圓錐曲線專題——定值問(wèn)題解析版

1、圓錐曲線中的定值問(wèn)題若點(diǎn)P的軌跡為曲線11.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x, y)與兩定點(diǎn)A(-2, 0), B(2,0)連線的斜率之積等于-,4E,過(guò)點(diǎn)Q( 6,0)直線l交曲線E于M, N兩點(diǎn). 5(I)求曲線E的方程，并證明：MAN是一定值；(I)若四邊形AMBN的面積為S,求S的最大值2【答案】(I) + y2 1(x2) ( I) 164試題解析：(I)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x 2時(shí)，由條件得：2W 化簡(jiǎn)得土+y2 1(x 2)x 2 x 2442曲線E的方程為，+y2 1(x2),4分4(說(shuō)明：不寫x 2的扣1分)由題可設(shè)直線 W 的方程為x =，聯(lián)立方程組可得二f 6 x = + F =

2、 0- -爭(zhēng)、=口得儲(chǔ)十月苒十尸二0的根為沖Xn ,所以口三制j又點(diǎn)C(0J)在上,所以1 +巨Q=O得以=1,所以= 故尸1寸尸一九所以心三-2所以在)串肚的長(zhǎng)為九是定值.3.已知橢圓C:/ 3 1 a b 0的離心率為1，以原點(diǎn)為圓心的詞 ClP,AQMR,NR的斜率分別為k/kk是？圓與直線T7x 75y 12 0相切.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)A 4,0 ,過(guò)點(diǎn)R 3,0作與x軸不重合的直線l交橢圓別交直線x16一于M , N兩點(diǎn)，若直線 3是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由c 1a 2【解析】(1)由題意得一2=,7 522a b42273,故橢圓c的方程為1622工1.12(2

3、)設(shè) P x1，y1 ,Q x2, y2 ,直線 PQ 的方程為 x my 3 ,22x y由 16 123m2 4 y2 18my 21 0x my 3yiy218m213mFy1y 2 3mr由A,P,M三點(diǎn)共線可知-yyM 4 X1 4 y328%3 x1 4同理可得yN28y23 x2 4,所以kik2yM巴3yN再39yM yN16y1y2x2 4Q X1 4X24 my1 7 my22m yiy27my y249k1k22m YiY216yy27 m y1 y2491274.已知橢圓C:22 yY 1過(guò)點(diǎn)Aa2b2(2,0), B (0,1)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程及離心率;(2

4、)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證：四邊形ABNM的面積為定值.2【解析】(1)由題意得，a 2, b 1.所以橢圓C的方程為上 y2 1.4又c Va2b2 M,所以離心率e .a 2設(shè)p(/Qb) (%co, 0),直線y=kx+ 2與E交于A, B兩點(diǎn)，且OAOB=2,其中O 為原點(diǎn).(1)求拋物線E的方程；(2)點(diǎn)C坐標(biāo)為(0, 2),記直線CA, CB的斜率分別為ki, k2,證明：k2+k22k2為定值.【解析】(1)將尸十2代入町=就內(nèi)彳導(dǎo)一如Qr4a=0,其中=/ +1 泣00.設(shè)虱夏一,夙必，,貝U品+ k尸如心拓玨二一4

5、 口f f_ 雙 支_ ._OA 迎=K、式工+雙6=尤乃+ ,= 5 + 4=2+2_p豳T所以拋物線的方程為二產(chǎn)(2)證明：由(1)知，xi + x2=k, xiX2 = 2.yi + 2 x2+2 x2-xix2- mki = -x=-x- = -x -=xi x2,同理 k2 = x2 xi,所以 k2+ k2 2k2 = 2(xi x2)2 2(xi + x2)2= - 8xix2= i6.uuu uur7 .已知拋物線E:y2 2px(p 0),直線x my 3與E交于A, B兩點(diǎn)，且OAgOB 6,其中O 為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求拋物線E的方程；(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0),記

6、直線CA、CB的斜率分別為ki, k2,證明：12 3 2m2k12 k22為定值.【解析】 設(shè)推出m3班演,麻立方程綱y x ) 消元得 y2 .、一12m2為定值.- 2 p啊-6p = 0 , 父=吧+3所以加4% =2P明，y1y = -6/j.又再均+乃刈二 所以.p f從而y =其，(2)因?yàn)閗1y1 my1y2x2 3y2my2 6所以1 k1k26_y21因此2 k122m2(m(m2m22m2112m(一 yi1) y2136( y1/)2 m22m212m丫佻2y2) 2y1y236g22yi V22m2又 y1y22 Pm myiy26P3,-1所以-12k；2m212m

7、36m26 c 22m 24.91即4k128.如圖,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為73,0 , 73,0 ,直線ap,bp相交于點(diǎn)p,且它們的斜率之積3(D求點(diǎn)p的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,點(diǎn)M、N是軌跡為C上不同于AB的兩點(diǎn)，且滿足AP/OM,BP/ON ,求證：MON的面積為定值.【解析】(1)由已知設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y ,由題意知 kAPgkBP33 gy3- xJ3 ,2 2化簡(jiǎn)得P的軌跡方程為1 x 芯.3 2AP/OM ,BP/ON ,(2)證明：由題意M、N是橢圓C上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且則直線AP,BP斜率必存在且不為0,又由已知kAPgkBP2因?yàn)?AP/OM,BP/ON ,所以

8、 kOM gkON-.3設(shè)直線MN的方程為x my t ,代入橢圓方程22得 3 2m y 4mty2t2 6 0 . . . . I設(shè)M , N的坐標(biāo)分別為為，必，x2,y2 ,則 yiy24mt,y1y22t2 63 2m2 又 kOM gkON*2xx2y*2t2所以2t263t26 m22,2m yy2 mt y1 y2t得 2t2 2m2 3,3t2 6m2又GS MON2t y1y21 卜 242 48m223 2 m272所以S MON4t2的面積為定值9.橢圓C:x2 y202+1(ab0)的離心率 e=3彳，a+ b= 3.求橢圓C的方程;(2)如圖所示，A, B, D是橢圓

9、C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k, MN的斜率為m.證明：2mk為定自主解答(1)因?yàn)閑= 乎=。，所以a= 余C b = 3c.x2c代入a+b=3,得c=小,a = 2, b= 1.故橢圓C的萬(wàn)程為 + y2= 1.(2)證明：法一 、x2 把代入4+y:因?yàn)锽(2,0),P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為y= k(x- 2) kw, kw g ,2=1,8k22斛行 P4k2+1，4k 4k2+ 1 .直線AD的萬(wàn)程為:與聯(lián)立解得4k2k% .由 D(0,1),1y= 2x+ 1.8k22P4k2+1，一4k源彳，N(

10、x,0)三點(diǎn)共線知4k d4 k2 + 18k224k2 + 00-1:x解得4k2N 2k+1，0 .所以MN的斜率為4k 八2k4k 2k+ 1貝U 2mk= 2k2t1m=4k+ 2 4k2 = 2 2k+ 1 2-2 2k-1 2k- 1 2k+ 1.1k=2(止值).2k+ 12= 4 ，y法一：設(shè) P(x, y)(x0w, xw2)則卜=網(wǎng)_2,直線AD的方程為：v= 2(x+ 2),直線BP的方程為：y=X；y02(x-2),直線 DP 的方程為：y 1=*乂，令 y=0, *Ty-1, #Ny；07, 01y= 2 X+ 2 , 聯(lián)乂ycy=口2 ,因止匕MN的斜率為4y02y0 x0 + 2解得M4y0+2x0 44y02y0-X0 + 2 2y0-X0+2 4yo yo- 1m 4y0 + 2x0 4X04y08y0+4X0y0x0+42y0 X0 + 2 + y。_ 1yo 一 14y0 y0 14y0 8y0 + 4x0y0 4 4y0 +4 2yo + x02所以