湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第二章 三角形 2.5 全等三角形 ppt課件

1、湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊第二章湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊第二章 三角形三角形; 如圖是兩組外形、大小完全一樣的圖形如圖是兩組外形、大小完全一樣的圖形. . 用透明紙描出每組中的一個圖形，并剪下來用透明紙描出每組中的一個圖形，并剪下來與另一個圖形放在一同，它們完全重合嗎？與另一個圖形放在一同，它們完全重合嗎？做一做做一做12;12我發(fā)現(xiàn)它們可以完全重合我發(fā)現(xiàn)它們可以完全重合;結(jié)論結(jié)論 我們把可以完全重合的兩個圖形叫我們把可以完全重合的兩個圖形叫作全等圖形作全等圖形. .;像上面可以完全重合的三角形叫像上面可以完全重合的三角形叫ABCABCABCABCABCABCABCABCBACABC全等三角形 相互重合

2、的頂點叫做對應(yīng)頂點，相互重合的邊叫做對應(yīng)邊，相互重合的角叫做對應(yīng)角.記做：記做：ABC ABC 讀做：讀做：ABC全等于全等于ABC;小提示 全等用符號全等用符號“表示，讀作表示，讀作“全全等于等于. . 在表示兩個三角形全等時，通常把在表示兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上. .;結(jié)論結(jié)論 全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)邊相等； 全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)角相等. . 我們知道，可以完全重合的兩條線段是相等的，我們知道，可以完全重合的兩條線段是相等的，可以完全重合的兩個角是相等的，由此得到：可以完全重合的兩個角是相等

3、的，由此得到： 例如，例如，A=A B=B C=C . , , , , AB=A B BC=B C CA=C A ., , ,;例例1 1 如圖，知如圖，知ABC ABC DCBDCB，AB=3AB=3， DB=4 DB=4，A=60A=60. .1 1寫出寫出ABCABC和和DCBDCB的對應(yīng)邊和對應(yīng)角；的對應(yīng)邊和對應(yīng)角；2 2求求ACAC，DCDC的長及的長及DD的度數(shù)的度數(shù). .;解解1 1ABAB與與DCDC，ACAC與與DBDB，BC與與CB是對應(yīng)邊；是對應(yīng)邊；AA與與DD，ABCABC與與DCBDCB，ACBACB與與DBCDBC是對應(yīng)角是對應(yīng)角. .2 2 AC AC與與DBDB

4、， AB AB與與DCDC是全等三角形的對應(yīng)邊，是全等三角形的對應(yīng)邊， AC = DB = 4 AC = DB = 4， DC = AB =3. DC = AB =3.AA與與DD是全等三角形的對應(yīng)角，是全等三角形的對應(yīng)角，D =A = 60D =A = 60. .; 思索 假設(shè)知兩個三角形有兩邊一角對假設(shè)知兩個三角形有兩邊一角對應(yīng)相等時，應(yīng)分為幾種情形討論？應(yīng)相等時，應(yīng)分為幾種情形討論？邊角邊邊角邊邊邊角邊邊角角夾在兩條邊的中間，角夾在兩條邊的中間，構(gòu)成兩邊夾一角構(gòu)成兩邊夾一角 角不夾在兩邊的中間，角不夾在兩邊的中間，構(gòu)成兩邊一對角構(gòu)成兩邊一對角 ;邊角邊邊角邊角夾在兩條邊的中間，構(gòu)成兩邊夾

5、一角角夾在兩條邊的中間，構(gòu)成兩邊夾一角 做一做做一做知兩條線段和一個角，以這兩條線段為邊，以知兩條線段和一個角，以這兩條線段為邊，以這個角為這兩條邊的夾角，畫一個三角形這個角為這兩條邊的夾角，畫一個三角形 3cm4cm456cm3cm120步驟：步驟：1 1、畫一線段、畫一線段ABAB，使它等于，使它等于4cm4cm；2 2、畫、畫MABMAB4545；3 3、在射線、在射線AMAM上截取上截取ACAC3cm3cm；4 4、連結(jié)、連結(jié)BCBCABCABC即為所求即為所求ABMC4cm4cm45453cm3cm;、請同窗們把畫好的三角形剪下來、請同窗們把畫好的三角形剪下來, ,并和同桌進(jìn)展比較并

6、和同桌進(jìn)展比較, ,兩人的三角形全等兩人的三角形全等嗎嗎? ?、小組長把本組剪好的三角形收齊、小組長把本組剪好的三角形收齊并進(jìn)展比較并進(jìn)展比較, ,一切的三角形全等嗎一切的三角形全等嗎? ?;由此得到斷定兩個三角形全等的根身手實：結(jié)論 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等. .通常可簡寫成“邊角邊或“SAS.留意：邊角邊定理中的角是指兩邊的夾角.;用幾何言語表達(dá)為：在ABC與DEF中AB=DEB=EBC=EFABCDEFSASABCDEF|;例例2 知：如圖，知：如圖，AB和和CD相交于相交于O，且，且AO=BO， CO=DO. 求證：求證：ACO BDO.

7、證明：證明：在在ACO和和BDO中，中， ACOBDO.SASAO = BO，AOC =BODAOC =BOD，對頂角相等，對頂角相等CO = DO，;練習(xí)練習(xí)1. 如圖，將兩根鋼條如圖，將兩根鋼條AA和和BB的中點的中點O連在一同，連在一同，使鋼條可以繞點使鋼條可以繞點O自在轉(zhuǎn)動，就可做成丈量工件內(nèi)自在轉(zhuǎn)動，就可做成丈量工件內(nèi)槽寬度的工具卡鉗槽寬度的工具卡鉗.只需量出只需量出 AB的長，就得的長，就得出工件內(nèi)槽的寬出工件內(nèi)槽的寬AB. 這是根據(jù)什么道理呢？這是根據(jù)什么道理呢？解解 ABOABOABOABO，AB= AB.AB= AB.;2. 如圖，如圖，ADBC，AD=BC. 問：問：ADC

8、和和CBA 是全等三角形嗎？為什么？是全等三角形嗎？為什么？解解 ADBC ADBC ADCADCCBA.CBA.DAC=BCA，又 AD=BC，AC公共 ;3. 知：如圖，知：如圖，AB=AC，點，點E，F(xiàn)分別是分別是AC， AB的中點的中點. 求證：求證：BE=CF.解解 AB=AC, AB=AC, 且且 E E，F(xiàn) F分別是分別是 AC AC，ABAB中點，中點， ABEABEACFACF，AF=AE，又 A公共， BE=CF. BE=CF.; 如圖，在如圖，在ABC和和 中，假設(shè)中，假設(shè)BC = ，B=B，C=C，他能經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射，他能經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換使等變換使A

9、BC的像與的像與 重合嗎？那么重合嗎？那么ABC與與 全等嗎？全等嗎？ A B C B C A B C A B C探探 究究; 類似于根身手實類似于根身手實“SAS“SAS的探求，同樣地，我的探求，同樣地，我們可以經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換使們可以經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換使ABCABC的的像與像與ABCABC重合，因此重合，因此ABC ABC ABCABC;結(jié)論結(jié)論由此得到斷定兩個三角形全等的根身手實：由此得到斷定兩個三角形全等的根身手實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等. . 通?？珊唽懗赏ǔ？珊唽懗伞敖沁吔腔蚪沁吔腔颉癆SA“ASA. .;例例

10、3 知：如圖，點知：如圖，點A，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，在同一條直線上， ABDC，AB=CD，B=D. 求證：求證：ABE CDF.證明證明 ABDC ABDC， A=C. A=C.在在ABEABE和和CDFCDF中，中， ABEABECDF CDF ASAASA. .A=CA=C，AB = CDAB = CD，B=DB=D，;例例4 如圖，為丈量河寬如圖，為丈量河寬AB，小軍從河岸的，小軍從河岸的A點沿著和點沿著和 AB垂直的方向走到垂直的方向走到C點，并在點，并在AC的中點的中點E處立一根標(biāo)桿，然處立一根標(biāo)桿，然后從后從C點沿著與點沿著與AC垂直的方向走到垂直的方向走到D 點，使點，使

11、D，E，B恰恰好在一條直線上好在一條直線上. 于是小軍于是小軍 說：說：“CD的長就是河的寬的長就是河的寬.他能說出這個道理嗎？他能說出這個道理嗎？圖圖3-353-35ABECD;解：解：在在AEB和和CED中，中，A =C = 90A =C = 90，AE = CE，AEB =CED (AEB =CED (對頂角相等對頂角相等) ) AEB AEB CED.CED.ASAASA AB=CD .( AB=CD .(全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)邊相等) )因此，因此，CD的長就是河的寬度的長就是河的寬度.;練習(xí)練習(xí)1. 如圖，工人師傅不小心把一塊三角形玻璃打碎如圖，工人師傅不小心把一塊

12、三角形玻璃打碎 成三塊，現(xiàn)要到玻璃店重新配一塊與原來一樣成三塊，現(xiàn)要到玻璃店重新配一塊與原來一樣 的三角形玻璃，只允許帶其中的一塊玻璃碎片的三角形玻璃，只允許帶其中的一塊玻璃碎片 去去. 請問應(yīng)帶哪塊玻璃碎片去？為什么？請問應(yīng)帶哪塊玻璃碎片去？為什么？答：應(yīng)帶玻璃碎片去答：應(yīng)帶玻璃碎片去; ;只需這塊玻璃具備決議全只需這塊玻璃具備決議全等三角形的幾個條件等三角形的幾個條件: :在在直角三角形中知一個銳角直角三角形中知一個銳角和一條直角邊，由和一條直角邊，由AAS斷定定理即可確定兩個三角形全等，故應(yīng)帶斷定定理即可確定兩個三角形全等，故應(yīng)帶這塊玻璃去這塊玻璃去.;2. 知：如圖，知：如圖，ABC

13、，CF， 分別是分別是ACB和和 的平分線的平分線. 求證：求證： A B C C F A C B CF=C F .證明：證明： ABCABCABCABC， A =A , A =A , ACB =ACB. ACB =ACB. AC=AC證明：證明： CF=CF. CF=CF. 又又CF，CF分別是分別是ACB和和ACB的平分線，的平分線， ACF=ACF. ACF=ACF. ACFACFACFACF;在在ABC和和 中，中， A B C A = A A = A，B = BB = B， C =C. C =C.又又 ，B=B， BC=B C ABC =ABC. ABC =ABC. (ASA).(A

14、SA).;結(jié)論結(jié)論由此得到斷定兩個三角形全等的定理：由此得到斷定兩個三角形全等的定理： 兩角分別相等且其中一組等角的對邊兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等相等的兩個三角形全等. .通?？珊唽懗赏ǔ？珊唽懗伞敖墙沁吇蚪墙沁吇颉癆AS“AAS. .;例例5 知：如圖，知：如圖，B=D，1=2， 求證：求證：ABC ADC.證明證明 1 =2 1 =2，ACB=ACDACB=ACD同角的補角相等同角的補角相等. .在在ABCABC和和ADCADC中，中， ABCABCADC ADC AASAAS. .B =DB =D，ACB =ACDACB =ACD，AC = ACAC = AC，

15、;例例6 知：如圖，點知：如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，在同一條直線上， ACFD，A=D，BF=EC. 求證：求證：ABC DEF.;證明證明 ACFD ACFD，ACB =DFE.ACB =DFE. BF= EC BF= EC， BF+FC=EC+FC BF+FC=EC+FC，即即 BC=EF . BC=EF .在在ABC ABC 和和DEFDEF中，中， ABCABCDEFDEFAASAAS. .A =DA =D，ACB =DFEACB =DFE，BC = EF，;練習(xí)練習(xí)1. 知：如圖，知：如圖，1=2，AD=AE. 求證：求證：ADC AEB. ADCADCAEBAEBAAS

16、AAS. .1 =21 =2，A = AA = A，AD = AE，證明證明 在在ADC ADC 和和AEBAEB中，中，;2. 知：在知：在ABC中，中，ABC =ACB， BDAC于點于點D，CEAB于點于點E. 求證：求證：BD=CE.證明證明 由題意可知由題意可知BECBEC和和BDCBDC均為直角三角形，均為直角三角形， 在在RtRtBECBEC和和RtRtCDBCDB中，中，ABC =ACB ABC =ACB ，BC = BC ， Rt RtBEC RtBEC RtCDBCDBAASAAS. .BEC =CDB=90BEC =CDB=90 ，;探求探求 如圖，在如圖，在ABC和和

17、中，假設(shè)中，假設(shè) ， ， ，那么，那么ABC與與 全等嗎？全等嗎？ A B C BC=BC AB=A B ABC 假設(shè)可以闡明假設(shè)可以闡明A=AA=A，那么就，那么就可以由可以由“邊角邊得邊角邊得出出ABCABCABC.ABC.CA=CA; 將將ABCABC作平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換，使作平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換，使BCBC的像的像 與與 重合，并使點重合，并使點A A的像的像 與點與點 在在 的兩旁，的兩旁，ABCABC在上述變換下的像為在上述變換下的像為 B C B CAA B C A B C .; 由上述變換性質(zhì)可知由上述變換性質(zhì)可知ABC ABC ， A B C那么那么 ， AB=A

18、B =A B AC=A C =A C .銜接銜接 A A .; 1=2 1=2，3=4.3=4.從而從而1+3=2+41+3=2+4， ， ， A B =A B A C =A C即即 B A C =B A C .在在 和和 中，中， A B C A B C SAS. A B C A B C ABC ABC . A B C ， A B =A B B A C =B A C， A C =A C，;結(jié)論結(jié)論由此可以得到斷定兩個三角形全等的根身手實：由此可以得到斷定兩個三角形全等的根身手實：三邊分別相等的兩個三角形全等三邊分別相等的兩個三角形全等. .通常可簡寫成通?？珊唽懗伞斑呥呥吇蜻呥呥吇颉癝SS“

19、SSS. .;例例7 知：如圖，知：如圖，AB=CD ，BC=DA. 求證：求證： B=D.證明：證明：在在ABC和和CDA中，中， ABC CDA. (SSS)AB=CD，BC=DA，AC=CA，(公共邊公共邊) B =D.;例例8 知：如圖，在知：如圖，在ABC中，中，AB=AC，點，點D，E 在在BC上，且上，且AD=AE，BE=CD. 求證：求證：ABD ACE.證明證明 BE = CD BE = CD， BE-DE = CD-DE. BE-DE = CD-DE.即即 BD = CE. BD = CE.在在ABDABD和和ACEACE中，中， ABDABDACE ACE SSSSSS.

20、 .AB = AC，BD = CE，AD = AE，;結(jié)論結(jié)論 由由“邊邊邊可知，只需三角形三邊的長度邊邊邊可知，只需三角形三邊的長度確定，那么這個三角形的外形和大小也就固定確定，那么這個三角形的外形和大小也就固定了，三角形的這個性質(zhì)叫作三角形的穩(wěn)定性了，三角形的這個性質(zhì)叫作三角形的穩(wěn)定性.; 三角形的穩(wěn)定性在消費和生活中有廣泛的運用三角形的穩(wěn)定性在消費和生活中有廣泛的運用. 如日常生活中的定位鎖、房屋的人字梁屋頂?shù)榷既缛粘Ｉ钪械亩ㄎ绘i、房屋的人字梁屋頂?shù)榷疾捎萌切螛?gòu)造，其道理就是運用三角形的穩(wěn)定性采用三角形構(gòu)造，其道理就是運用三角形的穩(wěn)定性. .;議一議議一議根據(jù)以下條件，分別畫根據(jù)以下

21、條件，分別畫ABCABC和和ABCABC1 ， ， B=B= 45； 3cmAB=A B = 2.5cmAC=A C =; 滿足上述條件畫出的滿足上述條件畫出的ABCABC和和ABC ABC 一定全等嗎？由此他能得出什么結(jié)論？一定全等嗎？由此他能得出什么結(jié)論？ 滿足條件的兩個三角形滿足條件的兩個三角形不一定全等，由此得出：兩不一定全等，由此得出：兩邊分別相等且其中一組等邊邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不的對角相等的兩個三角形不一定全等一定全等. .;2 A=A= 80，B=B= 30， C=C=70.; 滿足上述條件畫出的滿足上述條件畫出的ABCABC和和 一一定全等嗎？由此他

22、能得出什么結(jié)論？定全等嗎？由此他能得出什么結(jié)論？ A B C 滿足條件的兩滿足條件的兩個三角形不一定全個三角形不一定全等，由此得出：三等，由此得出：三角分別相等的兩個角分別相等的兩個三角形不一定全等三角形不一定全等. .;例例9 知：如圖，知：如圖，AC與與BD相交于點相交于點O， 且且AB= DC，AC = DB. 求證：求證：A =D.證明證明 銜接銜接BC.BC.在在ABCABC和和DCBDCB中，中， ABC DCB SSS. A =D.AB = DC，BC = CB 公共邊，公共邊，AC = DB ，;例例10 某地在山區(qū)建筑高速公路時需挖通一條隧道某地在山區(qū)建筑高速公路時需挖通一條隧道. 為估測這條隧道的長度如圖，需