第5章遠(yuǎn)期、期貨和互換定價(jià)

1、第第5章章 遠(yuǎn)期、期貨和互換定價(jià)遠(yuǎn)期、期貨和互換定價(jià)n5.1 遠(yuǎn)期和期貨合約定價(jià)遠(yuǎn)期和期貨合約定價(jià)n5.2 期貨的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)期貨的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)n5.3 商品資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)套期保值商品資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)套期保值n5.4 金融資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)套期保值金融資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)套期保值n5.5 多元風(fēng)險(xiǎn)期貨對沖多元風(fēng)險(xiǎn)期貨對沖n5.6 互換合約定價(jià)互換合約定價(jià)n在金融衍生工具市場，交易量最大的是利率遠(yuǎn)在金融衍生工具市場，交易量最大的是利率遠(yuǎn)期、期貨和互換。本章將推導(dǎo)遠(yuǎn)期和期貨合約期、期貨和互換。本章將推導(dǎo)遠(yuǎn)期和期貨合約無套利定價(jià)關(guān)系。利用期貨合約為商品資產(chǎn)和無套利定價(jià)關(guān)系。利用期貨合約為商品資產(chǎn)和金融資產(chǎn)套期保值。

2、互換合約是多個(gè)遠(yuǎn)期合約金融資產(chǎn)套期保值?；Q合約是多個(gè)遠(yuǎn)期合約的組合。的組合。n可以證明，當(dāng)遠(yuǎn)期合約和期貨合約的無風(fēng)險(xiǎn)利可以證明，當(dāng)遠(yuǎn)期合約和期貨合約的無風(fēng)險(xiǎn)利率相同率相同(而且為常數(shù)時(shí)而且為常數(shù)時(shí))、標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格、標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格相同、簽約日和到期日相同時(shí)，遠(yuǎn)期合約的價(jià)相同、簽約日和到期日相同時(shí)，遠(yuǎn)期合約的價(jià)格等于期貨合約的價(jià)格。格等于期貨合約的價(jià)格。5.1 遠(yuǎn)期和期貨合約定價(jià)遠(yuǎn)期和期貨合約定價(jià)n假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格為假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格為S S元，遠(yuǎn)期價(jià)格為元，遠(yuǎn)期價(jià)格為f f，期貨價(jià)，期貨價(jià)格為格為F F元，遠(yuǎn)期和期貨的期限均為元，遠(yuǎn)期和期貨的期限均為T T年，期限為年，期限

3、為T T年的無年的無風(fēng)險(xiǎn)利率為風(fēng)險(xiǎn)利率為r r。如果標(biāo)的資產(chǎn)為持有人支付連續(xù)復(fù)利。如果標(biāo)的資產(chǎn)為持有人支付連續(xù)復(fù)利（或成本）（或成本）q q，期貨合約（或遠(yuǎn)期合約）的持有成本，期貨合約（或遠(yuǎn)期合約）的持有成本( (或或價(jià)格價(jià)格) )為：為：n在遠(yuǎn)期或期貨有效期內(nèi)，如果標(biāo)的資產(chǎn)為持有人支付離在遠(yuǎn)期或期貨有效期內(nèi)，如果標(biāo)的資產(chǎn)為持有人支付離散現(xiàn)金流，則遠(yuǎn)期或期貨的持有成本為散現(xiàn)金流，則遠(yuǎn)期或期貨的持有成本為: :n其中：其中：nn n為期貨合約有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金流的次數(shù)；第為期貨合約有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金流的次數(shù)；第i i次支付的現(xiàn)金流為次支付的現(xiàn)金流為D Di i。TqrSeFf)( F

4、VDSeFfrTnitTriieDFVD1)(n如果遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格等于持有成本沒有如果遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格等于持有成本沒有套利機(jī)會，原因是投資者以利率套利機(jī)會，原因是投資者以利率r從銀行從銀行借錢，買入借錢，買入S元的標(biāo)的資產(chǎn)，元的標(biāo)的資產(chǎn)，T年后必須年后必須償還銀行償還銀行SerT元，再減去標(biāo)的資產(chǎn)支付元，再減去標(biāo)的資產(chǎn)支付的現(xiàn)金流終值的現(xiàn)金流終值FVD。5.2 期貨的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)期貨的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)n與其他風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)一樣，期貨價(jià)格也有預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)。與其他風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)一樣，期貨價(jià)格也有預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)。n（1）期貨的預(yù)期收益）期貨的預(yù)期收益n為了建立期貨收益率和標(biāo)的資產(chǎn)收益率之間的變化關(guān)系，為了建立期

5、貨收益率和標(biāo)的資產(chǎn)收益率之間的變化關(guān)系，我們重新考察期貨合約的定價(jià)關(guān)系。我們重新考察期貨合約的定價(jià)關(guān)系。n這里我們在期貨價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上加上時(shí)間下標(biāo)這里我們在期貨價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上加上時(shí)間下標(biāo)t，用于表示期貨到期前的任某一時(shí)刻。兩邊取對數(shù)得到：用于表示期貨到期前的任某一時(shí)刻。兩邊取對數(shù)得到：n在在t-1時(shí)刻的對數(shù)關(guān)系為時(shí)刻的對數(shù)關(guān)系為:)(tTqrtteSFttStTqrFln)(ln11ln) 1)(lnttStTqrFn兩式相減，可以得到期貨價(jià)格變動對數(shù)收益率。兩式相減，可以得到期貨價(jià)格變動對數(shù)收益率。n其中其中 為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格對數(shù)收益率。為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格對數(shù)收益率。n期貨價(jià)格收益率小

6、于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率，差額為期貨價(jià)格收益率小于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率，差額為r-q。 )/ln()()/ln(11ttttFSSqrFFr)(qrrrSF)/ln(1ttSSSrn（2）期貨的收益和風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系）期貨的收益和風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系n期貨價(jià)格收益率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率均為隨機(jī)變量，期貨價(jià)格收益率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率均為隨機(jī)變量，他們的方差關(guān)系為：他們的方差關(guān)系為：nr-q因?yàn)闉槌?shù)，因此因?yàn)闉槌?shù)，因此n也就是說，期貨合約的貝塔系數(shù)等于標(biāo)的資產(chǎn)的貝塔也就是說，期貨合約的貝塔系數(shù)等于標(biāo)的資產(chǎn)的貝塔系數(shù)。系數(shù)。)()(qrrVarrVarSF)()(SFrVarrVarSMMSMMSMMFFrVarrrC

7、ovrVarrqrrCovrVarrrCov)(),()(),()(),(n根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型，標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益為：根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型，標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益為：n因?yàn)橐驗(yàn)?而期貨合約的預(yù)期收益為：而期貨合約的預(yù)期收益為：n投資者買入標(biāo)的資產(chǎn)時(shí)，相當(dāng)于買入兩種資產(chǎn)，無風(fēng)投資者買入標(biāo)的資產(chǎn)時(shí)，相當(dāng)于買入兩種資產(chǎn)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。買入期貨時(shí)，投資者只承擔(dān)了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。買入期貨時(shí)，投資者只承擔(dān)了風(fēng)險(xiǎn)，而沒有獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。險(xiǎn)，而沒有獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。n（3 3）利用期貨對收益率套期保值）利用期貨對收益率套期保值n利用期貨合約可以對標(biāo)的資產(chǎn)的收益率進(jìn)行套期保值。利用期貨合約可以對標(biāo)的資產(chǎn)

8、的收益率進(jìn)行套期保值。為了說明問題，我們假設(shè)持有一單位標(biāo)的資產(chǎn)和為了說明問題，我們假設(shè)持有一單位標(biāo)的資產(chǎn)和 單位期貨合約，投資組合的預(yù)期收益率為：單位期貨合約，投資組合的預(yù)期收益率為：SMSqrrqrr)(SMFqrrr)()(qrrrFSFnn n因?yàn)橐驗(yàn)?為常數(shù)項(xiàng)，因此組合標(biāo)準(zhǔn)差為：為常數(shù)項(xiàng)，因此組合標(biāo)準(zhǔn)差為：n如果如果 時(shí)，投資組合中只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)沒有期貨，風(fēng)時(shí)，投資組合中只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)沒有期貨，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)沒有被保值。險(xiǎn)資產(chǎn)沒有被保值。n如果如果 時(shí)，投資組合中包括時(shí)，投資組合中包括1單位風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，賣出單位風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，賣出1單位期貨合約，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)完全被保值，投資組合的風(fēng)單位期貨合約，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)完全

9、被保值，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)等于零。險(xiǎn)等于零。n如果如果 ，都會降低投資組合風(fēng)險(xiǎn)。，都會降低投資組合風(fēng)險(xiǎn)。n如果如果 ，或者，或者 ，都會增加投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。，都會增加投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。)()1 ()(qrnrnqrrnrrnrrFSFSFSFFSPSFPn)1 ( )(qrnF0Fn1Fn02FnFn20Fn5.3 商品資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)套期保值商品資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)套期保值n利用期貨合約套期保值的目的是讓投資組合的市場價(jià)利用期貨合約套期保值的目的是讓投資組合的市場價(jià)格變化最小。因此，投資組合的目標(biāo)函數(shù)是投資組合格變化最小。因此，投資組合的目標(biāo)函數(shù)是投資組合的市場價(jià)格方差最小。的市場價(jià)格方差最小。n5.3.1

10、價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化n為了推導(dǎo)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化套期保值策略，假為了推導(dǎo)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化套期保值策略，假設(shè)我在設(shè)我在t時(shí)刻買入某種商品，時(shí)刻買入某種商品，t時(shí)刻的現(xiàn)貨價(jià)格為時(shí)刻的現(xiàn)貨價(jià)格為St 。假設(shè)假設(shè)t時(shí)刻的期貨價(jià)格為時(shí)刻的期貨價(jià)格為Ft ，執(zhí)行價(jià)格為，執(zhí)行價(jià)格為F。假設(shè)買入。假設(shè)買入N份期貨合約，在份期貨合約，在t時(shí)刻投資組合的凈成本為：時(shí)刻投資組合的凈成本為：n當(dāng)當(dāng)N=0時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)沒有套期保值，時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)沒有套期保值，t時(shí)刻按現(xiàn)貨市場時(shí)刻按現(xiàn)貨市場價(jià)格買入標(biāo)的資產(chǎn)。價(jià)格買入標(biāo)的資產(chǎn)。)(FFNSVtttn為了求出買入（或賣出）期貨數(shù)量，計(jì)算凈持為了求出買入（或賣出

11、）期貨數(shù)量，計(jì)算凈持有成本的方差。因?yàn)橛谐杀镜姆讲睢Ｒ驗(yàn)镹 N和和F F為常數(shù)，因此投資組為常數(shù)，因此投資組合的凈持有成本的方差為：合的凈持有成本的方差為：n其中：其中： 為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的方差；為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的方差； 為期貨價(jià)格的方差；為期貨價(jià)格的方差； 為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格之間的協(xié)方差。價(jià)格與期貨價(jià)格之間的協(xié)方差。)()()(tttttNFSVarFFNSVarVVar),(2)()(2ttttFSNCovFVarNSVar)(tSVar)(tFVar),(ttFSCovn為了求出為了求出 最小化的期貨合約數(shù)量，求期貨合約最小化的期貨合約數(shù)量，求期貨合約數(shù)量的偏

12、導(dǎo)數(shù)，并令其等于零。數(shù)量的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零。n組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化的期貨合約數(shù)量為：組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化的期貨合約數(shù)量為：n其中：其中： 為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格之間的相關(guān)為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格之間的相關(guān)系數(shù)；系數(shù)； 為現(xiàn)貨價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差；為現(xiàn)貨價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差； 為期貨價(jià)格的標(biāo)為期貨價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差。準(zhǔn)差。n因?yàn)闃?biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)差和期貨價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)差均因?yàn)闃?biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)差和期貨價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)差均為正數(shù)，而且兩者的相關(guān)系數(shù)也為正數(shù)。為正數(shù)，而且兩者的相關(guān)系數(shù)也為正數(shù)。 為負(fù)數(shù)，為負(fù)數(shù)，表示如果投資者持有標(biāo)的資產(chǎn)多頭，就必須持有期貨表示如果投資者持有標(biāo)的資產(chǎn)多頭，就必須持有期貨空頭。空頭。)

13、(tVVar0),(2)(2)(ttttFSCovFNVardNVdVarFSSFtttFVarFSCovN)(),(*SFSF*Nn因?yàn)闃?biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格到期時(shí)相因?yàn)闃?biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格到期時(shí)相等，等， ，因此，因此 ， 。也就是說，套。也就是說，套期保值的有效性取決于標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格的期保值的有效性取決于標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格的相關(guān)性。相關(guān)性。n如果標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格完全正如果標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格完全正相，相， ， ，賣出一份期貨合約，套期保值是完，賣出一份期貨合約，套期保值是完全的。全的。n如果標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格完全負(fù)相如果

14、標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格完全負(fù)相關(guān)，關(guān)， ， ，買入一份期貨合約，套期保值也，買入一份期貨合約，套期保值也是完全的。是完全的。n如果如果 ，套期保值不完全有效，相關(guān)系數(shù)越接近于，套期保值不完全有效，相關(guān)系數(shù)越接近于零，套期保值的效果越差。零，套期保值的效果越差。n如果如果 ，標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格相互獨(dú)，標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格相互獨(dú)立，套期保值沒有意義。立，套期保值沒有意義。TTSF SFSFN*1SF1*N1SF1*N11SF0SFn5.3.2 5.3.2 方差和協(xié)方差的估計(jì)方差和協(xié)方差的估計(jì)n為了求出組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化的期貨合約數(shù)量，我們?yōu)榱饲蟪鼋M合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化的期貨合約

15、數(shù)量，我們必須求出標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格方差必須求出標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格方差 和期貨價(jià)格方和期貨價(jià)格方差差 。為了方便起見，我們假設(shè)期貨合約的期。為了方便起見，我們假設(shè)期貨合約的期限為天，保值期間標(biāo)的資產(chǎn)的收盤價(jià)格限為天，保值期間標(biāo)的資產(chǎn)的收盤價(jià)格為為 , , ,時(shí)間序列的方差為：時(shí)間序列的方差為：n其中：其中： ，滿足獨(dú)立同分布。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，滿足獨(dú)立同分布。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的方差為：的方差為：)(tSVar)(tFVarTSSSS,210Tt, 2 , 1TtttTttSSVarSSVar1112)()()()(ttSTVarSVar1tttSSSn同理，期貨價(jià)格的方差為：同理，期貨價(jià)格的方差為：n標(biāo)的資產(chǎn)

16、價(jià)格與期貨價(jià)格之間的協(xié)方差為：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與期貨價(jià)格之間的協(xié)方差為：n組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化的期貨合約數(shù)量可以表示組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化的期貨合約數(shù)量可以表示為：為：)()(ttFTVarFVar),(),(ttttFSTCovFSCovFSFSttttttFTVarFSTCovFVarFSCovN,*)(),()(),(n其中：其中：n有了標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格和期貨合約的市場價(jià)格后，有了標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格和期貨合約的市場價(jià)格后，我們首先計(jì)算它們的價(jià)格增量，然后再計(jì)算價(jià)格增量我們首先計(jì)算它們的價(jià)格增量，然后再計(jì)算價(jià)格增量的平均值，然后計(jì)算它們的標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)。的平均值，然后計(jì)算它們的標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)。

17、TttSSST12)(11TttFFFT12)(11TttTttTtttFSFFSSFFSS12121,)()()(n5.3.3 用線性回歸求期貨合約數(shù)量用線性回歸求期貨合約數(shù)量n除了用現(xiàn)貨和期貨市場價(jià)格增量計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨除了用現(xiàn)貨和期貨市場價(jià)格增量計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨合約數(shù)量外，我們還可以用二者的線性回歸計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)合約數(shù)量外，我們還可以用二者的線性回歸計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨合約數(shù)量。只要價(jià)格增量時(shí)間序列數(shù)據(jù)足最小化期貨合約數(shù)量。只要價(jià)格增量時(shí)間序列數(shù)據(jù)足夠多，就可以回歸。夠多，就可以回歸。n回歸系數(shù)定義如下：回歸系數(shù)定義如下：n風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨合約數(shù)量為：風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨合約數(shù)量為：tttFS10)

18、(),(1tttFVarFSCov1*Nn線性回歸方法的保值效果用擬合優(yōu)度線性回歸方法的保值效果用擬合優(yōu)度 表示。表示。n其中：其中： 為未保值方差。如果為未保值方差。如果 ，表示，表示資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)得到完全保值；如果資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)得到完全保值；如果 ，表，表示資產(chǎn)價(jià)格無法得到保值。示資產(chǎn)價(jià)格無法得到保值。2R)()(1)()()()()(212tttttttSVarVarSVarVarSVarSVarFVarR)(tVar12R02R5.4 金融資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)套期保值金融資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)套期保值n基金經(jīng)理的主要任務(wù)就是最小化組合的風(fēng)險(xiǎn)，組合風(fēng)險(xiǎn)基金經(jīng)理的主要任務(wù)就是最小化組合的風(fēng)險(xiǎn)，組合風(fēng)險(xiǎn)用組合的方

19、差來衡量。用組合的方差來衡量。n其中：其中： 為組合的市場價(jià)格；為組合的市場價(jià)格； n 為金融資產(chǎn)組合的市場價(jià)格；為金融資產(chǎn)組合的市場價(jià)格； n 為金融期貨合約的市場價(jià)格；為金融期貨合約的市場價(jià)格；n 為期貨合約數(shù)量。為期貨合約數(shù)量。n金融資產(chǎn)與商品不同，金融資產(chǎn)的價(jià)格變化來源于兩個(gè)金融資產(chǎn)與商品不同，金融資產(chǎn)的價(jià)格變化來源于兩個(gè)因素，一是金融資產(chǎn)隨時(shí)間的價(jià)格變化，二是金融資產(chǎn)因素，一是金融資產(chǎn)隨時(shí)間的價(jià)格變化，二是金融資產(chǎn)派息。這里假設(shè)金融資產(chǎn)的派息都投資于該金融資產(chǎn)。派息。這里假設(shè)金融資產(chǎn)的派息都投資于該金融資產(chǎn)。因此在計(jì)算金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨合約數(shù)量時(shí)，使用因此在計(jì)算金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)最小化

20、期貨合約數(shù)量時(shí)，使用組合價(jià)格的自然對數(shù)，而不是組合價(jià)格本身。組合價(jià)格的自然對數(shù)，而不是組合價(jià)格本身。)()(tttNFSVarVVartVtStFNn假設(shè)期貨合約的期限為假設(shè)期貨合約的期限為T T天，每天的價(jià)格對數(shù)天，每天的價(jià)格對數(shù)為為 。組合收益率的方差為：。組合收益率的方差為：n其中：其中： 是組合連續(xù)復(fù)利收益率，并且是組合連續(xù)復(fù)利收益率，并且服從獨(dú)立同分布，組合對數(shù)方差等于收益率的方差服從獨(dú)立同分布，組合對數(shù)方差等于收益率的方差乘以乘以T T。n同理，期貨價(jià)格對數(shù)的方差為：同理，期貨價(jià)格對數(shù)的方差為：)()lnln(1,112TttSTtttrrVarSSVarSTSSSSln,ln,l

21、n,ln210)/ln(1,tttSSSr)()(ln,tStrTVarSVar)()(ln,tFtrTVarFVarn組合價(jià)格對數(shù)與期貨價(jià)格對數(shù)之間的協(xié)方差為：組合價(jià)格對數(shù)與期貨價(jià)格對數(shù)之間的協(xié)方差為：n從零時(shí)刻到從零時(shí)刻到T T時(shí)刻，組合風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨合約數(shù)量為：時(shí)刻，組合風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨合約數(shù)量為：n其中：其中： 為組合價(jià)格對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差；為組合價(jià)格對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差； n 為期貨價(jià)格對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差；為期貨價(jià)格對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差；n 組合收益率和期貨收益率之間的相關(guān)系數(shù)。組合收益率和期貨收益率之間的相關(guān)系數(shù)。),()ln,(ln,tFtSttrrTCovFSCovFSFSrrrrt

22、FtFtStttrTVarrrTCovFVarFSCovN,*)(),()(ln)ln,(lnSrFrFSrr ,n組合對數(shù)最小化賣出期貨合約的數(shù)量也可以用線性回組合對數(shù)最小化賣出期貨合約的數(shù)量也可以用線性回歸求出。組合價(jià)格的對數(shù)與期貨價(jià)格的對數(shù)存在下列歸求出。組合價(jià)格的對數(shù)與期貨價(jià)格的對數(shù)存在下列關(guān)系：關(guān)系：n其中斜率其中斜率 為價(jià)格彈性系數(shù)，表示期貨價(jià)格對數(shù)變?yōu)閮r(jià)格彈性系數(shù)，表示期貨價(jià)格對數(shù)變化百分之一，組合價(jià)格對數(shù)的變化百分比化百分之一，組合價(jià)格對數(shù)的變化百分比, ,即即 。n為了套期保值，我們需要知道單位期貨價(jià)格的變化，為了套期保值，我們需要知道單位期貨價(jià)格的變化，組合價(jià)格的變化數(shù)量組

23、合價(jià)格的變化數(shù)量 。我們知道組合價(jià)格的。我們知道組合價(jià)格的變化為零時(shí)風(fēng)險(xiǎn)最小。變化為零時(shí)風(fēng)險(xiǎn)最小。tttFSlnln1011ln/lnFdSddFdS/0)(tttttttdFdFdSdSNdFdSdVn其中期貨合約數(shù)量其中期貨合約數(shù)量 。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的乘。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的乘法規(guī)則，我們可以通過法規(guī)則，我們可以通過 , ,求求 。n也就是說，賣出期貨合約的數(shù)量也就是說，賣出期貨合約的數(shù)量為為 。dFdSN/1ln/lnFdSddFdS /)(1lnlnlnln11ttttttttttttFSFSdFFdFdSdSddSdFdS)/(1ttFSNn對公式對公式 求一級差分，得到求一級差分，得到組合價(jià)格對數(shù)

24、收益率和期貨價(jià)格對數(shù)收益率之組合價(jià)格對數(shù)收益率和期貨價(jià)格對數(shù)收益率之間的關(guān)系。間的關(guān)系。n其中：其中： ， ，并且，并且誤差項(xiàng)誤差項(xiàng) 服從獨(dú)立同分布。盡管服從獨(dú)立同分布。盡管 和和 ，但是斜率相同。，但是斜率相同。tttFSlnln10tttttFFSS)ln(lnlnln1101,10,ttFtSrr)/ln(1,tttSSSr)/ln(1,tttFFFr00ttt5.5 多元風(fēng)險(xiǎn)期貨對沖多元風(fēng)險(xiǎn)期貨對沖n用多元回歸計(jì)算價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨合約數(shù)量，不僅用多元回歸計(jì)算價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)最小化期貨合約數(shù)量，不僅形式簡單，而且可以規(guī)避多種風(fēng)險(xiǎn)來源組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)。形式簡單，而且可以規(guī)避多種風(fēng)險(xiǎn)來源組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)。

25、假設(shè)投資組合集中于石油股票，如果石油價(jià)格上漲，假設(shè)投資組合集中于石油股票，如果石油價(jià)格上漲，石油股票價(jià)格也上漲，但是其他股票會下跌，會引起石油股票價(jià)格也上漲，但是其他股票會下跌，會引起股票價(jià)格指數(shù)下跌。因此，為了規(guī)避組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)，股票價(jià)格指數(shù)下跌。因此，為了規(guī)避組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)，我們會選擇多種期貨對沖工具。對沖組合風(fēng)險(xiǎn)所需要我們會選擇多種期貨對沖工具。對沖組合風(fēng)險(xiǎn)所需要的期貨合約數(shù)量，可以用多元回歸系數(shù)來表示。的期貨合約數(shù)量，可以用多元回歸系數(shù)來表示。n其中：其中： 為第為第 種期貨價(jià)格對數(shù)收益率種期貨價(jià)格對數(shù)收益率 ； n 為第為第 種期貨合約數(shù)量種期貨合約數(shù)量 ；n如果如果 ，買入該期貨合約，

26、買入該期貨合約，n如果如果 ，賣出該期貨合約。，賣出該期貨合約。, 22, 110,ttnntttSrrrrtir,ni, 2 , 1i0i0iiin對于前面介紹的石油股票價(jià)格，與石油期貨價(jià)對于前面介紹的石油股票價(jià)格，與石油期貨價(jià)格成正比，與股票指數(shù)期貨價(jià)格成反比。為了格成正比，與股票指數(shù)期貨價(jià)格成反比。為了規(guī)避石油股票價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)，賣出石油期貨合約，規(guī)避石油股票價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)，賣出石油期貨合約，買入股票指數(shù)期貨合約。賣出（或買入）期貨買入股票指數(shù)期貨合約。賣出（或買入）期貨數(shù)量為：數(shù)量為：n因?yàn)榻M合價(jià)格與期貨價(jià)格每時(shí)每刻都在變化，因?yàn)榻M合價(jià)格與期貨價(jià)格每時(shí)每刻都在變化，因此，賣出（或買入）期貨數(shù)量也在

27、變化。因此，賣出（或買入）期貨數(shù)量也在變化。)(,*titiiFSN5.6 互換合約定價(jià)互換合約定價(jià)n互換合約就是交換未來的現(xiàn)金流。例如，利率互換就互換合約就是交換未來的現(xiàn)金流。例如，利率互換就是浮動利率交換固定利率，浮動利率一般參考銀行間是浮動利率交換固定利率，浮動利率一般參考銀行間拆借利率?；Q合約由多個(gè)遠(yuǎn)期合約組成，互換合約拆借利率?；Q合約由多個(gè)遠(yuǎn)期合約組成，互換合約的標(biāo)的資產(chǎn)可以是金融資產(chǎn)，例如股票、債券，也可的標(biāo)的資產(chǎn)可以是金融資產(chǎn)，例如股票、債券，也可以是實(shí)物資產(chǎn)，例如原油、黃金等。與期貨和遠(yuǎn)期一以是實(shí)物資產(chǎn)，例如原油、黃金等。與期貨和遠(yuǎn)期一樣，互換交易雙方必須履約，因此，不需要

28、交納費(fèi)用。樣，互換交易雙方必須履約，因此，不需要交納費(fèi)用。n如果到期期限越長，商品的遠(yuǎn)期價(jià)格越高，商品處于如果到期期限越長，商品的遠(yuǎn)期價(jià)格越高，商品處于順價(jià)狀態(tài)。如果期限越長，商品的遠(yuǎn)期價(jià)格越低，商順價(jià)狀態(tài)。如果期限越長，商品的遠(yuǎn)期價(jià)格越低，商品處于逆價(jià)狀態(tài)。一般情況下，商品都處于順價(jià)狀態(tài)。品處于逆價(jià)狀態(tài)。一般情況下，商品都處于順價(jià)狀態(tài)。n假設(shè)珠寶商每季度需要假設(shè)珠寶商每季度需要10公斤黃金，為了規(guī)避黃金價(jià)公斤黃金，為了規(guī)避黃金價(jià)格上漲帶來的風(fēng)險(xiǎn)，珠寶商買入黃金互換合約，把黃格上漲帶來的風(fēng)險(xiǎn)，珠寶商買入黃金互換合約，把黃金價(jià)格鎖定在固定價(jià)位。也就是說，珠寶商支付黃金金價(jià)格鎖定在固定價(jià)位。也就是

29、說，珠寶商支付黃金固定價(jià)格，收取黃金浮動價(jià)格。固定價(jià)格，收取黃金浮動價(jià)格。n假設(shè)在互換合約期限內(nèi)，珠寶商共購買假設(shè)在互換合約期限內(nèi)，珠寶商共購買n n次黃金；次黃金；n每次購買黃金的時(shí)間為每次購買黃金的時(shí)間為 年，年， ，n期限為期限為 年的無風(fēng)險(xiǎn)利率為年的無風(fēng)險(xiǎn)利率為 ，n期限為期限為 年的單位黃金的遠(yuǎn)期價(jià)格為年的單位黃金的遠(yuǎn)期價(jià)格為 ，n單位黃金互換合約價(jià)格為單位黃金互換合約價(jià)格為 。n單位黃金遠(yuǎn)期價(jià)格的現(xiàn)金流的現(xiàn)值應(yīng)該等于互換價(jià)單位黃金遠(yuǎn)期價(jià)格的現(xiàn)金流的現(xiàn)值應(yīng)該等于互換價(jià)格現(xiàn)金流的現(xiàn)值，否則會出現(xiàn)套利機(jī)會。格現(xiàn)金流的現(xiàn)值，否則會出現(xiàn)套利機(jī)會。iTni, 2 , 1iTiriTiffniTrn