2020年東營市中考數(shù)學壓軸題型講練——二次函數(shù)綜合

1、2020年東營市中考數(shù)學壓軸題型講練一一二次函數(shù)綜合【題型導引】 題型一：二次函數(shù)中的最值問題：本類型涉及到函數(shù)中動態(tài)線段的最值，組成的三角形的周長最值，特殊三角形面 積的最值，不規(guī)則多邊形面積的最值探究。特殊三角形的存在性,A,與x軸交于點B, C,將題型二：二次函數(shù)中的存在性問題：本類型涉及到函數(shù)中動點過程中組成的特定角的存在性, 特殊四邊形的存在性等?！镜淅馕觥?類型一：最值問題研究例題1: （2019?山東省濱州市 ？14分）如圖，拋物線 y= -x2±x+4與y軸交于點直線AB繞點A逆時針旋轉90° ,所得直線與x軸交于點D.（1）求直線AD的函數(shù)解析式；（2）

2、如圖，若點 P是直線AD上方拋物線上的一個動點當點P到直線AD的距離最大時，求點 P的坐標和最大距離;當點P到直線AD的距離為與2時，求sin / PAD的值.4【解答】解：（1）當x=0時，y=4,則點A的坐標為（0, 4）,當y=0時，0=- 4-x2+x+4,解得，x1=-4, x2=8,則點B的坐標為（-4, 0）,點C的坐標為（8, 0）, 82.OA= OB= 4,/ OBA= / OAB= 45° ,將直線AB繞點A逆時針旋轉90°得到直線 AQ/ BAD= 90° ,OAD= 45° ,/ ODA= 45° ,OA= OR點D的

3、坐標為（4, 0）,設直線AD的函數(shù)解析式為 y=kx+b,產(chǎn)，得產(chǎn)-、1,4k+b-0 hM即直線AD的函數(shù)解析式為 y=- x+4;（2）作PNLx軸交直線AD于點N,如右圖所示，設點P的坐標為（t, - 3t2+'t+4）,則點N的坐標為（t, - t+4）,丹（一打卷什4） -t+4） =-Jt2+Jt.PN! x 軸，PN/ y 軸， ./ OAD= / PNhk 45° ,作 PHL AD于點 H,貝U/ PHN= 90° ,吩亨PM =券（"+|t） ="pRplt = 普（t-6） 2手,當t=6時，PH取得最大值 平,此時點P的

4、坐標為（6,二），即當點P到直線AD的距離最大時，點 P的坐標是（6,二），最大距離是 巖2;當點P到直線AD的距離為昱2時，如右圖所示，4解得，ti = 2, t2=10,則Pi的坐標為（2, ,）, P2的坐標為（10,一9當 Pi 的坐標為（2,）,則 PiAn/gYoTjp"2底=警；2當 B 的坐標為（10,一卷）,貝 U P2A=110_0）2 + （'_4）25技法歸納：（1）解答二次函數(shù)中存在性問題的一般思路：先對結論作出肯定的假設，然后由肯定假設出發(fā)，結合已知條件進行正確的計算、推理，若推出矛盾，則否定先前假設，若推出合理的結論，則說明假設正確，由此得出問題

5、的結論；（2）對于點的存在性問題，首先要根據(jù)條件，運用畫圖判斷存在的可能性，作出合理的猜想.然后再通過方法的選擇，在演繹的過程或結論中，作出存在與否的判斷；（3）對于單個圖形形狀的存在性判斷，先假設圖形形狀存在，然后根據(jù)圖形的特殊性來求出存在的條件（即要求的點的坐標）.當圖形的形狀無法確定唯一時，還要注意分類，如等腰三角形的腰與底，直角三角形中直角頂點的位置等.類型二：存在性問題研究例題2: （2018 齊齊哈爾中考）綜合與探究如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點A（ 4, 0）,與y軸交于點C,拋物線y = x2+bx+c經(jīng)過點A, C.（1）求拋物線的解析式；（2）點E在拋物線的對稱軸上

6、，求 CE+ OE的最小值；如圖2所示，點M是線段OA上的一個動點，過點 M作垂直于x軸的直線與直線 AC和拋物線分別交于點 P, N.若以C,巳N為頂點的三角形與 APM相似，則4CPN的面積為;若點P恰好是線段MN的中點，點F是直線AC上一個動點，在坐標平面內是否存在點D,使以點D,F,巳M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由.(1)將 A(4, 0)代入 y=x+c 得 c=4,將 A(-4, 0)和 c = 4 代入 y= x2+bx + c 得 b=3, ，拋物線解析式為y=- x2-3x+4.(2)如圖，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C'

7、,連接 OC ,交直線l于點E,連接CE,此時CE+ OE的值最小.拋物線對稱軸直線 x = 3，CC = 3.由勾股定理可得 OC =5,C曰OE的最小值為5.當 CNb AMP時，/CNP= 90° ,則NC關于拋物線對稱軸對稱，.NG= NP= 3,9.CPN的面積為2當CNP MAP 時，由已知 NCP為等腰直角三角形，/ NCP= 90° .如圖，過點 C作CELMN于點E,設點M坐標為（a, 0）,.EP= EC= -a,則 N 為(a, a23a+4), MP= a23a+ 4 ( -2a) =- a2-a+4,P(a, a2 - a+ 4),代入y = x+

8、 4,解得a= 2或a=0(舍)，則 N(-2, 6) , P(-2, 2),故 PN= 4.又 EC= a=2,.CPN的面積為4.9 ,故答案為9或4.2存在.設點 M坐標為(a , 0),則點N坐標為(a , a23a+ 4),則P點坐標為(a , a 23a”)，把點P坐標代入y = x+4,解得 ai = - 4(舍去)，a2= - 1.1 3當PF= FM時，點D在MN直平分線上，則 Dq,引；當PM= PF時，由菱形性質得點 D坐標為(-1 H-2, '2)或(一 1 一2， 2)；當MP= MF時，M D關于直線y=x + 4對稱，點 D坐標為(4, 3).技法歸納：以

9、二次函數(shù)圖象為背景探究動點形式的最值問題，要注意以下幾點：1.要確定所求三角形或四邊形面積最值，可設動點運動的時間t或動點的坐標；2.(1)求三角形面積最值時要用含t的代數(shù)式表示出三角形的底和高的代數(shù)式或函數(shù)表達式；(2)求四邊形面積最值時，常用到的方法是利用割補法將四邊形分成兩個三角形，從而利用三角形的方法求得用含 t的代數(shù)式表示的線段，然后用含t的代數(shù)式表示出圖形面積；3.用二次函數(shù)的性質來求最大值或最小值.【變式訓練】1. (20197#肅武威？12分)如圖，拋物線y = ax2+bx+4交x軸于A (-3,0),B (4,0)兩點，與y軸交于點C,連接AC, BC點P是第一象限內拋物線

10、上的一個動點，點P的橫坐標為 m(1)求此拋物線的表達式；(2)過點P作PMLx軸，垂足為點M PM交BC于點Q.試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點 Q使得以A,C, Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；(3)過點P作PN! BC,垂足為點N.請用含m的代數(shù)式表示線段 PN的長，并求出當 m為何值時PN有最大值，最 大值是多少？【解答】解：(1)由二次函數(shù)交點式表達式得:y= a (x+3) (x 4) = a (x x12),即：-12a=4,解得:則拋物線的表達式為(2)存在，理由：點 A.B.C 的坐標分別為(-3, 0)、(4, 0)

11、、(0, 4),貝U AC= 5, AB= 7, BC= 4-2, / OAB= Z OBA= 45° ,將點B.C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y= kx+b并解得：y= - x+4,同理可得直線 AC的表達式為：y = vx+4,設直線AC的中點為M4),過點M與CA垂直直線的表達式中的 k值為-£同理可得過點 m與直線ac垂直直線的表達式為：y=-，當AC= AQ時，如圖1,則 AC= AQ= 5,設：QMk MB= n,則 AM= 7-n,由勾股定理得：(7-n) 2+n2=25,解得：n=3或4 (舍去4), 故點 Q (1, 3);當AC= CQ時，如圖1,CQ=

12、5,貝U BQ= BC- CQ= 4弧-5,則 QM= MB= 'X n,2故我Q (等，竺普)；當CQ= AQ時，聯(lián)立并解得：x= (舍去)；故點Q的坐標為：Q (1, 3)或(旦2, _!二!返)；22(3)設點 P ( n -三品+4，則點 Q (n - m+4 , OB= OC，/ABG= / OCB= 45° =Z PQNPN= PQsinZ PQN=4)-'m+'/m-巴=<0,，PN有最大值，6當m=2時，PN的最大值為：4 .2. (2018 荷澤中考)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 點C(1 , 0),過點A作AD/ x軸交拋物線于點

13、 D.y= ax2+bx5交y軸于點A,交x軸于點B( - 5, 0)和(1)求此拋物線的解析式；(2)點E是拋物線上一點，且點E關于x軸的對稱點在直線AD上，求4EAD的面積;(3)若點P是直線AB下方的拋物線上一動點，當點P運動到某一位置時， ABP的面積最大，求出此時點 P的坐標和4ABP的最大面積.【解析】(1)二拋物線y=ax+bx 5經(jīng)過點B(-5, 0)和點C(1 , 0),25a-5b-5=0, a+b5=0, 拋物線的解析式為解得a= 1,b= 4,y = x2 + 4x 5.(2)二,拋物線y = x2+4x5交y軸于點A,二.A點坐標為(0 , -5).又點E關于x軸的對

14、稱點在直線 AD上, .點E的縱坐標為5.如圖，過點E作EFLDA交DA的延長線于點F,.EF= 5+ | 5| = 10.設點D的坐標為(a , 5),.a2+ 4a-5= - 5,a 1= 0, a2= - 4,.點D的坐標為(4, 5),.AD= | 4| =4,1 1S ZADE= -AD- EF= -X 4X 10= 20.2 2(3)設直線AB的解析式為y = kx+b,且該直線經(jīng)過點B(-5, 0)和點A(0 , 5),-5k+b=0,b = 5,解得k=T,b= - 5,直線AB的解析式為y=-x-5.如圖，過點P作PNLx軸，垂足為點 N,交直線AB于點M.設 P(x , x

15、2 + 4x5),則 M(x, - x-5), S ZABP= Sapmb+ Sapma= 2( -x-5)-(x2+4x-5) X51258，5 255 22(x + 5x) = 2(x + 2) +5- 2Sabp最大，最大值為1258 .將 x=一萬代入 y= x2+4x5 得 y = 一 1，535，p點的坐標為(一2， I).3. (2018 宜賓中考改編)在平面直角坐標系 xOy中，已知拋物線的頂點坐標為 (2, 0),且經(jīng)過點(4,1),如圖,直線y = I與拋物線交于 a, B兩點，直線l為y = 1.(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在一點 M使點M到點A, B的距

16、離相等？若存在，求出點 M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)在l上是否存在一點 巳 使PA+ PB取得最小值？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由；(4)設點S是直線l的一點，是否存在點 S,使的SB- SA最大，若存在，求出點S的坐標.【解析】（1）二拋物線的頂點坐標為（2, 0）,設拋物線的解析式為y=a（x- 2）.,該拋物線經(jīng)過點（4, 1）, - 1 = 4a,解得 a = 7, 4，拋物線的解析式為y = 4（x 2） 2= 1x2 x+1.(2)存在.1x2= 4或y2= 1y=x,x1=1,聯(lián)立解得 11 2y1 = 7y=4xx+1,4 1 點A的坐標為(1 ,

17、4),點B的坐標為(4, 1).設點M的坐標為(0 , m),.,.mA= (0 -1)2+(m-4)2,mB= (0 -4)2+(m-1)2. 點M到A, B的距離相等， .mA=mB,21222即(0 1) +(m 4) =(0 4) +(m 1),1. m=詈，.二點M的坐標為（0,祟）.存在.如圖，作點B關于直線l的對稱點B連接AB交直線l于點巳此時PA+ PB取得最小值.點 B(4, 1),直線 l 為 y = 1,點B'的坐標為(4, 3).設直線AB'的解析式為y=kx + b(kw0),1將 A(1 , 4) , B' (4, 一 3)代入 y=kx +

18、 b 得k+b=；"一行4 解得44k+b=-3, b=-,3，直線ab'的解析式為y= *+3.當 y= 1 時，有1|x + 4=- 1,解得x = 28, 13.點P的坐標為(28 1) .13(4)存在.點S和點A, B在同一條直線上時， SB- SA最大.點S在直線l上， ，、1 ，設點S的坐標為(n , 1),代入y=4*得n= 4,.點S的坐標為(4, 1).4. (2018 臨沂中考)如圖，在平面直角坐標系中，/ ACB= 90° ,OC= 2OB, tan/ABC= 2,點B的坐標為(1 , 0),拋物線y= x2+bx + c經(jīng)過A, B兩點.(

19、1)求拋物線的解析式；, ,.1(2)點P是直線AB上萬拋物線上的一點.過點P作PD垂直x軸于點D,交線段AB于點E,使PE= DE.求點P的坐標；在直線PD上是否存在點 M使4ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】：(1)在RtABC中，由點B的坐標可知OB= 1. . OC= 2OB . -OC= 2,貝U BC= 3.又. tan/ABC= 2, .AC= 2BC= 6,則點 A 的坐標為(一2, 6).把點A, B的坐標代入拋物線 y = x2 + bx+ c中得 4-2b+c=6, 1 + b+c= 0,解得b = - 3,c = 4

20、,該拋物線的解析式為2y = - x 3x+ 4.AB的解析式為y = 2x+2.(2)由點A(-2, 6)和點B(1, 0)的坐標易得直線如圖，設點 P的坐標為(m, - n2- 3m+ 4),則點E的坐標為(m, 2m+ 2),點D的坐標為(m, 0), 則 PE= - ni-m+ 2, DE= - 2m+ 2,2(-2m+ 2),解得m= ±1.又一 2vm< 1, m= 1, 點 P 的坐標為(一1, 6).口在直線PD上，且P(-1, 6),設 M(- 1, y), .-.AMi=( -1 + 2)2+(y -6)2=1 + (y-6)2由 PE= 2DE得一m-m+

21、 2 =BlM= (1 +1)2 + y2=4+y2, AB2=(1 + 2)2+ 62=45.分三種情況：(1)當/人“6= 90° 時，有 AlM+ BM2= AB, -1+ (y -6)2+4+y2= 45,解得 y=3±/,.M(- 1, 3+ 師或(-1, 3-0i);(ii)當/AB降 90° 時，有 aB"+ BM= AM,.-45+ 4+y2=1 + (y -6)2,解得 y= - 1,.M(- 1, - 1).(iii)當/BAM= 90° 時，有 aM+ AB2= bM,1 + (y - 6)2+ 45 = 4 + y2,解

22、得 y= ,M( 1,).綜上所述，點 M的坐標為(-1, 3 +，H)或(一1, 3 ，11)或(-1, 1)或(-1,).5. (2019?湖南衡陽？ 10分)如圖，二次函數(shù) y = x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(- 1, 0)和點B (3, 0),與y軸 交于點N,以AB為邊在x軸上方作正方形 ABCD點P是x軸上一動點，連接 CP,過點P作CP的垂線與y軸交于點E.(1)求該拋物線的函數(shù)關系表達式；(2)當點P在線段OB (點P不與Q B重合)上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值；(3)在第四象限的拋物線上任取一點M連接MN MB請問： MBNB勺面積是否存在最

23、大值？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由.【解答】解：(1)二.拋物線 y = x2+bx+c 經(jīng)過 A (- 1, 0), B (3, 0),把A.B兩點坐標代入上式,1 5+e = 09 + 3+c=0 '(b-2解得： Q , c 二一3故拋物線函數(shù)關系表達式為 y = x2-2x-3;(2) .A ( 1, 0),點 B (3, 0),AB= OA+OB 1+3 = 4,正方形 ABCD43, / ABC= 90° , PCX BE, ./OPE吆 CPB= 90° ,/CPB+Z PCB= 90° , ./ OPE= / PCB又.

24、 / EOP= / PBC= 90° , . PO曰 CBPBC_OP.J _ 上 一 I'.PB OE設 OP= x,貝U PB= 3- x,一 ,3-x OE：*/+3制出+產(chǎn)+-，OE=0<x< 3,39，工=時，線段0曰£有最大值，最大值為216即。之旦時，線段OE有最大值.最大值是 .216(3)存在.如圖，過點 M作MH/ y軸交BN于點H, .拋物線的解析式為 y = x2- 2x- 3, x= 0, y = 3, .N點坐標為(0, - 3),設直線BN的解析式為y=kx+b,二。b=-3，直線BN的解析式為y= x - 3,設 M (a

25、, a2-2a- 3),則 H (a, a- 3),MH= a - 3- (a? - 2a - 3) = - a2+3a,S»a mnB= S»a bm+S»a mnH=卜加物?(-/+3 口 )x3=-軸-卷+名< 0,27一 315,此時M點的坐標為(二,-).243 ' a=彳時， MBN1勺面積有最大值，最大值是6. (2018 懷化中考改編)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y = ax2+2x + c與x軸交于A( 1, 0), B(3 , 0)兩點，與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.(1)求拋物線的解析式和直線 AC的解析式；(2)請

26、在y軸上找一點 M使4BDM的周長最小，求出點 M的坐標；(3)試探究：在拋物線上是否存在點巳使以點A, P, C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在,請求出符合條件的點 P的坐標；若不存在，請說明理由；M的坐標；若不存在數(shù)軸上是否存在點 M,使彳#ACM是以AC為底的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點 在，請說明理由.【解析】(i)設拋物線解析式為 即 y = ax2 2ax 3a, . 2a=2,解得 a= 1, ，拋物線解析式為 y=- x2+2x+3. 當 x=0 時，y=- x2+2x+3= 3,則 C(0, 3). 設直線AC的解析式為y=px+q,p = 3 解得

27、q = 3一 p + q = 0把 A(-1, 0), C(0, 3)代入得q = 3,直線AC的解析式為y=3x+ 3.(2) -. y=- x2+2x+3=- (x 1)2+4,頂點D的坐標為(1 , 4).B' ( 3, 0),連接DB交y軸于M.如圖，作B點關于y軸的對稱點B',則 . MB= MB , . M即 MD= MB + MD= DB ,此時 MB MD勺值最小. ,BD的值不變，此時 BDM的周長最小.易得直線DB的解析式為y = x+3.當 x=0 時，y=x+3=3, .點 M的坐標為(0, 3).存在.如圖，過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P. 直線

28、AC的解析式為y=3x+3, .直線PC的解析式可設為1y=- 3x+ b,把C(0 , 3)代入得b= 3,直線PC的解析式為y=- 3x+3.y=-x2+2x+3,x=7,x = 0,3解方程組1得 或y=- -x + 3y = 3203y=則此時P點坐標為(3,當).如圖，過點A作AC的垂線交拋物線于另一點 P', 直線P' A的解析式可設為1y= 3X+ bi,把 A（ 1, 0）代入得+ bi = 0,解得 bi =, 33直線PC的解析式為y = - zx-7.10x="3,13尸F(xiàn)33y= x2+ 2x+ 3,x = 1, 解方程組11 得或y=3x 3

29、y = 0則此時p點坐標為（5，-193）.綜上所述，符合條件的點p的坐標為（.，）或（,）.3939存在.當點M在x軸上時，設點 M的坐標為（n, 0）, mA= mB ,即n （ 1） =n+（0 3）,，n=4, .此時點M的坐標為（4, 0）.當點M在y軸上時，設點 M的坐標為(0 , a),. MA=mB,即0 ( 1) 2+(a 0)2= (3 -a)2,a= 此時點 M的坐標為（0 ,：）. 33綜上所述，符合條件的點 M的坐標為（4, 0）或（0, 4）.37. （2019?湖北省咸寧市？ 12分）如圖，在平面直角坐標系中， 直線y=-1x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋

30、物線y= - =x2+bx+c經(jīng)過A, B兩點且與x軸的負半軸交于點 C.（1）求該拋物線的解析式；（2）若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當/ABD= 2/BAC時，求點D的坐標；（3）已知E, F分別是直線AB和拋物線上的動點，當 B, O, E, F為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有 符合條件的E點的坐標. .A (4, 0), B (0, 2)1;把A (4, 0), B (0, 2),代入廠方/仕瓦丘，得c=2弓><16+4b+c= 0 ri,解得，bq Im.拋物線得解析式為（2）如圖，過點B作x軸得平行線交拋物線于點E,過點D作BE得垂線，垂足為 BE/

31、 x 軸，.BAO / ABE. /ABD= 2/BAGABD= 2/ABE即/ DBE吆ABE= 2/ABE ./ DBE= / ABE/ DBE= / BAC設D點的坐標為（x,一"/Kx+Z),則 BF= x,. tan Z DBE= , tan Z BAG= - BFAO黑丹'即至三解得xi= 0 (舍去)，x2 = 2當 x=2 時，一J+x+2=3點D的坐標為(2, 3)(3)當 BO為邊時，OB/ EF, OB= EF設 E （3 二一 ？），F(xiàn) （日 二丁 一；：）EF= | (總/2)LTTI =2解得 m=2,叱二2-2a，m3=2+2V2當BO為對角線時

32、，OB與EF互相平分過點。作OF AB,直線OFy=交拋物線于點F （2+2J1，T-a）和（2-2、值,-1 + 72）求得直線EF解析式為 產(chǎn)等或尸亨X+1直線EF與AB的交點為E,點E的橫坐標為-2近-2或&/I-2，E點的坐標為（2, 1）或（2-26，1+廢）或（2+2V，7i）或3+血）或（-2+2/，3-a）8. （2017 天水中考）如圖所示，在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y=ax22ax3a（a0）與x軸交于A, B兩點（點 A在點B的左側），經(jīng)過點A的直線l : y= kx + b與y軸負半軸交于點 C,與拋物線的另一個交點為 D,且CD= 4AC. （1）求A, B兩點的坐標及拋物線的對稱軸；（2）求直線l的函數(shù)解析式（其中k, b用含a的式子表示）； 5（3）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若 ACE的面積的最大值為求a的值；（4）設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點 A, D,巳