實(shí)驗(yàn)1-2常用的數(shù)據(jù)處理方法WORD

1、文檔可能無法思考全面，請(qǐng)瀏覽后下載! 1.7 常用的數(shù)據(jù)處理方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其處理方法是分析和討論實(shí)驗(yàn)結(jié)果的依據(jù)。常用的數(shù)據(jù)處理方法有列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法（直線擬合）等。1.7.1 列表法在記錄和處理數(shù)據(jù)時(shí)，常常將所得數(shù)據(jù)列成表。數(shù)據(jù)列表后，可以簡(jiǎn)單明確、形式緊湊地表示出有關(guān)物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；便于隨時(shí)檢查結(jié)果是否合理，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，減少和避免錯(cuò)誤；有助于找出有關(guān)物理量之間規(guī)律性的聯(lián)系，進(jìn)而求出經(jīng)驗(yàn)公式等。列表的要求是：（1）要寫出所列表的名稱，列表要簡(jiǎn)單明了，便于看出有關(guān)量之間的關(guān)系，便于處理數(shù)據(jù)。（2）列表要標(biāo)明符號(hào)所代表物理量的意義（特別是自定的符號(hào)），并寫明單位。單位及量

2、值的數(shù)量級(jí)寫在該符號(hào)的標(biāo)題欄中，不要重復(fù)記在各個(gè)數(shù)值上。（3）列表的形式不限，根據(jù)具體情況，決定列出哪些項(xiàng)目。有些個(gè)別的或與其他項(xiàng)目聯(lián)系不大的數(shù)據(jù)可以不列入表內(nèi)。列入表中的除原始數(shù)據(jù)外，計(jì)算過程中的一些中間結(jié)果和最后結(jié)果也可以列入表中。（4）表中所列數(shù)據(jù)要正確反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。列表舉例如表1-2所示。表1-2銅絲電阻與溫度關(guān)系溫度T / 10.020.030.040.050.060.070.0銅絲電阻R / W10.410.710.911.311.811.912.31.7.2 作圖法作圖法是將兩列數(shù)據(jù)之間的關(guān)系用圖線表示出來。用作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理的常用方法之一，它能直觀地顯示物

3、理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示物理量之間的聯(lián)系。1作圖規(guī)則為了使圖線能夠清楚地反映出物理現(xiàn)象的變化規(guī)律，并能比較準(zhǔn)確地確定有關(guān)物理量的量值或求出有關(guān)常數(shù)，在作圖時(shí)必須遵守以下規(guī)則。（1）作圖必須用坐標(biāo)紙。當(dāng)決定了作圖的參量以后，根據(jù)情況選用直角坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙或其他坐標(biāo)紙。（2）坐標(biāo)紙的大小及坐標(biāo)軸的比例，要根據(jù)測(cè)得值的有效數(shù)字和結(jié)果的需要來定。原則上講，數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中應(yīng)為可靠的。我們常以坐標(biāo)紙中小格對(duì)應(yīng)可靠數(shù)字最后一位的一個(gè)單位，有時(shí)對(duì)應(yīng)比例也適當(dāng)放大些，但對(duì)應(yīng)比例的選擇要有利于標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)和讀數(shù)。最小坐標(biāo)值不必都從零開始，以便做出的圖線大體上能充滿全圖，使布局美觀、合理。（3）標(biāo)明坐標(biāo)軸。對(duì)

4、于直角坐標(biāo)系，要以自變量為橫軸，以因變量為縱軸。用粗實(shí)線在坐標(biāo)紙上描出坐標(biāo)軸，標(biāo)明其所代表的物理量（或符號(hào)）及單位，在軸上每隔一定間距標(biāo)明該物理量的數(shù)值。9 / 10（4）根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)要用“+”“×”“”“”等符號(hào)標(biāo)出。（5）把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連接成圖線。由于每個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都有一定的誤差，所以圖線不一定要通過每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。應(yīng)該按照實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的總趨勢(shì)，把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成光滑的曲線（儀表的校正曲線不在此列），使大多數(shù)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)落在圖線上，其他的點(diǎn)在圖線兩側(cè)均勻分布，這相當(dāng)于在數(shù)據(jù)處理中取平均值。對(duì)于個(gè)別偏離圖線很遠(yuǎn)的點(diǎn)，要重新審核，進(jìn)行分析后決定是否應(yīng)剔除。在確信兩物理量之間的關(guān)系是線性的，或所有的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)

5、都在某一直線附近時(shí)，將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成一直線。（6）作完圖后，在圖的明顯位置上標(biāo)明圖名、作者和作圖日期，有時(shí)還要附上簡(jiǎn)單的說明，如實(shí)驗(yàn)條件等，使讀者能一目了然，最后要將圖粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告上。圖1-5為銅絲電阻與溫度之間的關(guān)系曲線。圖1-5 銅絲的電阻與溫度的關(guān)系曲線2用作圖法求直線的斜率、截距和經(jīng)驗(yàn)公式若在直角坐標(biāo)紙上得到的圖線為直線，并設(shè)直線的方程為，可用如下步驟求直線的斜率、截距和經(jīng)驗(yàn)公式。（1）在直線上選兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)。為了減小誤差，A、B兩點(diǎn)應(yīng)相隔遠(yuǎn)一些，但仍要在實(shí)驗(yàn)范圍之內(nèi)，并且A、B兩點(diǎn)一般不選實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。用與表示實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不同的符號(hào)將A、B兩點(diǎn)在直線上標(biāo)出，并在旁邊標(biāo)明其

6、坐標(biāo)值。（2）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)值分別代入直線方程，可解得斜率（1-27）（3）如果橫坐標(biāo)的起點(diǎn)為零，則直線的截距可從圖中直接讀出；如果橫坐標(biāo)的起點(diǎn)不為零，則可用下式計(jì)算直線的截距：（1-28）（4）將求得的k、b的數(shù)值代入方程中，就得到經(jīng)驗(yàn)公式。3曲線的改直在實(shí)際工作中，許多物理量之間的關(guān)系并不都是線性的，但仍可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q而成為線性關(guān)系，即把曲線變換成直線，這種方法叫做曲線改直。作這樣的變換不僅是由于直線容易描繪，更重要的是直線的斜率和截距所包含的物理內(nèi)涵是我們所需要的，例如：（1），式中a，b為常量，可變換成的線性函數(shù)，斜率為b，截距為lg a。（2），式中a，b為常量，可變

7、換成的線性函數(shù)，斜率為lg b，截距為lg a。（3）PV=C，式中C為常量，可變換成P=C(1/V)，P是1/V的線性函數(shù)，斜率為C。（4），式中p為常量，可變換成的線性函數(shù)，斜率為。（5），式中a，b為常量，可變換成的線性函數(shù)，斜率為a，截距為b。（6），式中為常量，可變換成的線性函數(shù)，斜率為，截距為。1.7.3 逐差法逐差法又稱逐差計(jì)算法，一般用于等間隔線性變化測(cè)量中所得數(shù)據(jù)的處理。由誤差理論可知，算術(shù)平均值是若干次重復(fù)測(cè)量的物理量的近似值。為了減少隨機(jī)誤差，在實(shí)驗(yàn)中一般都采用多次測(cè)量。但是在等間隔線性變化測(cè)量中，若仍用一般的平均值方法，我們將發(fā)現(xiàn)，只有第一次測(cè)量值和

8、最后一次測(cè)量值起作用，所有的中間測(cè)量值全部抵消。因此，這種測(cè)量無法反映多次測(cè)量的特點(diǎn)。以測(cè)量彈簧倔強(qiáng)系數(shù)的例子來說明逐差法處理數(shù)據(jù)的過程。如有一長(zhǎng)為x0的彈簧，逐次在其下端加掛質(zhì)量為m的砝碼，共加7次，測(cè)出其對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度分別為，從這組數(shù)據(jù)中，求出每加單位砝碼彈簧的伸長(zhǎng)量x。這種處理僅用了首尾兩個(gè)數(shù)據(jù)，中間值全部抵消，因而損失掉很多的信息，是不合理的。若將以上數(shù)據(jù)按順序分為和兩組，并使其對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，就有（1-29）這種逐差法使用了全部的數(shù)據(jù)信息，因此，更能反映多次測(cè)量對(duì)減少誤差的作用。1.7.4 最小二乘法（線性回歸）作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個(gè)很便利的方法，但在圖線的繪制上往往帶有較大的任意性，

9、所得的結(jié)果也常常因人而異，而且很難對(duì)它作進(jìn)一步的誤差分析。為了克服這些缺點(diǎn)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究了直線擬合問題（或稱一元線性回歸問題），常用一種以最小二乘法為基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線型的函數(shù)可以通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換而改寫成直線方程，這一方法也適用于某些曲線型的規(guī)律。下面就數(shù)據(jù)處理中的最小二乘法原理作簡(jiǎn)單介紹。設(shè)在某一實(shí)驗(yàn)中，可控制的物理量取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的物理量依次取值。假定對(duì)值的觀測(cè)誤差很小，而主要誤差都出現(xiàn)在的觀測(cè)上。顯然，如果從(,)中任取兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就可以得出一條直線，只不過這條直線的誤差有可能很大。直線擬合的任務(wù)便是用數(shù)學(xué)分析的方法從這些觀測(cè)到的數(shù)據(jù)中求出最佳的經(jīng)驗(yàn)公式。按這一經(jīng)驗(yàn)

10、公式作出的圖線不一定能通過每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但是它是以最接近這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的方式穿過它們的。很明顯，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)值，測(cè)得值和最佳經(jīng)驗(yàn)公式中的y值之間存在一偏差，我們稱為測(cè)得值的偏差，即最小二乘法的原理就是：如果各測(cè)得值的誤差相互獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布，當(dāng)?shù)钠畹钠椒胶蜑樽钚r(shí)，得到最佳經(jīng)驗(yàn)公式。若以S表示的平方和，它應(yīng)滿足：（1-30）式中，各和是測(cè)得值，都是已知量，所以解決直線擬合的問題就變成了由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)組（,)來確定k和b的過程。令S對(duì)k的偏導(dǎo)數(shù)為零，即整理得（1-31）令S對(duì)b的偏導(dǎo)數(shù)為零，即整理得（1-32）由式（1-31）和式（1-32）解得（1-33）（1-34）將得出的k和b的數(shù)值代入直

11、線方程中，即得最佳的經(jīng)驗(yàn)公式。由式（1-32）得（1-35）式中，和分別是數(shù)據(jù)中的平均值和的平均值，即式（1-35）可寫為（1-36）將上式代入方程中，得（1-37）由式（1-37）我們可以看出，最佳直線是通過這一點(diǎn)的。因此，嚴(yán)格地說在作圖時(shí)應(yīng)將點(diǎn)在坐標(biāo)紙上標(biāo)出。作圖時(shí)應(yīng)將作圖的直尺以點(diǎn)為軸心來回轉(zhuǎn)動(dòng)，使各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)與直尺邊線的距離最近而且兩側(cè)分布均勻，然后沿直尺的邊線畫一條直線，即為所求的直線。必須指出，實(shí)際上只有當(dāng)x和y之間存在線性關(guān)系時(shí)，擬合的直線才有意義。為了檢驗(yàn)擬合的直線有無意義，在數(shù)學(xué)上引進(jìn)一個(gè)叫相關(guān)系數(shù)r的量，它的定義為（1-38）式中，r表示兩變量之間的函數(shù)關(guān)系與線性函數(shù)的符合程度

12、。r越接近1，和的線性關(guān)系就越好；如果它接近于零，就可以認(rèn)為和之間不存在線性關(guān)系。物理實(shí)驗(yàn)中，如果r達(dá)到0.999，則說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性關(guān)系良好，各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)聚集在一條直線附近。注意：用最小二乘法處理前一定要先用作圖法作圖，以剔除異常數(shù)據(jù)。上面介紹了用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)公式中的常數(shù)k和b的方法。用這種方法計(jì)算出來的k和b是“最佳的”，但并不是沒有誤差。它們的不確定度估算比較復(fù)雜，這里就不介紹了。思 考 題1舉例說明系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因以及消除和修正的方法。2對(duì)恒溫室標(biāo)準(zhǔn)溫度20測(cè)量15次，其值如下：20.42，20.43，20.40，20.43，20.42，20.43，20.39，20.30，20.40，20.43，20.42，20.41，20.39，20.39，20.40。其中有否異常數(shù)據(jù)需剔除?若有，則剔除后它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差是多少?3將下列數(shù)據(jù)化整為三位有效數(shù)字：3.8547，2.3429，1.6750，1.5435，3.8706，0.4333，7.6824，3.6612，2.4384，6.2650，8.954 × 105，0.2000。4將下列兩個(gè)物理量進(jìn)行單位換算，并將結(jié)果寫成科學(xué)表達(dá)式：（1）將m = (312.670 ± 0.00