高三數(shù)學(xué)立體幾何-打印稿Word版

1、立體幾何1三個(gè)公理和三條推論：（1）公理1：一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。（2）公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論1：經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。公理2和三個(gè)推論是確定平面的依據(jù)。（3）公理3、如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)都在同一條直線上。這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。2直觀圖與三視圖（1）直觀圖的

2、畫法（斜二側(cè)畫法規(guī)則）：（2）三視圖3空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。（2）平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（3）異面直線不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)。4判定線線平行的方法：（1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（找一線和這兩線都平行）（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行；（想到直線和平面的判定定理）（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。（5）利用中位線的性質(zhì)；5兩直線垂直的判定

3、：轉(zhuǎn)化為證線面垂直；相交垂直可以考慮勾股定理. 6直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。注意：任一條直線并不等同于無(wú)數(shù)條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。7直線與平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；（見例題1（1）（在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行：找一平面過已知直線與已知平面相交，則交線就是）面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行。（見例題3

4、（1）（找一平面過已知直線與已知平面平行）另外，如下方法有時(shí)也用：、表示平面，a、b表示直線 （定義法）：通常反證.（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時(shí)，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì)。如（1）、表示平面，a、b表示直線，則a的一個(gè)充分不必要條件是A、，aB、b，且abC、ab且b D、且a（答：D）；（2）正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=DN，求證：MN面AA1B1B。8直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：（見例題1（2）（1）判定：判定定理：如果一條

5、直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直。一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。9平面與平面的位置關(guān)系：（1）平行沒有公共點(diǎn)；（2）相交有一條公共直線。10兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定： 判定定理：一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。（見例題3（1）一面內(nèi)找兩相交直線與另一平面平行（線面面面）.依據(jù)垂直于同一直線的

6、兩平面平行來判定 .利用面面平行傳遞性依定義采用反證法證明兩平面沒有公共點(diǎn).（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。11兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。（在一個(gè)面中找另一個(gè)面的一條垂線：在一面內(nèi)作兩面交線的垂線，即為所求）；（見例題3（2）定義法：找一個(gè)平面與這兩個(gè)平面都垂直相交，證明兩交線交角為直角；（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。特別指出：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即： 如（1）已知直線平面，直線

7、平面，給出下列四個(gè)命題：；。其中正確的命題是_（答：）；（2）設(shè)是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題：若則；若，則；若，則或；若則。其中正確的命題是_（答：）12棱柱：（1）棱柱的分類：按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）和直棱柱（側(cè)棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱。按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，；（2）棱柱的性質(zhì)：棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。與底面平行的截面是與底面對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。過棱柱不相鄰的兩

8、條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。13平行六面體：（1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；（2）幾類特殊的平行六面體：平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正四棱柱正方體；14棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比。如若一個(gè)錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個(gè)小棱錐與原棱錐體積之比為_（答：18）15正棱錐：（1）定義：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。特別地

9、，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體。（2）性質(zhì)：正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等。16棱臺(tái)：一個(gè)棱錐被平行于底面的平面截去小錐以后所剩留部分的幾何體，叫做棱臺(tái)正棱臺(tái)： 由正棱錐截得的棱臺(tái)叫正棱臺(tái)17、直棱柱、正棱錐與正棱臺(tái)的側(cè)面積（各個(gè)側(cè)面面積之和）：（1）直棱柱：直棱柱的側(cè)面積底面周長(zhǎng)×側(cè)棱長(zhǎng).（2）正棱錐：正棱錐的側(cè)面積×底面周長(zhǎng)×斜高。（3）正棱臺(tái)：正棱臺(tái)的側(cè)面積×（上底面周長(zhǎng)+下底面周長(zhǎng)）×斜高.18、柱、錐、臺(tái)、球的體積：（1）柱體：體積底面積×高，特別地，直棱柱

10、的體積底面積×側(cè)棱長(zhǎng)。（2）錐體：體積×底面積×高。（見例題1（2）和小題3）20、球的體積和表面積公式：V。三條側(cè)棱兩兩垂直且長(zhǎng)都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積。（答：表面積，體積）；（3）點(diǎn)到平面的距離：垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；（找一面過該點(diǎn)且與已知平面垂直，在所找到的面內(nèi)過該點(diǎn)作兩面交線的垂線，垂線段的長(zhǎng)即為所求）；體積法：不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解（注意找三棱錐、換底）等價(jià)轉(zhuǎn)移法。必要時(shí)可通過平行線（面）轉(zhuǎn)化為另外一點(diǎn)與面的距離例題分析： 1 如圖,在四

11、棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB交PB于點(diǎn)F. （1）證明PA/平面EDB；（2）證明PB平面EFD；2.(2010安徽高考19題)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90°，BF=FC,H為BC的中點(diǎn)，()求證：FH平面EDB;（）求證：AC平面EDB; （）求四面體BDEF的體積；3 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn). w.w.w.k.s

12、.5.u.c.o.m E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （1） 設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明：直線EE/平面FCC；（2） 證明:平面D1AC平面BB1C1C.4. (2010新課標(biāo)18題)如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，,垂足為，是四棱錐的高。（）證明：平面 平面;（）若,60°,求四棱錐的體積。 5（2011韶關(guān)模擬18題）A1B1C1D1ABCDE如圖,長(zhǎng)方體中，,是的中點(diǎn).(1)求證：直線平面；(2)求證：平面平面；(3)求三棱錐的體積.6.(2011佛山模擬19題)如圖，已知直四棱柱的底面是直角梯形，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且，.圖（）證明：無(wú)論點(diǎn)怎樣運(yùn)動(dòng)，四

13、邊形都為矩形；（）當(dāng)時(shí)，求幾何體的體積 7在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，、分別為、的中點(diǎn)，且.（I）求證：平面平面；（II）求三棱錐與四棱錐的體積之比.8. 如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面是平行四邊形，60（）證明：；（）證明：.9（2011年高考福建卷文科20)（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點(diǎn)E在線段AD上，且CEAB。（1） 求證：CE平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積小題：1、（2008學(xué)年度第一學(xué)期上海市普陀區(qū)高三年級(jí)質(zhì)量調(diào)研第14題） 設(shè)、為兩條直線，、

14、為兩個(gè)平面. 下列四個(gè)命題中，正確的命題是 （）A. 若、與所成的角相等，則； B. 若；C. 若，則； D. 若，則.答案：B2、（上海市2009屆高三年級(jí)十四校聯(lián)考數(shù)學(xué)理科卷14）已知m、n為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中，正確的是（ ）A若B若C若D若答案：D 3、已知，則在內(nèi)過點(diǎn)的所有直線中 （ ）A不一定存在與平行的直線 B只有兩條與平行的直線C存在無(wú)數(shù)條與平行的直線 D存在唯一一條與平行的直線4、（2007陜西理6）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 答案C5、（廣東省江門市

15、2010屆高三數(shù)學(xué)理科3月質(zhì)量檢測(cè)試題）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，沿將折起，使二面角為，則四棱錐的體積是（ ）A、 B、 C、 D、答案 A6、（2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C【答案】1、(2)PBEF、PBED作輔助線BC中點(diǎn)G，連接EG,勾股定理2、3、（1）作A1B1的中點(diǎn)F1，成四邊形CC1F1F與AA1D1D平行4、(1)因?yàn)镻H是四棱錐P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD內(nèi),且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. .6分 (2)因?yàn)锳BCD為等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因?yàn)锳PB=ADB=600 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面積為S=AC x BD = 2+. .9分 所以四棱錐的體積為V=x（2+）x= .12分5、【答案】()證明：在長(zhǎng)方體中, ，又 平面，平面 直線平面 4分()證明：在長(zhǎng)方形中,故, 6分在長(zhǎng)方形中有平面,平面, , 7分又,直線