二次函數(shù)與周長(zhǎng)最小的問(wèn)題解析

1、周長(zhǎng)最小問(wèn)題基本解題方法：1 .如圖，已知拋物線=。/一41+9經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （0, -6）和8 （3, -9）.（1）求拋物線的解析式：（2）寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)：（3）點(diǎn)尸（/，?）與點(diǎn)。均在拋物線上（其中?>0）,且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求，的值及 點(diǎn)。的坐標(biāo)：（4）在滿足（3）的情況下，在拋物線的對(duì)稱軸上尋找一點(diǎn)M,使得QMA的周長(zhǎng)最小.p/x02-4x04-c=-6 解：（1）依題意有彳，,L/x32-4x3+c=-9，拋物線的解析式為：y=x2-4x-6 5分（2）把丁=/4x6 配方,得 y= （x2） L10對(duì)稱軸方程為x=2 7分頂點(diǎn)坐標(biāo)（2, -10）

2、 10分（3）由點(diǎn)尸（，",）在拋物線上得 ?=/-41一6 12 分即 J5l6=0= 6 或m2=-1 （舍去）13 分：.P （6, 6）.點(diǎn)P、。均在拋物線上，且關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱:.Q （-2, 6） 15 分（4）連接AP、AQ,直線AP與對(duì)稱軸x=2相交于點(diǎn)M由于尸、。兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)的交點(diǎn)時(shí)能夠使得 QMA的周長(zhǎng)最小 17分2 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線），=一用工一力與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線）= ax2-x+c （“WO）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C,與x軸交于另一點(diǎn)5.<1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：（2）若產(chǎn)是拋物線上

3、一點(diǎn)，且ABP為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線AC上是否存在點(diǎn)。，使得的周長(zhǎng)最小，若存在，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.VIB x（1）:直線）=-力工一力與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于。" (-1, 0), C (0, -V3 )點(diǎn)A,。都在拋物線上“+”=oc= >/3，拋物線的解析式為 >=空/一生，1一白=史（一）2一®，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1, 一拽） 33333（2）令亙/一至刀一右=0,解得占=-1,心=3：.B （3, 0）33"82=（1+3）2=16, 472=尸+（百）2=% 8。2=3?+（上尸=12：.AC2+BC2=

4、AB29 ABC是直角三角形，尸（0, 一6）由拋物線的對(duì)稱性可知P2的縱坐標(biāo)為一石，代入拋物線的解析式求得：Pz（2, -V3） ?477P ao（3）存在.延長(zhǎng)8c到點(diǎn)/，使夕C=8C,連接夕。交直線AC于點(diǎn)Q,則。點(diǎn)就是所求的點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)8'作軸于在 RtZBOC 中，9：BC= 4n = 273 ,：.BC=2OC：.ZOBC=30Q:.B'H=LbB'=BC=2B BH= B'H=6, ：0H=32，"（一3, - 2塢）設(shè)直線8力的解析式為y="+，則：7解得廠10V3戶一故在直線AC上存在點(diǎn)。，使得。8。的周長(zhǎng)最小，。點(diǎn)的坐標(biāo)為（,

5、，一絲生）3.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0AC8的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、8分別在x軸、y軸的正半軸上, 0A = 3, 08=4,。為邊08的中點(diǎn).< I）若E為邊0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（II）若E、E為邊QA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐 標(biāo).解：（【）如圖1,作點(diǎn)。關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接。與X軸交于點(diǎn)E,連接。E若在邊。4上任取點(diǎn)E'（與點(diǎn)E不重合），連接CE'、DE DE由 DEf+CE,=D,Ef+CE,>CDf=DlE+CE=DE+CE可知CDE的周長(zhǎng)最小;在矩形。4c5

6、中，0A = 3, 0B=4,。為邊08的中點(diǎn)圖1:BC=3, D'0=D0=2, D'B=6：OEBC, ；.RtAD'OEsRtAD'BC,：.= BC DBryo2：.OE=- BC=2 X3=1DB6二點(diǎn)上的坐標(biāo)為（1, 0） 6分(II)如圖2,作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)O',在C8邊上截取CG = 2,連接。七與工釉交于點(diǎn)E,在E4上截取EE=2,則四邊形GEEC為平行四邊形，得GE=CF又DC、EF的長(zhǎng)為定值，此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CQEE的周長(zhǎng)最小cf ryo：OEBC, ；.RtAD'OEsRtAD'BG,：.-= BG

7、 DrB：.OE= .BG= (BC-CG) = - xl = l DrB DrB6317:.OF=OE+EF= _ +2= _33I7工點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1, 0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，0) 10分333.如圖，拋物線y=a.N+法+4與工軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A (4, 0)、B (2, 0),頂點(diǎn)為。.E (1, 2)為線段8C的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與X軸、y軸分別交于F、G.(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)。的坐標(biāo):(2)在直線EF上求一點(diǎn)H,使CO的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng):(3)若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，EFK的面積最大？并求出最大,b=-12，拋物線的函

8、數(shù)解析式為y=-，N-刀+4,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-1, 2） 224分（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M.因?yàn)镋F垂直平分BC,即。關(guān)于直線EG的對(duì)稱點(diǎn)、為B,連結(jié)3。交EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)從DH+CH=DH+HB=BD=BM7DM2 =-/13 2而 CQ=+- 4>=立V22:CDH的周長(zhǎng)最小值為CD+OR+C= 正±+曳. 2'為+"=0設(shè)直線3。的解析式為y=hr+6，則/2 _9一攵十方=2解得 =-二，b = 32直線BD的解析式為，=-3+32使。+。最小，即最小為：6 分:D :、8c=5 RtACEGRtACOBCE：CO=CG：CB

9、.:CG=二，G0=二 22同理可求得直EF的解析式為y= -x+ - .22=一*3產(chǎn)聯(lián)立1解得11 JA Jy=x+y=I 22I 8故使CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)坐標(biāo)為（L：.G (0,二)2,A.V ;(3)設(shè) K(6 一/一+4), 2貝ij KN=?k -yN = - ； J -e S"FK =Sz(FN +SdKNE= 1kNQ+3) +12:=-/3/+5 =-4 X/；/xF<t<xE.過(guò)K作x軸的垂線交EF于N;.z1 3、1 2 315f+4- ( f + )= 1 f+ 22222-KN(l-f)=2KN3 , 29 (/+ ) -4" -10

10、 分24.當(dāng).時(shí)，EFK的而枳最大，最大面積為此時(shí)K （一上，）242814分4 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形A8C。，其頂點(diǎn)為A （0, 1）、B （一 3力，1）、c （- 30,4730）、O （0, 0）.將此矩形沿著過(guò)E （ 一指，1）、F （一 亍，0）的直線E尸向右下方翻折，B、。的 對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為8； C .（1）求折痕所在直線EF的解析式；（2） 一拋物線經(jīng)過(guò)夙E、3,三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；（3）能否在直線EF上求一點(diǎn)P,使得PBC周長(zhǎng)最??？如能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不能，說(shuō)明理 由.解：（1）由于折痕所在直線E/過(guò)E （-白，1）、尸（一 土，0）3：.tanZEF

11、O= £ ,直線EF的傾斜角為60°.直線EF的解析式為：y- =tan60° G ）化簡(jiǎn)得：y=VJx+43分（2）設(shè)矩形沿直線所向右下方翻折后，B、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為"（足，yi）, C'（x2, y2）過(guò)夕作B'A'LAE交AE所在直線于A'點(diǎn)；B'E=BE= 26,/B'EF= ZBEF= 60°，N/EA'=60。，：.AfE=y3 , 8T=3，A與A重合，在y軸上，Aa-1=0,6=-2,即夕（0, -2）【此時(shí)需說(shuō)明B' 8）在y軸上】6分設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c:拋物線經(jīng)過(guò) 5（-3后，1）. E （-V3 , 1）、B9 （0, -2）274- 3用?+。=1 3a- 5/3 +c= 1 c=-21 a 34廠解得=q指c = -2該二次函數(shù)解析式為：），=一1一士上計(jì)2. 33 9（3）能，可以在直線石尸上找到P點(diǎn)，連接交EF于P點(diǎn)，再連接8P由于B'P=BP,此時(shí)點(diǎn)P與。、8'在一條直線上，故BP+PC=B&#