小學(xué)奧數(shù)幾何類幾何圖形周長和面積的基本計(jì)算圖形的分割.題庫版

1、4-2-4.圖形的分割4-2-4圖形的分割題庫page 12 of 9mwie 知識(shí)點(diǎn)撥幾何面積問題除了利用常規(guī)的五大模型、各種公式求得之外，還可以用圖形分割的思想來做。我們發(fā)現(xiàn),在迎春杯幾何問題中，這類題目很多。掌握好這種思想方法，可以幫助我們解決很多幾何難題。解題關(guān)鍵：分割其實(shí)就是運(yùn)用特殊的三角形（等角直角三角形、等邊三角形等）、正方形、等邊圖形的特殊性質(zhì)進(jìn)行分割而得，所以分割的關(guān)鍵是利用了特殊圖形的關(guān)系解題。解題思想：這其實(shí)就是一種化整為零的思想，各位同學(xué)不僅要學(xué)會(huì)幾何題中的這種方法，更要細(xì)細(xì)體味這種思想在解決各種問題中的妙用。以他蚱模塊一、簡單分割例題精講【例1】3個(gè)相同的正方形紙片按

2、相同的方向疊放在一起（如圖），頂點(diǎn)A和B分別與正方形中心點(diǎn)重合，如果所構(gòu)成圖形的周長是 48厘米，那么這個(gè)圖形覆蓋的面積是 平方厘米.【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，迎春杯，中年級(jí)組，復(fù)試， 4題【解析】將這3個(gè)正方形分割，可知這個(gè)圖形的周長即為兩個(gè)正方形紙片的周長之和，故正方形邊長為483=6（厘米），則圖中每個(gè)分割得到的小正方形邊長為6妥=3 （厘米），所以這個(gè)圖形覆蓋的面積為6 X6 >2+3 X3 >2=90 （平方厘米）?！敬鸢浮?0平方厘米【例2】 正方形ABCD的面積是1平方米，將四條邊分別向兩端各延長一倍，連結(jié)八個(gè)端點(diǎn)得到一個(gè)正方 形

3、（如圖），求大正方形的面積.rBr二【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】2星 【題型】解答9個(gè)小正方形組成，所以，大正方【解析】四條邊分別向兩端各延長一倍，很容易可以觀察出，大正方形有 形的面積是：1父9 =9（平方米）.【答案】9平方米【例3】 將邊長為a的正方形各邊的中點(diǎn)連結(jié)成第二個(gè)正方形，再將第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)連結(jié)成第三個(gè)正方形,依此規(guī)律，繼續(xù)下去，得到下圖那么，邊長為 倍.a的正方形面積是圖中陰影部分面積的【考點(diǎn)】圖形的分割【關(guān)鍵詞】2003年,【難度】3星【題型】填空希望杯，第一屆，四年級(jí)，復(fù)賽，第6題，4分例4 陰影部分是大正方形的0.5 >0.5 X0.5 X0.5=,所以正方形

4、是陰影的16倍1616倍正三角形ABC的面積是1平方米，將三條邊分別向兩端各延長一倍，連結(jié)六個(gè)端點(diǎn)得到一個(gè)六邊 形（如右圖），求六邊形的面積.【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】3星【題型】解答采用分割法，過 A、B、C分別作平行線，得到右上圖，其中所有小三角形的面積都相同，所以六 邊形面積等于13平方米.13平方米例5 組成如下正六邊形ABCDEF的面積是1平方米，將六條邊分別向兩端各延長一倍，交于六個(gè)點(diǎn), 圖的圖形，求這個(gè)圖形的面積.12個(gè)小三角形,1父2=2 （平【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】3星【題型】解答采用分割法，連接正六邊形的對(duì)角線，會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有的三角形面積都相同，一共有 原來正六邊形的面積是

5、 1平方米，由6個(gè)小三角形組成，所以現(xiàn)在的大圖形的面積是:方米）例6 長方形 ABCD的面積是40平方厘米，E、F、G、H分別為AC、AH、DH、BC的中點(diǎn)。三角形EFG的面積是平方厘米。2平方米【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第五屆，走美杯，五年級(jí)，初賽，第 3題11 一 【解析】40 X- 5-=5 （平萬厘米）2 4【答案】5平方厘米【例7】 把同一個(gè)三角形的三條邊分別5等分、7等分（如圖1,圖2）,然后適當(dāng)連接這些等分點(diǎn)，便得到了若干個(gè)面積相等的小三角形.已知圖1中陰影部分面積是 294平方分米，那么圖 2中陰影部分的面積是 平方分米.【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】3星

6、【題型】填空一 ，、，一* 一 ，12 一圖1中陰影部分占整個(gè)三角形面積的上，圖252中陰影部分占整個(gè)三角形面積的,故圖2中陰影49部分的面積為294+12X16 =200（平方分米）.25 49200平方分米【例8】右圖中的大正方形是多少？ABCD的面積是1,其它點(diǎn)都是它所在的邊的中點(diǎn)。請(qǐng)問：陰影三角形的面積【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】第四屆，華杯賽，初賽，第 6題【解析】圖中有大、中、小三個(gè)正方形，每個(gè)面積是前一個(gè)的-,所以小正方形面積是 -,將小正方形各頂24點(diǎn)標(biāo)上字母如右圖，很容易看出三角形JFG面積=三角形IHG面積=X正方形EFGH面積，三角4形EJI面積=

7、1 X三角形EFH面積=-ME方形EFGH面積。所以陰影三角形 JGI面積=（1 -4844-）切、正方形面積= -瀏、正方形面積= 。883232【例9】下圖中有四條弦，每一條弦都把大圓分割成兩個(gè)面積比為1:3的區(qū)域，而且這些弦的交點(diǎn)恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)。這些弦把圓分割成9個(gè)區(qū)域，則此正方形的面積是區(qū)域P面積的倍。（r=3.14）【考點(diǎn)】圖形的分割【關(guān)鍵詞】2010年，學(xué)而思杯，6年級(jí)，第1題【解析】去掉兩邊的弓形之后，中間部分面積是整個(gè)圓的一半，橫豎兩塊中間部分面積和就等于圓面積，所以重疊部分面積等于 4個(gè)P面積的和。即正方形面積是 P的4倍。模塊二、化整為零【例10在圖中，三角形

8、ABC和DEF是兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形，其中 DF長9厘米，CF長3厘 米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：如圖，將原題中圖形分為12個(gè)完全一樣的小等腰三角形. ABC占有9個(gè)小等腰三角形,其中陰影部分占有6個(gè)小等腰三角形，$ abc =9>9妥=40.5（平方厘米），所以陰影部分的面積為40.5 9 >6=27（平方厘米）.方法二：如圖，連接IG,有四邊形ADGI為正方形，易知FG=FC=3（厘米），所以DG=DF-FG=9-3=6（厘 1 一12米），于是SShig = xSe方形aigd=7 X6 =9.而四邊

9、形IGFB為長萬形，有BF=AD=DG=6（厘米），GF=3（厘 米），所以 S方形IGFB =6 X3=18.陰影部分面積為 A HIG與長方形IGFB的面積和，即為 9+18=27（平方 厘米）.方法三：如圖，為了方便敘述，將圖 6-10中某些交點(diǎn)標(biāo)上字母.易知三角形 BIE、CGF、AIH、DGH均為等腰直角三角形.先求出等腰直角三角形 AHI、CGF的面積，再用已知的等腰三角形ABC的面積與其作差,181119即為需求陰影部分的面積.有S A ABC = SA DEF = XEFXDF= 一 , SCGF = >CF XFG=.2222因?yàn)?CF=FG=3 ,所以 DG=DF-F

10、G=6 .SA AIH = SA DGH =9 ,如圖，可以將4個(gè)三角形DGH拼成一個(gè)邊長為 DG的正方形.1所以，SA ACD SA DGH = XDGX DG=9 ,而-9-9=27（平方厘米）.24所以 SK影 BFGHI = S A ABC - SA CGF -SAAIH = 即陰影部分的面積為 27平方厘米.【答案】27平方厘米N點(diǎn)為正方形的邊的中點(diǎn)，陰影部【例11】正方形ABCD與等腰直角三角形 BEF放在一起（如圖），M、分的面積是14cm2,三角形BEF的面積是 cm2?！究键c(diǎn)】圖形的分割【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第五屆，走美杯，四年級(jí)，初賽，第 8題【解析】因?yàn)镸、N

11、是中點(diǎn)，故我們可以將該圖形進(jìn)行分割，所得圖形如下FE圖形中的三角形面積都相等，陰影部分由7個(gè)三角形組成，且其面積為 14平方厘米，故一個(gè)三角形的面積為2平方厘米，那么三角形 BEF的面積是18平方厘米?！敬鸢浮?8平方厘米2、8、58,則、【例12】一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形如圖擺放，、這三塊的面積分別是這兩塊的面積差是【考點(diǎn)】圖形的分割【關(guān)鍵詞】2008年，迎春杯，五年級(jí)，初賽， 7題【解析】由于的面積是的4倍，所以可以把 分成4倍的，而兩個(gè) 為一個(gè)方格，一個(gè)方格的面積為2m2=4.根據(jù)58 +2=60,則與一共是60 + 4=15格，所以與是3M5的長方形.所以正方形邊長是 的直角邊長

12、的5倍，等腰直角三角形直角邊長是 的直角邊長的7倍，則的格數(shù)為8 格，的格數(shù)為10格，、這兩塊的面積差是108=2（格），1格的面積為4,所以、這兩 塊的面積差為4 M2 =8.【例13如圖4,在長方形ABCD中，E、F、G分別是BC、CD、DA上的點(diǎn)，且使得四邊形 AEFG是 直角梯形，/GAE=45： GF ： AE=2 ： 3 .如果梯形AEFG的面積是15平方厘米，那么長方形 ABCD 的面積是 平方厘米.【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，迎春杯，高年級(jí)組，初試， 9題【解析】這是一道幾何問題，重點(diǎn)考察同學(xué)們對(duì)等腰直角三角形性質(zhì)的認(rèn)識(shí).方法一：在長方形AB

13、CD中，由于四邊形AEFG是直角梯形，ZGAE=45° ,可知/DGF =NDFG =NCFE=NFEC =/EAB=NBEA=451 所以，4口6尸、ACEF > 4ABE 都是等腰直角三角形.故可將長方形 ABCD分割，如圖6:GFCEB顯然，S梯形 AEFG =10SACEF , SABCD =24SCEF ,一 24 一24SABCD =S弟形AEFG = 父15 =36平方厘米.1010方法二：在直角梯形 AEFG中，AE/GF,由/GAE =45口，可知/GDF = 45口，因?yàn)橹苯侨切?GDF與 ABE的斜邊GF ： AE=2 ：3,所以 直角邊 DF ： AB

14、 = 2 ：3,故FC ： AB = 1 ：3.于是，DF：FC： AB=2 ：1 ：3 ,Spfg：Sef：S&be=4 ：1：9 .連結(jié) DE ,則Sa det3Saf,eccc1.10cSa dec +Sa aeb =Sabcd, sabcd _ 24Sacef,S弟形 aefg 10SaCEF 二一一Sabcd,所 以224八 24-24Sabcd = S梯形AEFG = 父15=36千方厘米.1010【答案】36平方厘米1, 1, l, 1, 2, 3.大長方形【例14】一個(gè)長方形和一個(gè)等腰直角三角形如圖放置，圖中六塊的面積分別為的面積是【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】4星【題型】

15、填空【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，5年級(jí)，決賽，第3題，8分【解析】面積為2的部分可以劃分為兩個(gè)單位三角形，并可觀察出，空白部分可以劃分為 所以，大長方形的面積為1+1 + 14+3=19?！敬鸢浮?914個(gè)單位三角形?！纠?5】如右圖，一個(gè)面積為 2009平方厘米的長方形，被分割成了一個(gè)長方形、兩個(gè)等腰直角三角形、個(gè)梯形.已知除了陰影長方形外，其它的五塊面積都相等，且B是AC的中點(diǎn)；那么陰影長方形的面積是平方厘米.2.因?yàn)锽是AC的中點(diǎn), 2a 十一=2a，其中左右兩個(gè)梯形,2上底比下底短可求得左右兩個(gè)梯形的上底為2竺，下底為45a .上邊的梯形，上底比下底短 4可求得上邊的梯形上底

16、長為以大長方形的面積為7a45a下底長電.所以長方形的寬為235a-,而陰影長方形的面積為3aa 一 二4謔87 a a5 a,長為一+a+a= 一422所以陰影長方形的面積為【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】4星【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2009年，迎春杯，五年級(jí)，初賽， 7題【解析】方法一：設(shè)等腰直角三角形的腰長為a,那么等腰直角三角形的面積為那么可以判斷三個(gè)梯形的高都是 a.這樣每個(gè)梯形的兩底之和為235 152009 丁一 M =861 .88方法二：利用圖形分割如下圖知道左右兩個(gè)角上的直角三角行可以分割為四個(gè)小直角三角行看做20份，長方形的面份，因?yàn)閮蓚€(gè)等腰直角三角形、三個(gè)梯形的面積相等，所以

17、這五部分共可以看作積可以看作15份，所以整個(gè)圖形被20+15=35（份），那么陰影長方形的面積是 2009子35M15=861（平 方厘米）【答案】861平方厘米【例16】如圖中正六邊形的面積為 24,其中A、B、C都是所在邊的中點(diǎn)，D是BC的三等分點(diǎn)，陰影部分 的面積是。ACD【題型】填空【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】5星 【關(guān)鍵詞】2010年，學(xué)而思杯，4年級(jí)，第7題【解析】5在格點(diǎn)圖中，每個(gè)小三角形的面積是1,可以數(shù)出陰影外面的部分19,那么陰影部分的面積是 5。【答案】5【例17】正六邊形A1A2A3A4A5A6勺面積是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6 分別是正六邊形各

18、邊的中點(diǎn);那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米.A1B1A2A5JB4【考點(diǎn)】圖形的分割【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，迎春杯，六年級(jí)，初賽， 14題【解析】如圖，設(shè)B6A2與的交點(diǎn)為O,則圖中空白部分由6個(gè)與A2OA3一樣大小的三角形組成，只要求出了 A2。4的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積A1B1A2OB2B5A5 B4 A4連接 A3A3、B6B1、B6A3設(shè) AB1B6的面積為 T；則 BA2B6面積為 T； AA2B6面積為“2 :那么 AeABe面積為 A1A2B6的2倍，為“4；梯形AA2AA6的面積為2M2+4父2=12, B6A3的面積為“6； BAA3的面積為2612根據(jù)蝴蝶定理，RO =A3。=S4b1A2