子的概率：4222d