高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)數(shù)列概念Word版

1、09級(jí)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義數(shù)列概念知識(shí)清單1數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作；數(shù)列的一般形式：，簡(jiǎn)記作 。（2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （7，），數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （）。說(shuō)明：表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.4

2、1，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號(hào)：1 2 3 4 5 6項(xiàng) ：4 5 6 7 8 9上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開(kāi)始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來(lái)代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。（4）數(shù)列分類(lèi)：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。（5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做

3、這個(gè)數(shù)列的遞推公式。（6） 數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：課前預(yù)習(xí)1根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。2數(shù)列中，已知，（1）寫(xiě)出，； （2）是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？3如圖,一粒子在區(qū)域上運(yùn)動(dòng),在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度。（1）設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為，試寫(xiě)出的通相公式；（2）求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間；（3）粒子從原點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)2004秒后，它所處的坐標(biāo)。4（1）已知數(shù)列適合：，寫(xiě)出前五項(xiàng)并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；（2）用上面的數(shù)列，通過(guò)等式構(gòu)造新數(shù)

4、列，寫(xiě)出，并寫(xiě)出的前5項(xiàng)。5（05廣東，14）設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則=_；當(dāng)時(shí)， （用表示）。6（2003京春理14，文15）在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_）內(nèi)。09級(jí)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義等差數(shù)列知識(shí)清單1、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說(shuō)明：等差數(shù)列（通?？煞Q(chēng)為數(shù)列

5、）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。3、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中 ，成等差數(shù)列。4、等差數(shù)列的前和的求和公式：。5、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是， 如：，；，；（3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；說(shuō)明：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則奇偶； ；（）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則偶奇；。6、數(shù)列最值（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；若已知，則最

6、值時(shí)的值（）可如下確定或。課前預(yù)習(xí)1（01天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列2（06全國(guó)I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則（ ）A B C D3（02京）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（ ）A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)4（01全國(guó)理）設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（ ）A.1 B.2 C.4 D.65（06全國(guó)II）設(shè)Sn是等差數(shù)列a

7、n的前n項(xiàng)和，若，則A B C D6（00全國(guó)）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn。7（98全國(guó)）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求數(shù)列bn的通項(xiàng)bn；（）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=lg（1+），記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論。8（02上海）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值9（94全國(guó)）等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，

8、則它的前3m項(xiàng)和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.26009級(jí)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義等比數(shù)列知識(shí)清單1等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：數(shù)列對(duì)于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零）2等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。說(shuō)明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。3等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)

9、列，那么叫做的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， 或；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。說(shuō)明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。5等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有；對(duì)于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：課前預(yù)習(xí)1在等比數(shù)列中,則 2和的等比中項(xiàng)為( ) . 3 在等比數(shù)列中，求，4在等比數(shù)列中,和是方程的兩

10、個(gè)根,則( ) 5. 在等比數(shù)列，已知，求.6（2006年遼寧卷）在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）A B C D7（2006年北京卷）設(shè)，則等于（ ）AB C D8（1996全國(guó)文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q；9（2005江蘇3）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前三項(xiàng)和為21，則a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）18910（2000上海，12）在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b91，則

11、有等式 成立。09級(jí)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義數(shù)列通項(xiàng)與求和知識(shí)清單1數(shù)列求通項(xiàng)與和（1）數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an= 。（2）求通項(xiàng)常用方法作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；累差疊加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項(xiàng)和重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂項(xiàng)求和將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)f(

12、n)，然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)，如：、=、nn！=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、=等。錯(cuò)項(xiàng)相消法對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)項(xiàng)相消法。, 其中是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，記，則，并項(xiàng)求和把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn。數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。通項(xiàng)分解法：2遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k1,an+k2,an)稱(chēng)為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an

13、+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說(shuō)來(lái)有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）迭代法。（3）代換法。包括代數(shù)代換，對(duì)數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。（4）作新數(shù)列法。最常見(jiàn)的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)解決問(wèn)題。課前預(yù)習(xí)1已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，求和：。2求。3設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，nan，的前n項(xiàng)和。4已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。5求。6設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求和：7求數(shù)列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，前n項(xiàng)和。 典型例題一、有關(guān)通項(xiàng)問(wèn)題1、利用求通項(xiàng)EG

14、：數(shù)列的前項(xiàng)和（1）試寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？變式題1、（2005湖北卷）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；變式題2、（2005北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式 變式題3、（2005山東卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列2、解方程求通項(xiàng)：EG：在等差數(shù)列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知.變式題1、是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，如果，則序號(hào)等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）6703、待定系數(shù)求通項(xiàng)：EG：寫(xiě)出下列數(shù)列的前5項(xiàng)：

15、（1）變式題1、（2006年福建卷）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4、由前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng)：EG：根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格及括號(hào)中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式.（1）（4）（7）（ ）（ ）變式題1、（2007年深圳理科一模）如下圖，第（1）個(gè)多邊形是由正三角形“擴(kuò)展“而來(lái)，第（2）個(gè)多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來(lái)，如此類(lèi)推.設(shè)由正邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為，則 ； . 變式題2、觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是（ ），其通項(xiàng)公式為 .2條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)A40個(gè) B

16、45個(gè) C50個(gè) D55個(gè)二、有關(guān)等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題EG：一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為（ ）A83 B108 C75 D63變式1、一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為 。變式2、（江蘇版第76頁(yè)習(xí)題1）等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，且（ ） A12 B10 C8 D2+EG：設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（ ）A1 B.2 C.4 D.8變式題1、在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則A 33 B 72 C 84 D 189三、數(shù)列求和問(wèn)題EG：已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）求

17、數(shù)列的通項(xiàng)公式，并作出它的圖像；（2）數(shù)列從哪一項(xiàng)開(kāi)始小于0？（3）求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的值變式題1、已知是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中，公差，若,求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值變式題2、在等差數(shù)列中，求的最大值EG：求和：變式題1、已知數(shù)列和，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和變式題2、（2007全國(guó)1文21）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和變式題2設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .3、利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式證明EG：變式題、（05天津）已知.當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和EG：（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

18、求前項(xiàng)的和；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求前項(xiàng)的和變式題1、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，求變式題2、數(shù)列an中，a18，a42，且滿足：an+22an+1an0（nN*），（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，是否存在最大的整數(shù)m，使得任意的n均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練A1（07重慶文）在等比數(shù)列an中，a28，a164，則公比q為（A）2（B）3（C）4（D）82（07重慶理）若等差數(shù)列的前三項(xiàng)和且，則等于（ ）A3 B.4 C. 5 D. 63設(shè)為公比q1的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則_.4（07天津理）設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，若是與的等比中項(xiàng)，則（）24685設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項(xiàng)的和為，則6等差數(shù)列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100,則n=(A)9(B)10(C)11(D)125.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若（A）12（B）18（C）24（D）426（全國(guó)2文）已知數(shù)列的通項(xiàng)，則其前項(xiàng)和 7（07全國(guó)1理）等比