浙大版概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題集和試卷.doc

1、第一講1. 由盛有號碼為 1,2, ,N 的球的箱子中有放回的摸了 n 次, 依次記其號碼 , 求這些號碼按 嚴格上升次序排列的概率 .2. 對任意湊在一起的 40 人 , 求他們中沒有兩人生日相同的概率 .3. 從 n 雙不同的鞋子中任取 2r(2r n) 只, 求下列事件的概率 :(1) (1) 沒有成雙的鞋子 ; (2)只有一雙鞋子 ; (3) 恰有二雙鞋子 ; (4) 有r 雙鞋子 .4. 從 52 張的一副撲克牌中 , 任取 5 張 , 求下列事件的概率 :(1) (1) 取得以 A 為打頭的順次同花色 5 張 ;(2) (2) 有 4 張同花色 ;(3) (3) 5 張同花色 ;(

2、4) (4) 3 張同點數(shù)且另 2 張也同點數(shù) .思考題 :1. (分房、占位問題)把 n 個球隨機地放入 N 個不同的格子中，每個球落入各格子內的概率 相同(設格子足夠大，可以容納任意多個球) 。I. I. 若這 n 個球是可以區(qū)分的，求( 1)指定的 n 個格子各有一球的概率； ( 2)有 n 個格子各有一球的概率；若這 n 個球是不可以區(qū)分的，求( 1)某一指定的盒子中恰有 k 個球的概率； (2)恰好有 m 個空盒的概率。2. 取數(shù)問題)從 1-9 這九個數(shù)中有放回地依次取出五個數(shù)，求下列各事件的概率：(1) (1) 五個數(shù)全不同； ( 2)1 恰好出現(xiàn)二次； (3)總和為 10.第二

3、講1. 在一張打方格的紙上投一枚直徑為 1 的硬幣 , 問方格要多小時才能使硬幣與線不相交的 概率小于 0.01?2. 在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報( 記為 A)的有45%，訂乙報 (記為 B)的有 35%，訂丙報 (記為 C)的有 30%，同時訂甲、乙兩報 ( 記為 D)的有 10%，同時訂甲、丙兩報 ( 記為 E)的有 8%，同時訂乙、丙兩報 (記為 F)的有 5%，同時訂三中 報紙 (記為 G)的有 3%. 試表示下列事件 , 并求下述百分比： (1) 只訂甲報的；(2)只訂甲、 乙兩報的；( 3)只訂一種報紙的； (4) 正好訂兩種報紙的； (5)至

4、少訂一種報紙的； ( 6)不 訂任何報紙的 .3. 在線段 0,1上任意投三個點 , 求 0 到這三點的三條線段能構成三角形的概率 .4. 設 A, B, C, D 是四個事件 , 似用它們表示下列事件 :(1) (1) 四個事件至少發(fā)生一個 ;(2) (2) 四個事件恰好發(fā)生兩個 ;(3) (3) A,B 都發(fā)生而 C, D 不發(fā)生 ;(4) (4) 這四個事件都不發(fā)生 ;(5) (5) 這四個事件至多發(fā)生一個 ;(6) (6) 這四個事件至少發(fā)生兩個 ;(7) (7) 這四個事件至多發(fā)生兩個 .5. 考試時共有 n 張考簽 , 有 m(m n) 個同學參加考試 . 若被抽過的考簽立即放回

5、, 求在考 試結束后 , 至少有一張考簽沒有被抽到的概率 .6. 在§3 例 5 中, 求恰好有 k(k n) 個人拿到自己的槍的概率 .7. 給定 p P(A),q P(B),r P(A B), 求P(AB)及P(AB).思考題1. (蒲豐投針問題續(xù))向畫滿間隔為 a的平行線的桌面上任投一直徑 l(l a) 為的半圓形紙 片, 求事件“紙片與某直線相交”的概率；第三講1. n件產(chǎn)品中有 m件廢品 , 任取兩件 , 求:(1) (1) 在所取兩件中至少有一件是廢品的條件下 , 另一件也是廢品的概率 ;(2) (2) 在所取兩件中至少有一件不是廢品的條件下 , 另一件是廢品的概率 .2

6、. 袋中有 a(a 3) 只白球 , b 只黑球 , 甲乙丙三人依次從袋中取出一球 (取后不放回 ). 試用 全概率公式分別求甲乙丙各取得白球的概率 .3. 敵機被擊中部位分成三部分 : 在第一部分被擊中一彈 , 或第二部分被擊中兩彈 , 或第三部 分被擊中三彈時 , 敵機才能被擊落 . 其命中率與各部分面積成正比 . 假如這三部分面積之比 為 0.1, 0.2, 0.7. 若已中兩彈 , 求敵機被擊落的概率 .4. 甲乙兩人從裝有九個球 , 其中三個是紅球的盒子中 , 依次摸一個球 , 并且規(guī)定摸到紅球的 將受罰 .(1) (1) 如果甲先摸 , 他不受罰的概率有多大 ?(2) (2) 如果

7、甲先摸并且沒有受罰 , 求乙也不受罰的的概率 .(3) (3) 如果甲先摸并且受罰 , 求乙不受罰的的概率 .(4) (4) 乙先摸是否對甲有利 ?(5) (5) 如果甲先摸 , 并且已知乙沒有受罰 , 求甲也不受罰的概率 .5. 設事件 A, B, C 相互獨立 , 求證: A B,AB,A B也相互獨立 .思考題1. 甲、乙兩人輪流擲一均勻的骰子。甲先擲，以后每當某人擲出 1 點時則交給對方擲，否 則此人繼續(xù)擲。試求事件 An =第n次由甲擲 的概率.2(賭徒輸光問題)兩個賭徒甲、乙進行一系列賭博。在每一局中甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為 q， p+q=1 ，每一局后，負者要付一元給勝者

8、。如果起始時甲有資本a 元，乙有資本 b 元， a+b=c，兩個賭徒直到甲輸光或乙輸光為止，求甲輸光的概率.第四講1. 對同一目標進行三次獨立射擊 ,要害各次射擊命中率依次為 0.4, 0.5 和 0.7. 求 :(1) (1) 三次射擊中恰好一次擊中目標的概率 ;(2) (2) 至少一次擊中目標的概率 .2. 在一電器中 , 某元件隨機開、關 , 每萬分之一秒按下面規(guī)律改變它的狀態(tài) :(1) (1) 如果當前狀態(tài)是開的 , 那么萬分之一秒后 , 它仍然處于開狀態(tài)的概率為 (1 ) , 變?yōu)殚]狀態(tài)的概率為 ;(2) (2) 如果當前狀態(tài)是閉的 , 那么萬分之一秒后 , 它仍然處于閉狀態(tài)的概率為

9、 (1 ) ,變?yōu)殚_狀態(tài)的概率為 .假設 0 1,0 1, 并且用 n表示該元件萬分之 n 秒后處于閉狀態(tài)的概率 . 請給出 n 的遞推公式 .3. 在伯努里概型中 , 若 A出現(xiàn)的概率為 p, 求在出現(xiàn) m次以前 A 出現(xiàn) k次的 A概率(可以 不連續(xù)出現(xiàn) ).4. 甲乙丙三人進行某項比賽 , 設三人勝每局的概率相等 . 比賽規(guī)定先勝三局者為整場比賽 的優(yōu)勝者 . 若甲勝了第一、三局 , 乙勝了第二局 , 問丙成了整場比賽優(yōu)勝者的概率是多少 ?5. 一個人的血型為 O、A 、B、AB 型的概率分別為 0.46、0.40、0.11 和 0.03. 現(xiàn)任選五人 , 求 下列事件的概率 :(1)

10、(1) 兩人為 O 型, 其他三人分別為其他三種血型 ;(2) (2) 三人為 O 型, 兩人為 A 型 ;(3) (3) 沒有一人為 AB 型.第一講1. 1. 設 為重復獨立伯努里試驗中開始后第一個連續(xù)成功或連續(xù)失敗的次數(shù) , 求 的分 布.2. 2. 直線上一質點在時刻 0 從原點出發(fā) , 每經(jīng)過一個單位時間分別概率或向左或向右移 動一格 , 每次移動是相互獨立的 . 以 n 表示在時刻 n 質點向右移動的次數(shù) , 以 Sn 表示 時刻 n質點的位置 , 分別求 n與Sn的分布列 .3. 3. 每月電費帳單是由電力公司派人上門抄表給用戶的 . 如果平均有 1%的帳單與實際 不符 , 那么

11、在 500 張帳單中至少有 10 張不符的概率是多少 ?4. 4. 某車間有 12 臺車床獨立工作 , 每臺開車時間占總工作時間的 2/3, 開車時每臺需用 電力 1 單位 , 問:(1) (1) 若供給車間 9 單位電力 , 則因電力不足而耽誤生產(chǎn)的概率等于多少 ?(2) (2) 至少供給車間多少電力 , 才能使因電力不足而耽誤生產(chǎn)的概率小于 1%?5. 5. 螺絲釘?shù)膹U品率為 0.01. 問一盒中應裝多少螺絲釘才能保證每盒有 100 只以上好螺 絲釘?shù)母怕什恍∮?80%?6. 6. 某疫苗所含細菌數(shù)服從泊松分布 , 每一毫升中平均含有一個細菌 , 把這種疫苗放入5 只試管中 , 每管 2

12、毫升 , 求 :(1) (1) 5 只試管中都有細菌的概率 ;(2) (2) 至少有 3 只試管含有細菌的概率 .第二講1. 1. 在半徑為 R, 球心為 O 的球內任取一點 P,(1) (1) 求 =OP 的分布函數(shù) ;(2) (2) 求 P( RR/2) .2. 2. 確定下列函數(shù)中的常數(shù) A, 使它們?yōu)槊芏群瘮?shù) :2Ax2 , 1 x 2,p(x) Ax, 2 x 3,(1) p(x) Ae |x|;(2) 0, 其他 .3. 3. 某城市每天用電量不超過 100 萬度 , 以 表示每天耗電量 (即用電量 /100), 其密度為 2p(x) 12x(1 x) (0 x 1). 問每天供電

13、量為 80萬度時 , 不夠需要的概率為多少 ? 供電量為 90 萬度呢 ?3 假設一塊放射性物質在單位時間內發(fā)射出的 粒子數(shù) 服從參數(shù)為 的泊松分布 .而每個 發(fā)射出的 粒子被記錄下來的概率均為 p ,就是說有 1 p 的概率被計數(shù)器遺漏 .如果個粒子 是否被記錄是相互獨立的 ,試求記錄下的 粒子數(shù) 的分布。 N(5,4) , 求 a, 使 (1) P( a) 0.90; (2) P(| U0,5 , 求方程有實根的概率 .4. 4.5. 5.5| a) 0.01第三講1. 1.試用(1)P(a(2)P(3)P( , ) 的分布函數(shù) F(x, y) 表示下列概率 :b, y);y);).) 的

14、密度函數(shù)為Ae 2(x y)a,2 設二維隨機向量(,p(x,y),x 0, y 0 0,其它 .(1) (1) 確定常數(shù) P( 2,03. 3. 設隨機變量P( 0) 1F(x, y)；1) ；(5)計算概率 P(1)A；( 2)求分布函數(shù)與 相互獨立 , 且 P( p, 定義 :0,1,；(3)求2); (6) P( 1)的邊際密度；(4)計算概率P( ).p 0, 又 P(0)為奇數(shù), 為偶數(shù) .問 p 取什么值能使 , 獨立 ?第四講1.設 ( ,) 服從圓 x y r 上的均勻分布 ,(1)(1) 求, 各自的密度 ;(2)(2) 判斷 與 是否相互獨立 .2.設 ( ,) 的密度函

15、數(shù)為 p(x,y),求證 與 相互獨立的充分必要條件為分離變量 , 即 p(x, y) g(x) h(y).此時 g(x),h(y) 與邊際密度有何關系3.利用上題的充分必要條件判斷與 的獨立性 , 若它們的密度函數(shù)為 :(1)p(x,y)4xy, 0 x 1,0 y0, 其他 .1,(2)p(x,y)8xy, 0 x y 1,0, 其他 .1.p(x,y) 可2.3.第五講1. 四張小紙片分別寫有數(shù)字0, 1, 1, 2. 有放回地取兩次 , 每次取一張 , 以 , 分別記兩次取2.2., 是獨立隨機變量 , 分別服從參數(shù)為 1及 2 的泊松分布 , 試直接證明 :3.(1)(2)3.服從參

16、數(shù)為 1 + 2 的泊松分布 ;P(n) Cnk(1 )k(2 )n k,k 0,1, ,n.1 2 1 2服從 /2, / 2上的均勻分布 , tan ,求 的密度 . , 獨立同分布，且都服從 0,1 上的均勻分布，求k|5. 設 ,獨立同分布 , 且都服從 N(0,1) 分布，求 /的分布密度 .第六講1. 在線段(0, a)上隨機投擲兩點 ,求兩點間距離的密度函數(shù)2. 設 ,相互獨立，且都服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布，求 U與 V / 的聯(lián)合密度并分別求出 U與 V/的密度 .3. 設 ( ,) 的聯(lián)合密度為：4xy, 0p(x,y) 0,x 1,0 y 1, 其他.的密度函數(shù) .設4.

17、4.求(22, ) 的聯(lián)合密度 .4. 設 ( , ) 服從二元正態(tài)分布 件.22N(0,0, 12, 22,r). 求相互獨立的充分必要條第一講1.2.1. 某人有 n 把鑰匙 , 只有一把能打開家門 . 當他隨意使用這 時已被使用過的鑰匙數(shù)的數(shù)學期望 . 假設 :(1) (1) 每次使用過的鑰匙不再放回 ;(2) (2) 每次使用過的鑰匙與其它鑰匙混在一起 .設隨機變量 分別具有下列密度 , 求 E :0 x 1,1 x 2,其他.n 把鑰匙時 , 求打開家門2.(1)p(x)x,2 x,0,(2)p(x)2cos x,/2 x /2;0, 其他3. 設分子的速度的分布密度有馬克斯韋爾分布

18、律給出224xx3 exp( 2 ), x 0, p(x) a3a20, x 0. 分子的質量為 m, 求分子的平均速度和平均動能 .3.第二講1. 1. 設事件 A 在第 i 次試驗中出現(xiàn)的概率為 p, 是在 n 次獨立試驗中 A 出現(xiàn)的次數(shù) 求 E .2. 某人有 n 把鑰匙 , 只有一把能打開家門 . 當他隨意使用這 n把鑰匙時 , 求打開家門時已被 使用過的鑰匙數(shù)的方差 . 假設 :(1) (1) 每次使用過的鑰匙不再放回 ;(2) (2) 每次使用過的鑰匙與其它鑰匙混在一起 .3. 某公司計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場 ,并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量 .他們估計出售該產(chǎn)品一件可 獲利 m元,而每積

19、壓該產(chǎn)品一件導致 n 元的損失。另外，該產(chǎn)品的銷售量 預測服從參數(shù) 的 指數(shù)分布。問若要獲得最大利潤，應安排生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？24. 4. 設 只取值于 a,b, 求證 Var(b a) /4.5. 5. 設二維隨機向量 ( , ) 的分布密度為2xy, 0x1,0y1,p(x,y) 2x0,y, 0x其1,他0 .y1,求協(xié)方差矩陣 .思考題1. 設袋中裝有 m 只顏色各不相同的球 . 有返回地摸取 n 次 , 摸到 種顏色的球 . 求 E .第三講1. 1. 設U a b,V c d,a,b,c,d為常數(shù), a,c同號, 求證U,V 的相關系數(shù)等于 , 的相關系數(shù) .2. 2. 設隨機變量

20、1, 2, , 2n 的數(shù)學期望都為 0, 方差都為 1, 兩兩間的相關系數(shù)都為, 求 1 n 與 n 1 2n 之間的相關系數(shù) .3. 3. 設 , 都是只取兩個值的隨機變量 , 求證 : 如果它們不相關 , 則它們獨立 . 思考題1. 1. 設 ( , ) N (0,0,1,1, r ) ,求證: Emax( , ) (1 r)/ .2. 2. 設 E E 0,Var Var 1,Cov( , ) . 證明:Emax( 2, 2) 1 1 2 .第四講1. 1. 求下列分布的特征函數(shù) :(1) P( k) pqk 1,k 1,2, ,q 1 p;(2) 服從 a,a 上的均勻分布 ;(3)

21、 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 .2. 2. 設 (t) 是特征函數(shù) , 求證下列函數(shù)也是特征函數(shù) :(1) (t)n(n Z );(2) (t)sin at(a 0).at3. 3. 證明下列函數(shù)是特征函數(shù) , 并找出相應的分布 .2 sint 2 2 1(1) cos2 t ; (2)( t )2;(3)(1 t2 ) 1.思考題1. 1. 試舉例說明在逆極限定理中 , 在 t 0 處連續(xù)這一條件不能少 .2. 2. 當 , 獨立時 , 則有第一講1. 1. 下列分布函數(shù)列是否弱收斂于分布函數(shù)2. 2.n設 n 為 獨 立 同 分 布 隨 機 變 量 序 列 , n 的 分 布 列 為nk1k

22、/2k.求證 n 的分布收斂于 -1,1上的均勻分布0.5 0.50,x1/ n,(1)Fn(x)1,x1/n.0,x n,(2)Fn(x)(xn)/2n, n x n,1,x n.第二講1. 1. 設某車間有 200 臺同型機床，工作時每臺車床 60%的時間在開動 , 每臺開動時耗電1 千瓦 . 問應供給該車間多少千瓦電力才能有 0.999 的把握保證正常生產(chǎn)？2. 2. 一家火災保險公司承保 160 幢房屋 , 最高保險金額有所不同 , 數(shù)值如下表所示 :最大保險金額 (萬元 )10 20 30 50 100投保房屋數(shù)80 35 25 15 5假設 : (1) 每幢房屋每年一次理陪概率為

23、0.04, 大于一次理陪概率為 0;(2) 各幢房屋是否發(fā)生火災相互獨立 ;(3) 如果理陪發(fā)生 , 理陪量從 0 到最高保險金額間的均勻分布 記 N 為一年中理陪次數(shù) , S 為理陪總量 ,a. 計算 N 的數(shù)學期望和方差 ;b. b. 計算 S 的數(shù)學期望和方差c. c. 確定相對保證附加系數(shù) , 即(每份保單保費收入 平均理陪量 )/ 平均理陪量Sn 求證 :1nk1n思考題1. 利用中心極限定理證明nk nn k 0 k!N(0,1).的分布函數(shù)弱收斂于以確保保險公司的保費收入大于理陪總量的概率等于 0.99.3. 3.設 n為獨立同分布,其分布列為泊松分布.記nnk 1( kE k)

24、/k 1Var k 計算n的特征函數(shù), 并求n 時的極限, 從而驗證林德貝格勒維定理在這種情況成立 .4. 4.設 n,n 各自獨立同分布 , 也相互獨立 . E n0,E n21,P n 11/2kk1/2, n第三講(x a) e , x a,p(x), n , 求證1. 設 n 獨立同分布 , 密度為0, x a., 令 n min 1,Pna3. 3. 求證 : (1) 若 nP,nP(2)若 n , n , 則 n n4. 4. 設 n 獨立同分布 , 都服從 0,1 上的均勻分布 , 令 n Pn c, 并求出常數(shù) c.思考題n k11/nk)求證 :1. (蒙特卡羅方法 ) 設

25、f (x)是定義在 0,1上的連續(xù)函數(shù) , 且取值于 0,1. 現(xiàn)在平面的正方形( x,y):0 x 1,0y 1 上做隨機投點試驗記 fn(A) 為所投點落在區(qū)域 A( x,y):0 x 1, 0 yf (x) 內的頻率 . 試說明當投點次數(shù)充分多時fn 可充分接近積分值10 f (x)dx.概率論試卷(一)、填充題(每空格 3 分)1.若 AB,則 P(A B)P(B).2.設服從參數(shù)為的普阿松分布 ,P(=1)=P(=3),則 =.23. 設 i N(0,1),i=1,2, ,n; 1, , n相互獨立 .則 (n)分布.4. 設 ,互不相關 ,則 Var(2 - )=.5. 參數(shù) =1

26、 的指數(shù)分布的特征函數(shù)是 、是非題(每小題 3 分)(先回答對'或錯'再簡述理由)1.設(,)為連續(xù)型隨機向量 ,如果聯(lián)合密度等于各自邊際密度的乘積,則 ,相互獨立2.隨機變量 ,相互獨立的充分必要條件是E()=E· E.3.設 n 為獨立同分布隨機變量序列4.設隨機變量 n 與的特征函數(shù)分別為1 N(a,2),i2 n i 1 ,則 也服從 N(a, ).P fn(t)與 f (t). 若 fn(t)f (t),(n ),則 ne x , x 0三、( 16 分)設 ,相互獨立，均服從 p(x)= 0, x 0(1)求 U=+與 V= /(+)的聯(lián)合密度；(2) 判

27、斷 U 與 V 是否獨立；(3) 求 V 的密度函數(shù) .它服從怎樣的分布？123222四、( 16分)已知 ( 1, 2) N(1,0; 32 ,42, 1/2),五、六、七、3)求 Cov( 1, )；4) * 1 與相互獨立嗎？為什么？10 分)某商店某種食品一塊從上柜到銷售出去時間(天)服從參數(shù)為分布 .若一塊這種食品六天內賣不出去，就要另行處理，不能再賣 食品 100 塊，求(六天后)平均每天另行處理的這種食品的數(shù)量=1/3 的指數(shù).該店每天新上柜這種8 分)設 P k 0 1k 相互獨立， P k 2 3 21n2k, k=1,2, . 求證： n k 115分) (1)設 nd，求

28、證： n(2k1), P k2k2 ( 2k 1)(2) 設c (常數(shù))，求證pc八 、( 8 分)設 n 的密度為pn(x)n22(1 n2x2) ，n=1, 2, , 求證：d0.概率論試卷(二)的隨機試驗模型 .、填充題(每空格 3 分)1.古典概型是具有條件 2.設(,)N(0,1;1,4,0.5)，則 ,分別服從 3.設 1, 2 的特征函數(shù)分別為 f1(t),f2(t) , 1, 2相互獨立. 則( 1, 2 )的特征函數(shù)為4. 從 1,2,3,4,5 五個數(shù)字中任取三個，所得號碼中最大的為, 則的 分布列 為2)在這 10 件中任取一件，求它是一級品的概率 ;3)在這 10 件中

29、任取一件，發(fā)現(xiàn)是一級品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率四、10分)隨機變量的分布列為P(=2k)=3 / 4k 1,k=0,1,2,.1)求 E ；( 2)求的特征函數(shù) .五、17 分)( 1,2 ) 的聯(lián)合密度為x1 x2 e x1 x2 , x1 p(x1,x2)=0,0,x2其它六、求：( 1)3)E(e1/2)；12 分)設1 , , n 相互獨立，1)寫出其聯(lián)合分布的密度函數(shù)；1 / 2 的聯(lián)合密度；都服從正態(tài)分布2)N(1 / 2 的密度；Var( e1/2).2).2)ni求證： i 1 服從正態(tài)分布 N(n ,n2);3)求證：對任意正交變換 U， =U(其中 =(n) )各分量也相互獨

30、立，七、( 15 分)( 1)正確敘述并證明林德貝格勒維中心極限定理.1( 2)某種電子元件使用壽命服從=0.1(單位(小時 ) )的指數(shù)分布 .一個元件損壞后第二個接著使用 .求 100 個這類元件總計使用時間超過 900 小時的概率 .八、( 10 分)設 n 為相互獨立的隨機變量序列，成立中心極限定理. 則它服從大數(shù)定律nvar(k ) / n2的充分必要條件是 k 1 =o(1) ，試證明之 .概率論試卷(三)一、 填充題(每空格 3分)(1) 若 P(A)=0.5, P(A B)=0.8, 則當 A 與 B 相互獨立時， P(B)=, P(A-B)r(2)設 Var =4, Var

31、=9, 相關系數(shù) =1/4, 則 Var(2 +5)=.(3) 設 B(n,p) ，則 的特征函數(shù)為 (4) n 獨立同分布， E n =a,Var n= , 則林德貝格勒維中心極限定理是說：二、是非題(每小題3 分)(先回答“”或“×”，再簡述理由)(1)設隨機變量 的分布函數(shù)為 F(x) ，則對任意常數(shù) a，P( =a)=0.f(t,t)= f1(t) f 2(t), 則 1, 2相互獨立 .(4) 設隨機變量 n, 的分布函數(shù)分別為 Fn(x)與 F(x) ，特征函數(shù)分別為 fn(t)與 f(t). W若 fn(t) f(t), (n ), 則 Fn(x)F(x).2 2 2三

32、、( 10 分)隨機變量N(a, ). (1)求證k +bN(ka+b, k)， (k 0);2(2) 求的密度函數(shù)四、17 分) ( , )的聯(lián)合密度為3x / 2, 0 p(x,y)= 0,x 1, x y其它(1)求邊際密度； (2) 求 E ,E 及 COV( , ).五、( 8分)某人每月收入服從600,1200上的均勻分布 . 當月收入超過 800 元時應交個人收入調節(jié)稅 . 問此人平均每年有幾個月要交該項稅款？六、8 分)隨機變量的分布列為 P( =k)=2/ 3k,k=0,1,2, .七、八、(1)求 E ;10 分)20 分)3/n(1) k 1(2)求n,/c的特征函數(shù) .

33、n 為兩列隨機變量，c( 0). 求證n 為獨立同分布的隨機變量序列，都服從U-1,1. 求證 :依分布收斂于 N(0,1);nn/3(2) k 1nk)/ (2k)k 1 依分布收斂于 N(0,1).浙江大學 2003 - 2004 學年第一學期期末考試開課學院：概率論課程試卷 任課教師： 姓名： 專業(yè)： 學號： 考試時間： 分鐘題序一二三四五六七總分得分評卷人簽名一、（ 15 分）給出下列定義1 1 概率的公理化定義答： 為樣本空間， 且滿足下列條件：為事件域。概率是定義在 上的實值集函數(shù)： A（P) P(A), 并1）（非負性）對任一A ,P(A)0；2）（規(guī)范性） P（ ）1；3）（可

34、列可加性）若A1,A2, ,An ,是P(n 1 An )n1P(An)中兩兩互不相容的事件，則(5分）2 2 隨機變量答：設 （ ）是定義在概率空間 （ , , P）上的單值實函數(shù)， 且對于 R上的任一波雷爾集 B 有 1（B） : （ ） B ,就稱 （ ） 為隨機變量。 （ 5 分）3（弱）大數(shù)定律大：設 n 是定義在概率空間 （ 得,P） 上的隨機變量列，如果存在常數(shù)列an 和 bn 使Pbn0(n),則稱 n 服從（弱）大數(shù)定律。5 分）二、（14 分）投擲 n 次均勻硬幣，求出現(xiàn)正反面次數(shù)相等的概率。解 若 n 為奇數(shù) , 顯然 , 出現(xiàn)正反面次數(shù)不可能相等 , 故所求概率為 0

35、；若 n 為偶數(shù) ,“出現(xiàn) 正反面次數(shù)相等 ”等價于“出現(xiàn)正反面次數(shù)各 n/2次”， 投擲 n次均勻硬幣，可以看作伯努里概型，故這時概率為：1 0,n 為奇數(shù) ,n/2 1 nCnn/2(2)n 。故所求為： Cnn/22 n, n為偶數(shù).2分12分 。三、（15 分）設隨機變量具有對稱的分布密度函數(shù) p（x） ，即 p（x） p（ x） ，記它的分布F( a)1F(a) 0 p(x)dx（1）2 0 ；（2）P(| |a)2F(a) 1；（3）P(| |a)2(1 F(a) 。解（ 1）由于p(x)p( x), 故a0函數(shù)為 F（x） 。證明對任意的 a 0，有1ap( x) dxp(x)d

36、xap( x)dxaap( x)dx01p(x)dx 2,因而F ( a)p( x)dx ap(x)dxp( x) dxp(x)dx 1F(a)，F(xiàn)(a)a0p( x)dxp( x)dx0a p (x )dx1a2 0 p( x)dx即證（ 1）式； -（7 分）2）由（1）式，P(| | a)P ( aa) F(a) F ( a) 2F(a) 1，即得( 2)式；4 分）3）由（2）式，P(| | a) 1P(| |a) 1 (2F (a) 1) 2(1 ( 4 分)F （a） 即得（ 3）式。為 n 次獨立試驗中事件 A 出現(xiàn)的次數(shù)，若已知第i 次試驗時事件 A 出現(xiàn)的概率為 pi(i 1

37、,2,n) ，求 E ,D 。1,若第i次試驗 A發(fā)生,解記i 0,若第i次試驗A不發(fā)生 .i1,2, , n則由題意，ni 1 i 。 （ 6 分）顯然： E22i pi ,E ipi ，由期望，方差性質：Eni 1 E ii 1 ini 1 pi ,Varni 1Vari1n 2 ni i 1( pipi ) i 1pi (1 pi ).四、（ 14 分）設8 分）五、（14 分）已知隨機變量 與 的相關系數(shù)為 數(shù)，其中 a,b,c,d 均為常數(shù)， a, c皆不為 0。 解 由于，求 1 a b 與 1 c d 的相關系Cov( 1, 1 ) Cov(a b,c d)Cov(a , c )

38、 Cov(b, c ) Cov(a ,d) Cov(b,d)acCov(, ), （ 6 分）Var1 Var ( a b)a2Var,Var21 Var (c d) c Var . （ 4 分）注意到與 的相關系數(shù)為，故Cov( 1 , 1)ac1,a,c異號 ,11Var 1Var 2| ac |1a,c同號 . （4 分）(x 2 2xy y2)p （x, y）1 e六、（ 14 分）設 （ , ） 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 2 V ，求 U 與 V 的聯(lián)合密度，并證明它們之間相互獨立。u x y,x （u v） / 2,解 作變換 v x y. ，得 y （u v）/ 2.，其雅可比行列式

39、為 （ 4 分），記U1/21/21/21/ 21/2則（U,V） 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為1(u v) 22(uv)(u v) (u v)2 1p(u,v)exp(244 4 212 2 22 2 2exp(u)exp(v2).2244 （8 分）為可分離變量，故U 與V 相互獨立。- （ 2 分）1是相互獨立的隨機變量序列，都服從參數(shù)為七、（ 14 分）設n,nnnk 1( k E k )nk 1Var k的指數(shù)分布。記1(t)4 分）由特征函數(shù)性質，1 E 1k 1Var k1n的特征函數(shù)為：1n ( 1(t) n(1n)n it n e故 n 的特征函數(shù)為：n。 -根據(jù)級數(shù)展開，可得n (

40、 1(t)nit n it n(1 ) n e it n nit2nt 2 1itt2n11o( ) 1o( ) ennnn2nn由逆極限定理，證畢。1(t) (1)e4 分）4 分）通過計算 n的特征函數(shù)證明 n 服從中心極限定理。證： 由于 n ,n 1是相互獨立的隨機變量序列，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，故2E 1 1/ ,Var 1 1/ , 其特征函數(shù)為概率論試卷（五）一、填充題（每空格 3 分）（1）概率論的公理化定義中，概率是 (2) 設 ( , )N(0,1;1,4,1/2) ，則 COV( , )=（3）設營業(yè)員在單位時間接待顧客數(shù)服從參數(shù)為 的普阿松分布，則該營業(yè)員在接待兩位

41、顧客之間的“等待時間”服從 分布 .（4）設, 則 t= / / n t（n）分布 .二、是非題（每小體 3 分）（先回答“”或“×”，再簡述理由）.（1）若一次試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p，則 5 次重復獨立試驗中事件 A 至少發(fā)生兩次2 2 3 的概率為 C5 p (1 p)(2)設1, 2, , n 相互獨立，則它們兩兩不相關(3) f(t)=1/(1 t ) 是某隨機變量的特征函數(shù)(4)設 N(0,1),N(1,4) ，相關系數(shù), =1/2，則 ()N(0,1;1,4,1/2).三、( 18 分)隨機變量 的密度函數(shù)為 p(x)=12e |x|四、五、(1)求(3)求 E

42、/ 2 1 的密度； (2)求(5)求概率 P( < Var ).2的密度；(4)求 Var ;( 10 分) 5 張卡片上各寫號碼 1,2,3,4,5. 有放回地抽出 學期望和方差3 張卡片，求其上號碼總和的數(shù)12 分)設隨機向量 ( , )的聯(lián)合密度為p(x,y)= 2 1 r2 exp2(12 (x2 2rxy r2)2y2),x,y(1)求證相互獨立；(2)判斷 , 各自服從什么分布密度，名稱)？x1.01.11.21.31.41.52.02.53.0(x)0.8410.8640.8850.9030.9190.9330.9770.9940.999f(t)是特征函數(shù)，求證 f 2(

43、t) 與|f(t) |2也是特征函數(shù) .8 分)設( 8 分)某計算機系統(tǒng)有 60 個終端，每個終端有 40% 的時間在試用；若各終端使用與 否是相互獨立的，求同時有多于 40個終端在使用的概率 . 已知 :六、七、八、8 分) n 獨立同分布，密度為p(x)=e (x0,a)xax a ， n min, n九、求證 : nPa12 分) n 和是一列隨機變量，求證：(1)如果d則n；(2)如果c ， (c 為常數(shù) )，則 nPc概率論試卷(六)、填充題(每空格 3 分)(1)設事件 AB C，則 P(A)+P(B)1+P(C).四、(2)若 Cov()存在，則對任意常數(shù) a,b， Cov(a

44、(3)設 n 為獨立同分布隨機變量序列，b,2),)=i.則(4)關于 的方差和數(shù)學期望之間的關系式切貝曉夫不等式是指 (5)在 1500 件產(chǎn)品中設有 100 件次品，任取 10 件，則抽到次品數(shù)的數(shù)學期望為是非題(每小題 3 分)(先回答“”或“×”，再簡述理由)(1)某人射擊，每次中標的概率為 p. 連續(xù)射擊，擊不中即停，限射 5 次. 則他射擊次數(shù) 服從參數(shù)為 p 的幾何分布 .(2)Var( 1- 2 )=Var 1+Var 2 的充分必要條件是 1與 2 互不相關 .(3)設 1, 2 的特征函數(shù)分別為f( t1,t2) f1(t1) f 2(t2)，則1 (t)與 f

45、1 (t) ，且它們聯(lián)合分布的特征函數(shù)1, 2 相互獨立 .(4)設隨機變量 n, 的分布函數(shù)分別為 Fn(x)與 F(x) ，若 Fn(x)21分)設 1, 2相互獨立，都服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布 .(1)寫出( 1, 2 )的聯(lián)合密度和聯(lián)合分布函數(shù)；(2)計算 P( 1+ 2 <1)；(3)求 =max( 1/22 ) 的密度； (4) 計算 Ee 1 ；7 分)設 1,2n 的數(shù)學期望都為 0，方差都為 1，F(xiàn)(x) ，則/2(5)計算 Var(e 1/2 )；兩兩間相關系數(shù)都為2njj n 1 的相關系數(shù) .五、13 分)設 (,)的聯(lián)合密度為 p(x,y)=12 1 r ex

46、p1 2 (x2 2rxy2(1 r2)y2),- <x,y< (1)求的聯(lián)合密度；(2)判斷 , 是否相互獨立；(3) , 各自服從什么分布(密度，名稱)？六、( 7 分)設為隨機變量， f(x) 是(0,) 上非負單調不減函數(shù)，求證Ef (| |)對任意 x>0 ， P(| |>x)f(x) .七、( 15分) (1)正確敘述并證明林德貝格勒維中心極限定理；(2)某校共學生 1200 名，假定一學生連續(xù)不斷用水一小時需水 1/2 噸 . 問每天用水高峰 時 每小時要供應多少噸水才能有 95%的把握保證學生用水？(已知 (1.65)=0.95 )(最后結果保留一位小數(shù)) .八、( 10分)隨機變量序列 n , n相互獨