概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)題庫1

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)題庫(1)作者:日期:一、事件的關(guān)系與運(yùn)算1、設(shè)A表示事件“中種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對(duì)立事件彳為(A )(A) “甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷” .(B) “甲種產(chǎn)品滯銷”.(C) “乙種產(chǎn)品暢銷” .(D) “甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”.二、五大公式：1、已知事件A , 8有概率0(A) = 0.4, P(8) = 0.5,條件概率P(反IA) = 0.3,則P(AuB) =0.62.1、已知事件A, 8有概率P(A) = 0.4, P(5)=0.5,條件概率P(EIA) = 0.3,則P(A uB)=0.78；1、已知事件A, 8有概率P(A) = 0.4,條件概

2、率尸(豆IA) = 0.3,則。(Ac8) = 0.28；1、設(shè)A、B、C 是三個(gè)事件，P(A) = P(B) = P(C) = l/3, P(AB) = P(AC) = 0, P(8C) = 1/4,則 P(Au8uC)=小(或 0.75)；1、設(shè)A、B、1 是三個(gè)事件,P(A) = 1/4, P(目A) = 1/3,尸(A8) = l/2,則 PC4U3)=：1、設(shè)4=”甲地發(fā)生春季旱情"、B= "乙地發(fā)生春季旱情”是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A) = l/4, P(目A) = l/3, P(A|B) = l/2,則C ="甲或乙地發(fā)生春季旱情”發(fā)生 的概率為 1/

3、3 ；1、已知 P(A) = P(3) = P(C) = l/4 , P(AB) = 0 , P(AQ = P(BC) = 1/6 ,則 尸(人川。) 5/121、設(shè)人="甲地房?jī)r(jià)下跌"、B="乙地房?jī)r(jià)下跌”是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A) = 3/4, 產(chǎn)(回A) = 2/3,0(A8) = l/2,則。="甲或乙地房?jī)r(jià)下跌”發(fā)生的概率為;L設(shè)事件4、8互不相容，P(A) = p, P(B) = q,則P(A 8) =(A) (I - p)q.(B) pq .(C) p q.(D) p .1、若。04) = 05尸(8) = 0.4,尸(406) = 0.6

4、,則尸閨4)=(C )(A) 0.2 ；(B)0.45；(C) 0.6：(D)0.75；1、若尸(A) = 1/4,P(即A) = l/3,P(A|8) = l/2,則尸(AuB)= ( C )(A)1/5 ；皿：(C)1/3；(D)l/2：1、從多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可知，一名二年級(jí)同學(xué)參加英語CET4培訓(xùn)班集中培訓(xùn)后能超過425 分的概率為0.8,不參加培訓(xùn)而能超過425分的概率為0.4。假如這次有70%的同學(xué)參加了培 訓(xùn)。(1)任取我們班一名同學(xué)，求該同學(xué)超過425分的概率？(2)如果一名同學(xué)得分超過425分，則他參加過培訓(xùn)的概率有多大？解：設(shè)事件A= “參加培訓(xùn)"，8= "

5、英語CET4成績(jī)超過425分”，則P(BA) = 0.8 P(B|A) = 0.8 , P(B|X) = 0.4, P(A) = 0.7 P(A) = 0.3 ,所以(1)P(B)=尸(A)尸(8|A) + P(A)P(B|A) = 0.7x0.8 + 0.3x0.4 = 0.68。(2) 口小)=上竺2 =P(A)P(BA)=吆絲= 0,823529。1 P(B) P(B) 0.681、在某工廠里有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%、35%、 40%,并且在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占5%、4%、2%o問：(1)全部螺絲釘?shù)牟缓细衿仿蕿槎嗌伲?(2)若現(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一件恰是

6、不合格品，則該不合格品是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？解：設(shè)4表示“螺絲釘由甲臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”，&表示“螺絲釘由乙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”，兒表示“螺絲釘由丙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”，8表示“螺絲釘不合格”。(I)由全概率公式 P(B)= p(4)p(闿A)+p(4)P(B|4)+ p(4)p(M4)=0.25 X 0.05+0.35 X 0.04+0.40 X 0.02=0.0345 ；(5 分)(2)由貝葉斯公式P(A|3)=尸(>)P(8|A) = 025x0.05 =o 362319 (3 分) 1 P(B) 0.03451、金魚的主人外出，委托朋友換水，設(shè)已知如果不換水，金魚死去的概率為0.8, 若換水，

7、則金魚死去的概率為0.15。有0.9的把握確定朋友會(huì)記得換水。問：(1)主人回來金魚還活著的概率？ (2)若主人回來金魚已經(jīng)死去，則朋友 忘記換水的概率為多大？解：設(shè)A表示“朋友換水”，B表示“金魚還活著”，則P(A) = 0.9, P(A) = 0.1,P(B|A) = 1-0.15 = 0.85, P(B|A)=0.15, P郵) = 0.2, P(BA) = 0.8 ,(1)由全概率公式 P(B) = P(A)P(BA) + P(A)P(BA)(2)由貝葉斯公式P（R月）=尸尸(司耳)_ 0.1x0.8P(J) 1-0.785=0.372093（8 分）（5分）=0.9 X 0.85+0

8、.1 X 0.2=0.785 ：1、 已知一批產(chǎn)品中90%是合格品，檢查時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概 率為0.05, 一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.02,求（1） 一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查 后被認(rèn)為是合格品的概率；（2） 一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格 品的概率.解：設(shè)人="任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為是合格品” （2）B="任取一產(chǎn)品確是合格品二_則 P（A）= P（）P（AIB） + P（B）P（AIB） （3）=0.9 x 0.95 + 0.1 x 0.02 = 0.857.n P(AB) 0.9x0.95P(BIA) = = 0.9977(2)(2)尸(A)0.

9、8571、有甲、乙、丙三個(gè)盒子，其中分別有一個(gè)白球和兩個(gè)黑球、一個(gè)黑球和兩個(gè)白球、三個(gè) 白球和三個(gè)黑球。擲一枚骰子，若出現(xiàn)1, 2, 3點(diǎn)則選甲盒，若出現(xiàn)4點(diǎn)則選乙盒，否 則選丙盒。然后從所選的中盒子中任取一球。求：（1）取出的球是白球的概率：（2）當(dāng)取出的球?yàn)榘浊驎r(shí)，此球來自甲盒的概率。解：設(shè) A= "選中的為甲盒"，4= "選中的為乙盒”，C=”選中的為丙盒”，。二“取319出一球?yàn)榘浊颉?，已?P（A） =,P（B） = -9 P（C）=- 666I?3P（QIA） =P（DIB） =-, P（DIC） = - ,336 （3分）3 1 1 ? ? 3 4（

10、1）由全概率公式 P（D） = -xi + 1x- + -x- = - （2分）6 3 6 3 6 6 93 1X -（2）由Bayes公式 吁,馬丁 （2分）4 891、發(fā)報(bào)臺(tái)分別以0.6和0.4的概率發(fā)出信號(hào)“ ”和“一”，由于通信系統(tǒng)受到 干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“ ”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未必收到“"，而是分別以概率0.8和0.2 收到信號(hào)“產(chǎn)和“一”，同樣當(dāng)發(fā)出信號(hào)“一”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.9 和0.1收到信號(hào)“一”和“"，求：（1）收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“”的概率；（2） 當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ ”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)是發(fā)出信號(hào)“產(chǎn)的概率。解：設(shè) A= "發(fā)出信號(hào)8="發(fā)出信號(hào)&

11、#39;一'"， C= "收到信號(hào)' 己知 P(A)=0.6, P(B) = 0.4 , P(C|A) = 0.8 , P(C|B) = 0.1 (3 分)(1)由全概率公式P(C) = P(A)P(C|A) + P(B)P(CB) = 0.6 x 0.8 + 0.4 x 0.1 = 0.52 (2 分)由Bayes公式P(A|C)=0口中)=竺* =。分)1 P(C) 0.5213三、三大概型（古典、幾何、伯努利）2、設(shè)10件中有3件是次品。今從中隨機(jī)地取3件，則這三件產(chǎn)品中至少有1 件是次品的概率為1 -G"或17 / 24）；2、已知10件產(chǎn)

12、品中由2件次品，在其中任取2次，每次任取一件，作不放回抽 樣，則其中一件是正品，一件是次品的概率為1-5 ；1、同時(shí)拋擲3枚均勻的硬幣，則恰好有兩枚硬幣正面向上的概率為（C ）（A） 1/8（B） 2/8（C） 3/8（D） 4/8：1、某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則在第4次射擊時(shí)恰好第2次命中目標(biāo)的概率為（B ）（A） 4P2（l p）2； （B） 3Pmp尸；（C） 2P2（1 一尸；（D） p（l pH；1、袋中有5個(gè)球（3個(gè)紅球，2個(gè)白球），每次取1個(gè)，無放回地抽取兩次，則 第二次取到紅球的概率為（A ）313-；(C) -；(D)2、已知某型電子器件壽命X（

13、以天計(jì)）的概率密度函數(shù)為10 、1八（1）求X的分布函數(shù)2x）.外）=乒">1。，n <m（2）現(xiàn)有一大批此種器件（設(shè)各器件損壞與否相互 立），任取10只，以丫表示壽命大于15天的器件的只數(shù)，求丫的分布律。=1- > 故F(x)= < xc 1()尸(x) = | Odx + J 00解：（1 ）因?yàn)?當(dāng) x<10 時(shí)，F(xiàn)（x） = J x0dx = 0 ,當(dāng) x>10 時(shí)，(4 分)0, x < 10.2（2）因?yàn)槿我庖恢黄骷勖黊大于15天的概率為 =1 一/（15）=,又各器件損壞與否相互獨(dú)立，所以丫服從伙io,-),概率分布律為 3，

14、10丫2、71 儼PX=k=- | -，&=0,1,2,40.(8分) k "3 ) 13)COS,0 <X<7T, fW = 22。，其他.解：(1 )因?yàn)?當(dāng)2、已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為(1)求X的分布函數(shù)6(%).(2)現(xiàn)對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，以y表 示大于7/6的次數(shù)，求丫的分布律。x<0 時(shí)， b(x) = jjWx = 0 ,當(dāng) 04r時(shí)，L/ °C 1 r T X 1, X X w 、F(x) = 1 ,故F(x)= 0d.v+ cosax = sin = sin , h x> 九,J_R Jo 2 22 020.x V

15、O.F(x) = <sin-.0<x< 2I* X> 7T.(4分)(2 )因?yàn)閄大于萬/6的概率為p = l-F(;r/6) = l-sin(/r/，所以丫服從僅4,1-sin(4/)，概率分布律為PX=|4(l_sin(/12)A(sin(/12)4-A: = 0,12,3,4. (4分)k四、一維隨機(jī)變量的分布及性質(zhì)1 X > 0X 1 15.設(shè)隨機(jī)變量xu(i,2),令y = J ' 一 '，則y的分布律為L(zhǎng)XvO.1 I0, x < -1 04 -1<x<l則X的分布律是4、隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是F(x) = C, 一

16、°X -113八 0.4 0.2 0.4P(-l <X <3) = 0.40.6, 1 < x < 3 3< x9、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(幻= <二""1'，令丫 =，X<4,則y的分布律為 0,x<l.ZX>4.4、隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是/(x) = 0,x<-l0.6,0.8,1 < x < 31,3< x,則 P(1<XW3) =2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX=k = 3", k = 12且a>0,則參數(shù)夕=(A)夕=一 (B) p = a

17、 + (C) /7 = ! (D)不能確定(C )a-a + 2、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX=燈=，攵=1,2,，則參數(shù)/=(D )(A) 1/5 ；(B)皿：(C) 1/3；(D)l/2：3、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為/(x) = L,-s<x<s,則參數(shù)A = 1 + x(D )(A) 0 ；(B) 1：(C) 4；(D) l7lx2、設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布律為尸X=A = /X«/>0,k = l,2,，則參數(shù)；l二(C)(A) 4>0的任意實(shí)數(shù)；(B) 2 = /? + 1 ； (C) 2 = !； (D) 2 = ；b+b-五、連續(xù)型概率密

18、度與分布函數(shù)的相關(guān)計(jì)算1 一 J x V > 05、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為尸(x)=',則概率密度函數(shù)為0x<0fM =0x<00, x < 0,4、隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是尸") = </, 0<x<l,則隨機(jī)變量X的概率密度1, X > 1.函數(shù)為/*,) =2兒 0 < x < 1,0,其他0, x v 0,4、隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是尸（©="，則隨機(jī)變量X的概率密度1, X > 1.函數(shù)想）他。5、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為=: “<1',若尸乂>=P乂<4,

19、則。,其他4 = 1”笈；7、隨機(jī)變量K在（。,5）內(nèi)服從均勻分布，則關(guān)于x的方程4x2+4Kt + K + 2 = 0有實(shí)根的概率為一狗（或06） _ 3、隨機(jī)變量X的概率密度為fW = <ax + l,0 ,0<x<2,其它.求（1）常數(shù)J （2） X的分布函數(shù)E（大）：（3） P（1<X<3）解：（1）因?yàn)椋?（工）,&=J；（ov + l）6Zv = 2a + 2 = 1,所以。=一1/2. （3 分）(2)0, x < 0,因?yàn)?F(x) =1/(/)< =：(一；/ + 1)力，° <x<2 = <l,x

20、 > 2.0, x < 0,>x,0 < x < 2,4> 2.（4分）(3)因?yàn)?X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，P1<X <3 = F(3)-F(l) = l-(l-) = - o 或44P(l<x<3)= f jxdx=1(1一：)八=!J】Ji 24(4 分)2、隨機(jī)變量X的概率密度為f(x) = Ae'loo <x< +oo.求(1)常數(shù)A； (2) P(O<X<1；(3) X的分布函數(shù)尸(幻。解：(1) l=J：/(xMY = j+：A/'Ur = 2Aj：efca = -2Aer. =2A,

21、A = ( 2 分)2M 111T(2) P0<X < = -edx =.(2分)。22(3)當(dāng)/<0 時(shí)，F(xiàn)(x) = f V = f v -eldt = -ex ,當(dāng) xNO 時(shí)， J -8J -8 22= Jlfdt = Le，dt += e，+0=1一-、'Lex v < 0X的分布函數(shù)為E(x) = <p'(3分)0, x < 1,2、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 /(x) = A + 8arcsinx, lvxvl,求1, x>.(1) A和8； (2) P|X|<l/2； (3)概率密度函數(shù)/(x); (4) E(

22、X).解：F(-1 + 0) = A + arc s in(-1) = 0 = F(-1 - 0)F(l-O) = A + arcsinQ) = 1 = F(l + 0) 2 7t(2 分)(2 分)r i 1E(X) = x,dx = 0Jt 荷二J(2) P|X| < 1/2) = F(l/2)-F(-l/2) = 0.5(3)_f(x) = < 7ryj-x2 (2分)(4)o, 忖 > i.(2分)六、一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布求法3、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為P(x),則y = 3X + l的分布函數(shù)為(A )(A) F(ly-l)； (B) F(3y + 1)； (C

23、) 3F(y) + l； (D lr(y)-；3、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/'(x) = ,Y0<x<y,則y = 2X的概率 4(1 + JC)密度為(B )1 211(A) - ； (B)； (C) ； (D) arc tan y ;江(1 + 4)廣)笈(4+)')乃(1 +)廣)兀4、設(shè)圓的半徑RU(O,1),求圓的而積5 =成2的分布密度。解：因?yàn)?RU(OJ), /(r)=1,0 < r < 1, 0,其它.當(dāng)sWO, F(s) = PS<s = 0,當(dāng)0<s4,；當(dāng)S4, F(s) = PS<s = -二,OKs K %所

24、以/(s) = F'G)T2”o,其它.1、設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)XU(O,1),已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2,求長(zhǎng)方形面積的數(shù)學(xué)期望 和方差。解：因X -U(O,1),故/(© = ，(1分)0,具他；面積為力= X(1-X),所以r+8r I1E(A) = E(X(1 - X) = J x-x)f xdx = J x(l-x)tZv = -(2分)E(A2) = E(X2(1 X)2) = J：x2(1x)2/5Mx =1x2(1x)2"x =，£)(71) = E(A)- E:(A) = - = (3分)30 36 1802、若XN(O,1), Y = ex ,求Y的

25、概率密度函數(shù)。解：因?yàn)楫?dāng)y«0時(shí)，Y =是不可能事件，所以4。，)=尸丫<)， = 0：又當(dāng) y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y) = PY < y = Pex < y = PX < In y = Fx (In y) (5 分)1 -苧；所以丫的概率密度函數(shù)人(y) = FJ(y)=：聲"-'70 >()，歸分) 。，>'< 0.1、設(shè)XN(O,1),求丫 =兇的概率密度。解：設(shè)隨機(jī)變量x和丫的分布函數(shù)分別為Nx")、耳(、)，先求丫的分布函數(shù) Fy(y) o 由于y = |X償0,故當(dāng)y«0時(shí),Fy(j)

26、 = O (1 分)當(dāng) y >。時(shí)，有耳()，)=PY < y = PX < y = P-y <X<y = Fx (),) 心(一)，)， 將4(y)關(guān)于)，求導(dǎo)數(shù)，即得y的概率密度為A(y) = i2/x(y) + /x()')，)> °， o, y< 0.（4分）o, y< o.1、設(shè)xn（o,i）,求y = x?的概率密度。解：設(shè)隨機(jī)變量x和y的分布函數(shù)分別為尸x（x）、弓（），先求丫的分布函數(shù)4（了）。由（2分）于 丫 = 乂220,故當(dāng)），<0 時(shí)，F(xiàn)Y（y） = O當(dāng)y0時(shí)，有 耳()，)= py<， =

27、 px2<)， = p_77«x<V7 = G(7?)-G(-77),將6（y）關(guān)于y求導(dǎo)數(shù)，即得丫的概率密度為0, y< 0.- 2,y>o,。， y< 0.（4分）1、設(shè)隨機(jī)變量x u（o,i）,求丫 = /'的分布密度函數(shù)人（），）。解：因xu（o,i）,故力 = <1, 0 < x < 1,0,其他；（1分）o, y < 1,FY(y) = Pe2X <y = PX<hny = H/(幻八,1乙< y <e2, = <（3分）0, y < 1,LyNe2.1, y Ne2., (

28、2 分)七、常見隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征2.設(shè) X 帥,p）, E（X） = 2.4, O（X） = L44,則 =§0, y v L-In yA<y<e1, yNj.p =042、設(shè) X b(%,p), Y b(n2,p)則 X + Y b(n1 +%，P)；1.設(shè)離散型隨機(jī)變量x(l,p), PX=0 = 4PX=l,則PX=3= 0.83、若 X 萬(2)且 P(X=1) = 3P(X=2),則幾= 地 ；3、若 XR2),則 E(X”)=6；3、設(shè) X 燈(，且 PX=1 = PX=2,則:4、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則PX=E(X2) = -L；2e

29、3、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則PX=6 = -L；ke6、設(shè)X和y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為3和5的泊松分布，則X + Y服從參 數(shù)為8的泊松分布;2、設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布律為尸*=燈=,次=0,1,2/;則參數(shù)4=( D ) k(A) 0 ；(B) 1：(Q e； (D) /；4、某地警察每晚查獲機(jī)動(dòng)車醉駕的人數(shù)X服從參數(shù)為4 = 20泊松分布，則今晚 某地警察查獲至少一人醉駕的概率為1 -;3、盡管一再強(qiáng)調(diào)考試不要作弊，但每次考試往往總有一些人作弊。假設(shè)某校以 往每學(xué)期期末考試中作弊同學(xué)人數(shù)X服從參數(shù)為10的泊松分布，則本次期末考 試中無同學(xué)作弊的概率為5某地每天發(fā)生交通事故

30、的次數(shù)X服從參數(shù)為4 = 10泊松分布，則明天至少發(fā)生 一次交通事故的概率為上£?；5、設(shè)隨機(jī)變量X在1, 6上服從均勻分布，則方程/+Xx+l=0有實(shí)根的概率為 鉆或08；3.設(shè)隨機(jī)變量XN(O,1), X的分布函數(shù)為(x),則尸(兇> 2)的值為(A) 2|1-.(B) 24)(2)-1.(C) 2-.(D) 1-20(2).( A )4、若 XN(O,1),則 P(IXI>2)= ( A )(A) 21-(2)； (B) 20(2)-1 ； (C) 2-(2)； (D) 1-20(2) <.4、若X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,l),則P(IXI>1)= (

31、B )(A) 20(1)-1； (B) 21 -卜(C) 2-；(D) 1-20(1)；6、若X N(2,4),Y N(1,2)且X 與 丫相互獨(dú)立，則 X2YN(0,12)； 8、已知 X N(2,4), 丫已(一 1,2),則 X+2Y N(012)；2、某人射擊直到中靶為止，已知每次射擊中靶的概率為0.75.則射擊次數(shù)的數(shù) 學(xué)期望與方差分別為(D )（8）;與白； （O ；與，（D）；與2、已知某同學(xué)投籃球時(shí)的命中概率為p（O<vl）,設(shè)X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，則X的概率分布律為尸X=L = （1-p）i/ = l,2,;3、設(shè)某批電子元件的正品率為4/5,次品率為1/

32、5,現(xiàn)對(duì)這批電子元件進(jìn)行測(cè)試, 只要測(cè)得一個(gè)正品就停止測(cè)試工作，則測(cè)試次數(shù)的分布律為PX=k=圖"=12 ;6、一射手朝一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)地射擊指導(dǎo)擊中目標(biāo)為止，設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為p, X為首次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為吐;4、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則尸XN Jf)(X)=( D )(D) e；(A) 0 ；(B) 1：4、已知某種型號(hào)電子器件的壽命X （以小時(shí)計(jì)）的概率密度函數(shù)為/(1) = ,尸0,x<100.（1）求X的分布函數(shù)尸（幻.（2）現(xiàn)有一大批此種器件（設(shè)各器件損壞與否相互獨(dú)立），任取10只，以丫表示壽命大于150小時(shí)的器件的只數(shù)，求y的分布律

33、。 解：（1）因?yàn)楫?dāng) XK100H寸，/（x）=0"x = 0,當(dāng) x>100H寸， J -XUX)Odx +rx 100Lt十100,100=1100所以尸（幻=<（4 分）1, x > 100,x0,x<100.2（2）因?yàn)槿我庖恢黄骷勖黊大于150小時(shí)的概率為p = 1 - F（150） =,32乂各器件損壞與否相互獨(dú)立，所以丫服從/io,士），概率分布律為1° 丫 2 PX =k=_ ,屋人3八3J,k = 0,1,2, -JO. （8分）1、某地區(qū)人口壽命X服從8 = 80的壽命分布，求該地區(qū)人口的平均壽命和 歲以前死亡的概率。40解：因

34、X服從夕=80的壽命分布，故/（x） = j而« 8° X 2 0 ( 1 分)X(1)人的平均壽命EX= xjx)dx= J-X|-xxe 8。小=80： 80(2分)（2）該地區(qū)人40歲以前死亡的概率1 -L1-L 對(duì)PX <=e 80= (-80> 80 邛=l-e0 8080(3分)八、二維離散型隨機(jī)變量的概率分布5、從123中任取一個(gè)數(shù)，記為X,再從1,X任取一個(gè)數(shù)，記為丫，則PY = 2 =7186.設(shè)離散型隨機(jī)變量X和丫的聯(lián)合概率分布為（x,y）(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)1116918若X,y獨(dú)立，則夕的

35、值為（A） 2 =二，/?=.99（C） Ct = -. P = -6 " 67 .設(shè)隨機(jī)變量乂與丫相互獨(dú)立，(B)（D） a = , P =1818X01Y01P0.4 0.6P0.4 0.6(B) P(X=Y)= 0.5.則有（A）ax=y）=0其概率分布分別為P(X=y)= 0.52., L z(D)ax=y)=i.1、二維隨機(jī)變量（x,y）的聯(lián)合分布律為（1）求x,y的邊緣分布律；（2）求尸（x + y = o）。解：,（1）尸（X =1） = 0.1 + 0.2 = 0.3, PX =0 = 0.3 + 0.1=0.4,PX =1）= 0.2 + 0.1 = 0.3Py =

36、 0 = 0.1 + 0.3 + 0.2 = 0.6叩=1=0.2 + 0.1 + 0.1 = 0.4。（5分）（2）p（x + y=o）= px=o,y=o+px=i,y=i=o.5。（3分）2、二維隨機(jī)變量（x,y）的聯(lián)合分布律為（1）求x,y的邊緣分布律；（2）求p（x + y = i）；（3）x,y是否相互獨(dú)立。解：（1） P（X =l） = 0.l + 0.2 = 0.3, PX =0 = 0.3 + 0.1 = 0.4,PX =1 = 0.2 + 0.1 = 0.3P y = 0 = 0.1 + 0.1 + 0.2 = 0.4（4分）Py = 1 = 0.2+ 0.3 + 0=0.

37、6。（2）p（x + y = i）= px=o,y=i +尸x = i,y=o=o.5（7分）（3）因?yàn)镻x=o,y = o =（）.iwPx=oPy = o, x,y不相互獨(dú)立。1、二維隨機(jī)變量（x,y）的聯(lián)合分布律為（1）求e（x）和E（y）；（2）求?（x + y = i）；（3）x,y是否相互獨(dú)立。解：（1） PX =-1） = 0.1 + 0.2 = 0.3, PX =0） = 03 + 0.1=0.4.PX =1 = 0.2 + 0.1=0.3, E（X） = -1x0.3 + 0x0.4 + 1x03 = 0P y = 0 = 0.1 + 0.1 + 0.2 = 0.4 Py =

38、 1 = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6 ,E（Y） = 0x0.4 +1 x0.6 = 0.6 （3分）（2）p（x + Y = i）= Px=o,y = i + Px = i,y=o=o.5（3分）（3）因?yàn)閜x =o,y = o = o.1hpx =0py = o, x,y不相互獨(dú)立。（i分）1、盒子里有3只紅球，2只白球，在其中不放回任取2次，每次任取1只。定義隨機(jī)變量x=0第一次取得紅球,1,第一次取得白球;0,第二次取得紅球，十/、 L第二次取得白球；'二維隨機(jī)變量（X,y）的聯(lián)合分布律；（2）求PX = Y；（3）X,y是否相互獨(dú)立。3 232 33解：X=。

39、八。方片正 Px = i,y=0,=-.- = -3 2 32 11Px=o,y = i =二二=一,px =i,y = i =一=（3分）5 4 105 4 10（2）p（x = y）= px=o,y = o+px = i,y = i = o.4（3分）（3）因?yàn)閜x=o,y = o = o.3HPx=opy = o, x,y不相互獨(dú)立。（i 分）九、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布4、設(shè)隨機(jī)變量x與丫相互獨(dú)立且均服從區(qū)間（o,i）上的均勻分布，p（x-r|<i/2）=；4、設(shè)（x,y）的聯(lián)合密度為/*，）,）=（1）求常數(shù)左；（2）求（x,y）落入以（0,0）,（0,1）,（i,o）,（1,

40、1）為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)的概率;（3）x,y是否獨(dú)立?解：（1 ）因?yàn)?(X, y)dxdy = kJ X J -XJ 3，所以（2分）(2) f(x. y)dxdy = f dx -dy = -.JoJo八，42jo+d J。1 + ),2 16（2分） /x(x)= ±L(l + x2)(l + y2)dv=-一二 江(l + F)-8(1+馬(1 + 廣式(1 + y2)'所以 /(x,y) = /x(x)4(x)，x,y 相互獨(dú)立.（3分）2、設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）的概率密度為/（x,y） = <12y0<y <x<l.0,其他試求（1）邊緣密度

41、函數(shù)AW，A（y）：（2） E（XY）O解： /x（x）= ：/（%，）"） =jl2y26/)O < x < 1, o,其他.4x3,0 < x< 1, 0,其他c+oo4(v)= Lc=12y2dx0<y <1,0,其他.12y2(l-y),0<y<l, 0,其他.（4分）G +8 G +0C(2) E(XY)= xyf(x, y)dxdyJ -OC J -000.5 (2分)=12y!dy dx = J()= 3、設(shè)x和y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，x在（o,i）上服從均勻分布，丫的概率密度函數(shù)為i 4 八 i /、 e - A(y)

42、= i20, y <0.求（1）x和y的聯(lián)合概率密度函數(shù)；（2）設(shè)含有。的二次方程/+2x+y = o,求。有實(shí)根的概率（已知 （1） = 0.8413,（2） = 0.9772（0） = 0.5000, 瘍=2.5066 根據(jù)需要選用）。解:X的概率密度函數(shù)為?。üぃ?1,0 < x < 1, jo淇它.（1）因?yàn)閄和丫是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，所以X和丫的聯(lián)合概率密度函數(shù)為1 -2一 、 一 、一、 -e 1/ +x1(*-4-30一一7、 re 8 rdrclO = e 8 rdr )4Jo,0<x<ty>0,八、y） = fx （x）fY（y） =

43、2（3 分）。，其它.（2）二次方程/+2Xa + y = 0有實(shí)根的充要條件為4X24人。，即 x2-r>0,所求概率為dx = j ： 1 - e 2 dx（8分）尸國(guó)二丫則打網(wǎng)：9飛，7：-L Jo £=1-忐 e 2公=1一后（以1）一以0） =1-2.5022(0.8413 一 0.5000) = 0.14454、向一目標(biāo)射擊，目標(biāo)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知命中點(diǎn)的橫坐標(biāo)X和縱坐標(biāo)V相 互獨(dú)立，且均服從/V（0,22）分布.求（1）命中環(huán)形區(qū)域 D = （x,y）|l <x2+ /< 2的概率；（2）命中點(diǎn)到目標(biāo)中心距離Z = 尸 的數(shù)學(xué)期望.解： (1)尸(X

44、, y) £ 0 = |7(尤 ydxdy DEZ = E(X2 + Y2) = j ： J 二yjx2 + y2 kdxdy(3 )(2)2、已知二維隨機(jī)變量（X/）的概率密度為,、卜土+叱 x>0,y>0,。 其他求 P（X < Y） ； （2） E（XY） o解：(1) PX < y = Jje- y)d.xdy = je-2xdx =，D°"02（3分）E(XY)=二 X%' y)dxdy = xyey dxdy =xexdx ye'ydy = 1（3 分）十、二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布5、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且均

45、服從區(qū)間（0,3）上的均勻分布，則P(maxX,r)< 1)為 的6、設(shè)隨機(jī)變量x和丫相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間o, 1的均勻分布，則P m in X, 丫 4 ； =3/4 6、設(shè)X和丫相互獨(dú)立，且均服從0-1分布，則PminX,y«L= 均 ；25、假設(shè)甲乙兩同學(xué)進(jìn)教室的時(shí)間X與丫相互獨(dú)立且均服從區(qū)間（0, 10）上的均勻分布，則布必一丫|<5）=的 ；2、設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)4和連接而成，其壽命分別為X和丫，已知它們 的概率密度分別為八（幻="和人。）=2廠'''>°求子系統(tǒng)乙和G串 聯(lián)時(shí)：（2）子系統(tǒng)4和4并

46、聯(lián)時(shí)系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度。解：x和y的分布函數(shù)分別為"。）=卜/1>°，和幾（、,）1一/"，）'>°，（3分） 0,x<0.o, y < 0.0,z<0.(1)串聯(lián)時(shí)Z = minX,Y,其分布函數(shù)為五強(qiáng)屹)=<所以概率密度為/mm(Z)= < :二 設(shè)分)并聯(lián)時(shí)Z丫,其分布函數(shù)為噴5所以概率密度為/nwc(z) =_3e-",z>0,(2分)2、若x,y相互獨(dú)立，x服從0,1上的均勻分布，丫的概率密度為fy (V)=" 1'求Z = X+y的概率密度。0,其他.解

47、：由卷積公式，要使被積函數(shù)/x*)4(z-幻。0，必須04x4l, 0< x< L (1分)所以對(duì) Zo 或 z>2,有/z(Z)=。； (2 分)對(duì)oz«l，有/z(z) = J；2(z - x)dx = z2, (2分)對(duì) lvz42,有 %(z)=f 2(z-x)c£x = 2z-z2，(2分)J z-l十一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征7、隨機(jī)變量X和y的方差分別為。(X) =9和。(丫) = 4,相關(guān)系數(shù)20=。5,則D(X-Y)= 7 ；3 .設(shè)隨機(jī)變量(x,y)N(M，2，b；,b；,°),則x和y相互獨(dú)立的充分必要條件是 p = 0 o4

48、.設(shè)O(X) = 4, D(Y) = 1, pXY = 0.6 ,則O(X-2Y) =(A) 2.2 .(B) 3.2 .(C) 4.6.(D) 4.2.( B )3、設(shè)隨機(jī)變量X和y不相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是(B )(A) X 與y獨(dú)立.(B) D(X-Y) = D(X) + D(Y).(c) D(x-y)= D(x)-D(y).(d) D(xr)= D(x)D(y).3、設(shè)隨機(jī)變量X和y相互獨(dú)立，則下列結(jié)論中不正確的是(A ) (A) £)(X-2r)= £)(y)-4D(X)；(B) E(X -2Y) = E(X)-2E(Y)；(c) cov(x,y)= o；(d)

49、 x與y不相關(guān);4、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為/(x) = F*，O<x<l，,則&x)= ( C ) 0, x < 0.3(A) 0 ；(B)l；(C)(D) 3；45、設(shè)隨機(jī)變量X與y相互獨(dú)立，其方差分別為6和3,則。(2X-y)= ( D )(A) 9；(B) 15；(C) 21；(D) 27；0, x < 0,3、隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是尸(外=<一，0<a<1,則X的數(shù)學(xué)期望為 明；1, X > 1.2、己知二維連續(xù)型隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為Ax. 0< x < 1 0< y <x0 其它

50、(1)求a ；(2)求 £(x y)。3xlx = -。(4 分)8解：(l)因?yàn)?J JAMy =14%，/工=$ = 1,所以4 = 3。(4 分) E(X - 丫)= J： J：(x- y)/(x, yyixdy = J；dxjx- y)3xdy = i、二維隨機(jī)變量(x,y)的具有聯(lián)合概率密度函數(shù)/(X，)')=1, |y| < x,0 < x < 1 0,其它.求 E(x),E(y),Cowx,y).解：E(X) = dx xdy = 2jx2dx = (2 分)E(Y) = J。dxj ydy = 0 (4 分)E(Xy)= d.q、>yd

51、)，= 0 (6 分)Cov(X, Y) = E(XY)-E(X)E(r)= 0 (8 分)2、設(shè)隨機(jī)變量X1,X2，X3相互獨(dú)立且都服從(0,1)上的均勻分布，求U = max Xr X2,X3和丫 = nin XPX2,X3的數(shù)學(xué)期望。解：因?yàn)閄1,X?,X3的密度均為/(x) =1,0 < x < 1.。，其它1(吁0, A<0.x, 0 < x < 1, l,x> 1.所以(1)0, Il < 0,FL,(u) = PU <u = PX <u,X2 <u,X5 < =(/(“)3(2 分)1," > 1.

52、fu(u) = F'u ()=3 -0 v < 1, 0,其它.,隨機(jī)變量U的數(shù)學(xué)期望E(U) = J ：九()"=f u-3u2du =Jo4(4分)0, u < 0,(2) Fv(v) = PV < v) = 1 - (1 - F(z/)3 =' 1-(1 -i/)3,0 <u <, (6分)> 1./v(v) = Fz(v) = <0,其它.所以隨機(jī)變量丫的數(shù)學(xué)期望E(V)= f vfv (v)du = 八3(1-u)24u = L (8分)j -8j o42、已知二維隨機(jī)變量(X/)的概率密度為/(x，y)= <

53、12y2,0,0 < y < x < L其他試求：數(shù)學(xué)期望石(X)和E(y)。C +8 r +8解：E( X ) =1j * xfx, ydxdy=J： Jo' 12>,2Jy dx = Jb/公=2 (3分)石打口二加乂)"'=Jq Jo' 12)")' "x = Jo3x'dx = V (2分)° _ ° _ °十二、大數(shù)定律與中心極限定理4.設(shè)隨機(jī)變量X的期望與方差分別為E(X) = 0, O(X) = 1,則用切比雪夫不等式估計(jì)下而概率值P|x|< 3) &

54、gt;897、若隨機(jī)變量X, E(X) = 1, D(X) = 2,則利用切比雪夫不等式估計(jì)概率P ( I X-11< 3) >7/9；7、若隨機(jī)變量X, E(X) = 2, Z)(X) = 1,則利用切比雪夫不等式估計(jì)概率P(|X-2|<3)> 1、設(shè)行宮市場(chǎng)上某菜販每天能賣出的黃瓜量為隨機(jī)變量X (kg),已知X在區(qū)間50,100上服從均勻分布，黃瓜的進(jìn)價(jià)為3元/kg,當(dāng)天賣出價(jià)為5元/kg,若當(dāng)天沒有賣出，則第二天 必須賣出，且賣出價(jià)為2元/kg.(1)設(shè)ye50,100為菜販進(jìn)的黃瓜數(shù)量，求菜販的收益期望值；(2)菜販每日進(jìn)黃瓜數(shù)量y為多少時(shí)，能賺到的錢最多，能

55、賺到多少錢.解：設(shè)某菜販每天能賣出的黃瓜量為隨機(jī)變量X (kg),則X的密度函數(shù)為,50< x< 100, 500,其它菜販的收益為隨機(jī)變量元)，則(5 3)X + (2 3)(y - X), X < y,X>y.=(-y2 +250 v-3750), 50 2 ,<5-3)y,3X - y, X <)，2y, X > y.r y1f 100|1 ) E(r)= j5o(3x-y)-t/A + fv 2y-d.x ye 50,1001(2) y = «83.3,代入得期望收益為叫 出 133.33 33即每日進(jìn)黃瓜數(shù)量y為83.3kg時(shí)，期望

56、收益最大，為133.33元。1、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長(zhǎng)度不小于3米?，F(xiàn)從木柱中隨機(jī)地 取出1。0根，問其中至少有30根小于3米的概率。(已知(2) = 0.9772(2.5) = 0.9938,(3) = 0.9987 ,根據(jù)需要選用。)解：因?yàn)槟局?0%的長(zhǎng)度不小于3米，所以其小于3米的概率為0.2,設(shè)X為100根木柱中長(zhǎng)度小于3米的根數(shù)，則X (1000.2),其分布律為PX =POO1o.2aO.8,o(>- =O,1,- JOO.E(X) = 2O, £>(X) = 16, (6 分) k JPX 2 30 = l-PX <30 = 1-尸"二°< 3°m°川棣莫佛-拉普拉斯定理，(5分)屈 灰。1 一 0(2.5) = 1-0.9938 = 0.00621 (本小題7分)：有一批梧桐樹苗，其中90%的高度不低于3米?，F(xiàn)從樹苗中隨 機(jī)地取出300株，問其中至少有30株