高等數(shù)學(xué)期末考試試題

1、重慶三峽學(xué)院 2008至2009學(xué)年度第2期高等數(shù)學(xué)（二）試題（A）試題使用對(duì)象2008 級(jí) 工科各 專業(yè)（本科）命題人：陳曉春考試用時(shí) 120分鐘答題方式采用：閉卷第9頁(yè)，共5頁(yè)說明：1、答題請(qǐng)使用黑色或藍(lán)色的鋼筆、圓珠筆在答題紙上書寫工整。2、考生應(yīng)在答題紙上答題，在此卷上答題作廢。、填空題（每小題 3分，本題共15分）2.D:x2R2,貝U，x2 y2dxdyD3.2:xR2,則 dxdydz收斂，則5 .微分方程yex 1的通解二.單項(xiàng)選擇題（每小題 3分，本題共15分）f （x, y）在（Xo, yo）點(diǎn)有定義。f （x, y）在（x0, y0）點(diǎn)存在極限。1.存在 fx（Xo,yo

2、），fy （Xo yo ）。則有（）。A, z f （x,y）在（刈，丫。）點(diǎn)連續(xù)。 BC, z f (x, y)在(x0,y0)點(diǎn)可微。D3. zun收斂，則下列級(jí)數(shù)1）也收斂。A,1 +unn 1(Un 1) C , n 1unD,n 1(1) unn 13x12y20的極大值點(diǎn)為（A(1,2)B(-1,2)C (-1,-2)D (1,-2)4.設(shè)曲線L:a cost asintt 0,2,則曲線積分ds“2A、 aB、2 a23C、 aD、2 a35.表達(dá)式 P(x, y)dxQ（x, y）dy為某一函數(shù)的全微分的充要條件是（A、P= Q.,B、二、計(jì)算題1、設(shè)函數(shù)（每小題8分,P =Q

3、y xC、共7小題，共56分）f （x y,xy）,具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求Q D _P= _Q y ' y x2u u一?x x y222、求曲線 x 2t2 7t,y 4t 2,z 5t24t在點(diǎn)（5, 6,1）處的切線及法平面方程。Ix2dxdy,其中DD是由曲線xy 2 , y 1 x2及直3、畫出積分區(qū)域的草圖，并計(jì)算二重積分線x 2所圍成的區(qū)域。4、求哥級(jí)數(shù)2）的收斂半徑與收斂域。n 1. n5、設(shè)f（x） x（0 x 2）,將f （x）展成以4為周期的正弦級(jí)數(shù)。、一 3.3.3 2222一，一6 .計(jì)算 x dydz y dzdx z dxdy,其中 是球面x y z R的

4、外側(cè)。7 .求微分方程xy y 1的通解。三、應(yīng)用題（7分）求棱長(zhǎng)之和為12l l 0 ,且具有最大體積的長(zhǎng)方體體積。四、綜合題（7分）已知上半平面內(nèi)一曲線y y（x）（x 0）過點(diǎn)（0,1）,且曲線上任一點(diǎn) M （x, y）處切線斜率數(shù)值上等于此曲線在0到x之間所形成的曲邊梯形面積的兩倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.重慶三峽學(xué)院2008至2009學(xué)年度第2期高等數(shù)學(xué)（二）試題（A）答案試題使用對(duì)象 ： 全院2008 級(jí) 工科各 專業(yè)（本科）命題人：陳曉春 考試用時(shí) 120分鐘答題方式米用：閉卷填空題（每小題 3分，本題共15分）2.R3R33.4.x 125. y e x Cx C22二.

5、單項(xiàng)選擇題（每小題 3分，本題共15分）1. B2. A3. C4. D5. A二、計(jì)算題（每小題 8分，共7小題，共56分）f （x y,xy）,具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2uOx y解.xf1f2y fnx3yf21xyf22f22、求曲線X22t2 7t,y4t 2,z25t24t在點(diǎn)(5, 6,1）處的切線及法平面方程。解:1對(duì)應(yīng)點(diǎn)（5,6,1)對(duì)應(yīng)的切線方向向量(x(t),y(t),z(t)|t1 (4t7,4,10t4)|t 1(3,4, 6)4 分切線方程法平面方程為3(x 5)4( y6) 6(z 1)或 3x 4y6z 45 03、畫出積分區(qū)域的草圖，并計(jì)算二重積分2 xdy2x

6、x2dxdy ,其中D是由曲線xy 2 , y 1 x2及直D線x 2所圍成的區(qū)域。解：圖21.2 ,I x dx12x2(112)dx x2(x212x)dxr 1 3 3x2 2x i83154、求哥級(jí)數(shù)（x 4）的收斂半徑與收斂域。- n解：令ts、，tnx 2 ,上述級(jí)數(shù)變?yōu)開t_n 1 . n因?yàn)閘imnan 1an. nlim j=1,所以收斂半徑 R = 1。n n 15、設(shè)解:6.7.時(shí),1 .,發(fā)散；當(dāng)t = -1時(shí)，級(jí)數(shù)1 .n(1)n收斂;f(x)x(01 x 2 1 ,故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? xx 2),將f (x)展成以4為周期的正弦級(jí)數(shù)。將f (x)延拓為周期為4的奇

7、函數(shù)，其Fourier系數(shù)anbn0,n 0,1,2,f (x)sin nxdx2xsin02xcos n4cosn nn x ,dx2n x 22 sin3。1分3分6分8分n1) ,n1,2,3,2cos0n x dx24f (x)n1(1 nn 1. n1) sin 一3計(jì)算 x dydz解。由高斯公式可得223 (x y求微分方程xy y解：令 yp(x), yC1 ln x三、應(yīng)用題(7分)3dzdx z dxdy,其中2是球面x6分8分2R的外側(cè)。x3dydzy3dzdxz3dxdyz2)dv 31的通解。1一 dxx (C2求棱長(zhǎng)之和為12l l解：設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為0dR 4

8、.r sin 0dr121一 dxx dx C)1(x xCi)且具有最大體積的長(zhǎng)方體體積ox, y,z。 則 x y z 3l ,目標(biāo)函數(shù) V xyz令 L xyz x y z 31Lxyz0Lyxz0由Lzxy0L x y z 3l 0解得 x y z l (唯一駐點(diǎn)) 由實(shí)際問題知長(zhǎng)方體體積的最大體積一定存在，因此 V l,l,l l3即為所求.7分四、綜合題(7分)已知上半平面內(nèi)一曲線y y(x)(x 0)過點(diǎn)(0,1),且曲線上任一點(diǎn) M (x, y)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線在0到x之間所形成的曲邊梯形面積的兩倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.x解：依題意，得y 2 ydx y2分0