傅里葉系數(shù)的推導

1、傅里葉級數(shù)的數(shù)學推導密碼學、聲學.光學等領域都 有著廣泛的應用，這不由得讓人肅然起敬一打開信號與系統(tǒng)、鎖相環(huán)原理等書無，動 不動就跳出一個“傅里葉級數(shù)”或“傅里葉變換"，弄一長串公式，讓人云山霧罩.如下就是傅里葉級數(shù)的公式：f(f)=繩 + Q cos(血)+舟 sin(ftt) +02 cos(2t)+£ 山1(加) +.+an cos(77ttt)+ sin(刃"才)g二 厲 + 工冬 cos(ncut)+女 sin(n(vt)其中$二押/a)cos陽妙1«=if(f)sn(nol)dt不客氣地說，這個公式可以說是像“臭婆娘的裹腳布又臭又長”，而且采

2、歷相當蹊蹺， 不知那個縛里葉什么時候靈光乍現(xiàn)，把一個周期函數(shù)f (t)硬生生地寫成這么一大堆東西。單看 那個式，就是把周期函數(shù)f (t)描述成一個常數(shù)系數(shù)aO.及1倍3的sin和cos函數(shù)、2倍 3的s i n和co s函數(shù)等、到n倍0)的s i n和co s函數(shù)等一系列式子的和，且每項都有不同的系 數(shù)，即An和Bn,至于這些系數(shù)，需要用積分耒解得，即式，不過為了枳分方便，枳分區(qū)間 一般設為-n, n,也相當一個周期T的寬度。能否從數(shù)學的角度推字出此公式，以使傅里葉級數(shù)來得明白些，讓我等能了解它的前世今生 呢？下面來詳細解釋一下此公式的得出過程：1 .把一個周期函數(shù)表示成三角級數(shù)：首先，周期函

3、數(shù)是客觀世界中周期運動的數(shù)學表述，如物體掛在彈簧上作簡諧振動.單擺振動. 無線電電子振蕩器的電子振蕩等，大多可以表述為：f (x) =A s i n (u>t+ip )這里t表示時間，A表示坂幅，3為角頻率，屮為初相(與考察時設賈原點位置有關).然而，世界上許多周期信號并非正弦函數(shù)那么簡單，如方波、三角波等。傅葉里就想，能否用 一系列的三角函數(shù)An s i n (neo t+ <p)之和汆表示那個較復雜的周期函數(shù)f (t)呢？因為 正弦函數(shù)s i n可以說是最簡單的周期函數(shù)了。于是，傅里葉寫出下式：(關于傅里葉推字純?yōu)椴?想)co/(0 二 4)+ 工 & sin(n(0i

4、 + 卩)»=i這里,t是變量，其他都是常數(shù)與上面最簡單的正弦周期函數(shù)相比，5式中多了一個 且n從1到無窮大這里f (t)是已知函數(shù)，也就是需要分解的原周期函數(shù)從公式5來看，傅里葉是想把一個周期函數(shù)表示成許多正弦函數(shù)的線性疊加，這許許多多的正弦函數(shù)有壽不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期玫說是頻率(是原周期函數(shù)的整數(shù)倍，即n )、有不同的初相角(即少)，當然還有一項常數(shù)項(即A 0)。要命的是，這個n是從1到無窮大，也就是是一個無窮級數(shù)。應該說，傅里葉是一個天才，想得那么復雜。一般人不太會把一個簡單 的周期函數(shù)弄成這么一個復雜的表示式。但傅里葉認為，式子右邊一大堆的函數(shù)， 其實

5、都是最簡單的正弦函數(shù)，有利于后續(xù)的分析和計算。當然，這個式能否成立, 關鍵是級數(shù)中的每一項都有一個未知系數(shù)，如AO、An等，如果能把這些系數(shù)求出來, 那么5式就可以成立當然在5式中，唯一已知的就是原周期函數(shù)f (t) 那么只需用已知函數(shù) f(t)來表達出各項系數(shù)，上式就可以成立，也能卄昇了。于是乎，傅里葉首先對式5作如下變形：4? sin(/M« + ) = X/i sin cos(zi)+An cos(pn sin(n(a)這個變換并不陌生，源自于三角公式：sin(« ±Q) = sin a cos/7± cos a sin/J 式中.藍色項4 sin

6、 %和/br cos他均為常數(shù).寫作烏豈血必二兒心吆且令著州這樣，公式5就可以寫成如下公式6的形式：/«)=印十為務cos (血)十bn sin(刃曲)2 “1這個公式6就是通帑形式的三角級數(shù)，接下來的任務就是要把各項系數(shù)a n和bn及aO用已知 函數(shù)f (t)來表達出來.2、三角函數(shù)的正交性:這是為下一步傅里葉級數(shù)展開時所用積分的準備知識。一個三角函數(shù)系：1, cosx , s inx, cos2x , s i n2 x , t cosn x . slnnx , 如果這一境函數(shù)（包括常數(shù)1）中任何兩個不同函數(shù)的乘積在區(qū)間TT, H上的積分等于筆.就說三角函數(shù)系在區(qū)間TT, n上正交

7、，即有如下式子：-JTsin nxdx 二 0cos kx cos nxdx 二 0sin 念 sin nxdx = 0S = 1,2,3,.）（n - 1,2, 3,）（出刀=1, 2, 3,）（化刀二1, 2, 3S,k H q）&刀=1, 2, 3,；$并門）以上各式在區(qū)間-n, tt的定積分均為0,第1第2式可視為三角函數(shù)cos和s in與1 相乘的積分；第35式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個式子外，不可能再 有其他的組合了。注意，第4第5兩個式中，k不能等于n,否則就不屬于“三角函數(shù)系中任意兩 個不同函數(shù)”的定義了，變成同一函數(shù)的平方了。但第3式中，k與

8、n可以相等，相等時也是二 個不同函數(shù)。下面通過計算第4式的定積分來臉證其正確性，第4式中二函數(shù)相乘可以寫成：cosx cos mdx = cos（jt + n）x + cos（ 一 w）2這個就是三角公式中的“積化和差”當kn時，有：cQskx cos nxdx =-J J cos（£ + h）x + cos（玄-ri）xdx2 力1 in（k + n）x2 k + n十sin（疋 一 fi）xk-n二 £0+0二0可見在指定TT, 口的區(qū)間里，該式的定積分為0 其他式也可逐一 驗證。3、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù):/©=先把傅里葉級數(shù)表示為下式，即式:V 爲 cos。

9、?曲）+$ sin（«69f）»=i對式從n, n積分，得:上式右邊第二亍積分項，由于三角函數(shù)系的正交特性 各項在-龍到龍積分時，均為0,所以有：兔=丄匸幾妙龍Jr這就求得了第一個系數(shù)a0的表達式，即最上邊傅里葉級數(shù)公式里的式。接下來再求a n和 bn的表達式用cos （ku）t）乘式的二邊得：C0S（Z：6«）-/（/）=他 COS（2"X）+丫務 cos(jIwO cos(«6T)+化 cos(*fttf)sin(ft#) tt-1然后對上式從-龍到畀逐項積分:cos(k(vt)ain(na)iit同樣，根據(jù)三角函數(shù)系的正交性，紅色項積分為

10、0 藍色項里僅當Zn這一項積分不為Q其余項也為0,所以有:4j：cos （洌滋從而有：（把k寫n）爲二同樣，再把式二端乘以sin（辰嘰可以得到:bn 二.sin（jKt）至此，已經(jīng)求得傅里葉級數(shù)中各系數(shù)的表達式，只要這些積分都存在，那么式等號右側所表 示的傅里葉級數(shù)就能用來表達原函數(shù)f （t） 上述過程就是整個傅里葉級數(shù)的推導過程。爭實上, 如果能夠寫出式，不難求出各個系數(shù)的表達式，關鍵是人們不會想到一個周期函數(shù)竟然可以用 一些簡單的正弦或余弦函數(shù)來表達，且這個表達式是一個無窮級數(shù)這當然就是數(shù)學家傅里葉的 天才之作了，我等只有拼命理解的份了。綜上，傅里葉級數(shù)的產(chǎn)生過程可以分為以下三步：仁設想可以把一個周期函數(shù)f（t）通過最簡單的一系列正弦函數(shù)來表示，即5式;2、通過變形后用三角級數(shù)（含s in和cos）來表示；3、通過積分，把各未知系數(shù)用f （七）的積分式來表達；4最后得到的4