高三一輪復(fù)習(xí)平面向量復(fù)習(xí)教案解析

1、平面向量第一課時(shí)平面向量的概念1=1 史I1苑敢也薦了選方,便尸,才“鳳尉里程?！局匾R】知識點(diǎn)一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。注意數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。?向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.知識點(diǎn)二；向量的表示法用有向線段表示；用字母a、b（黑體，印刷用）等表示；用有向線段表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：而；向量懣的大小一一長度稱為向量的模，記作|而|.知識點(diǎn)三：有向線段（1）有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.（2）向量與有向線段的區(qū)別：向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方

2、向相同，則這兩個(gè)向量就是相 同的向量；有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有 向線段.知識點(diǎn)四：兩個(gè)特殊的向量（1）零向量：長度為。的向量叫零向量，記作6. 6的方向是任意的.注意6與o的含義與書寫區(qū)別.（2）單位向量：長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。知識點(diǎn)五：平行向量、共線向量（1）定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。（2）規(guī)定：規(guī)定6與任一向量平行.（3）共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移 到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）.說明：綜合（1）、（2）才

3、是平行向量的完整定義；向量平行，記作b / c平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系：共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.知識點(diǎn)六：相等向量（1）定義長度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量”與辦相等，記作=九（3）零向量與零向量相等;（4）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無 關(guān).【典型例題】1 .下列命題正確的是A.向量48與84是兩平行向量B.若蒜都是單位向量，則之=>C.若A8=。，則a、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形D.兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同2 .若都是單位向量，則1一幻的取值范

4、圍是（）A. （1, 2） B. （0, 2）C. 1, 2 D. 0， 23.在正六邊形ABCDEF中,0為其中心,則 £A +A3+ 280 +EO 等于(A. FE B. 4d qDC dFC. Tr T4 .如圖，在aABC中，AB二，BC=b , AD為邊BC的中線，G為ABC的重心,求：向量ag充要條件是OA + OB + OC = O.5 .已知AABC及一點(diǎn)0,求證：0為ABC的重心的6 ,設(shè)平面內(nèi)有四邊形 ABCD 和 0 點(diǎn)，OA = a,OB = B,OC = c,OD = N,若 + c = B + 7,則四邊形ABCD的形狀為【同步練習(xí)】1.在四邊形ABCD

5、中，AB=a+2b,BC =-4a-b,CO=-5a3b,其中a、b不共線，則1苑敢也薦了選方,便尸鳳尉里程。四邊形ABCD為（）C .梯形D.菱形A.平行四邊形B .矩形2 .已知菱形488,點(diǎn)P在對角線4c上（不包括端點(diǎn)A、C）,則卻等于（）A3（耘+而）,八£（0,1）B.1（罰+反:）,八£（0,芋）C.A（AB-AD ）f A £（0,1）D.蟲而一而）,4 £（0,今）3 .已知兩點(diǎn)“（3,2）, N（5,-5） mD = ；mN ,則P點(diǎn)坐標(biāo)是 （） 一 f 4 .已知aABC 中，BC = a,CA =b.AB = c,若a b = b

6、c = c , a ,求證：ZliABC 為正三角 形.5 .已知平行四邊形ABCD的兩條對角線4c與BD交于E, O是任意一點(diǎn)，求證OA + OB + OC + OD = 4OE.第二課時(shí)平面向量的線性運(yùn)算【重要知識】知識點(diǎn)一：向量的加法（1）定義已知非零向量在平而內(nèi)任取一點(diǎn)A,作人后=",BC =石，則向量AC叫做與B的和，記作£ +坂,BC = AC求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做叫向量的加法.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三 角形法則.說明：運(yùn)用向量加法的三角形法則時(shí)，要特別注意“首尾相接”，即第二個(gè)向量要以 第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量終

7、點(diǎn)的向量即為和向 量.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量，其大小、方向可以由三角形法則確定.位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.（2）向量加法的平行四邊形法則以點(diǎn)0為起點(diǎn)作向量次="，OB=bt以O(shè)A,OB為鄰邊作。4c8,則以o為起點(diǎn)的對角線所在向量瓦 就 是"/的和，記作"十石二沅。說明：三角形法則適合于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法則適合于同起點(diǎn) 的兩向量求和，但兩共線向量求和時(shí)，則三角形法則較為合適.力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.對于零向量與任一向量ZZ+6 = 6+Z = Z（3）特殊位置關(guān)系的兩向量的和當(dāng)向量與不共線時(shí)，”

8、+了的方向不同向，且R+3 <3|+3|; T > f T當(dāng)a與“同向時(shí)，則+以“、同向，且+二 +，> > T->一當(dāng)4與反向時(shí)，若一 !>/ ,則+力的方向與相同，且1=""：若"k >，則"+分的方向與B相同，且i7+b =i ； i.（4）向量加法的運(yùn)算律 i 向量加法的交換律：3二2£向量加法的結(jié)合律：（4+外+傳+C） 知識點(diǎn)二：向量的減法（1）相反向量:與長度相同、方向相反的向量.記作-Z（2）向量。和-"互為相反向量，即零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向

9、量，即" +（-"）=（-7）+ 2 =6.如果向量方互為相反向量，那么=-口3=-7, 3+1=6.（3）向量減法的定義：向量"加上的"相反向量，叫做與坂的差.即：a_ b= a+（_ b） 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.（4）向量減法的幾何作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作。4 =區(qū)03 = /?，則而="一譏即"一族可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量，這就是向量減法的幾何意義.說明：瓦表示£一族.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)用“相反向量”定義法作差向量，"- B="+（一3），顯然，此法作圖

10、較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.知識點(diǎn)三：向量數(shù)乘的定義（1）定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)幾與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘, 記作見",它的長度與方向規(guī)定如下：TT當(dāng)2°時(shí)，入。的方向與。的方向相同；當(dāng)幾°時(shí)，卜a（1）1入勺=1入a I的方向與。的方向相反. 當(dāng) =。時(shí)，入。=。（2）向量數(shù)乘的運(yùn)算律根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律:設(shè)4、為實(shí)數(shù),那么 4 （ 。）=（4 p） a ；（4 + ）。=4 +一 a ：（3）4（"+B）=l" +Ab .知識點(diǎn)四：向量共線的條件向量與8共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)幾，使=

11、%&.【典型例題】I.下列各式正確的是（）A.若同向,則1。+3U。1+而B.，； +坂與|勺+田|表示的意義是相同的C.若7,坂不共線，則|CjM>|4|十5lD.永遠(yuǎn)成立2 AO + O8 + OC + CA + 8O 等于（）A. 48 B. G C. BC D, “3 .下列命題如果"，坂的方向相同或相反，那么，；+坂的方向必與坂之一的方向相同。AABC中，必有A5 + SC + c2 = 0苑敢也并了選方,便尸鳳尉里程。則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。若，坂均為非零向量,T T則I"加與|”|+也|一定相等。其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A. 0 B.

12、1 C. 2 D. 34 .已知一點(diǎn)0到平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別為則向 量3等于（）TTTTTTTTTT T TA ci + b + c b a b + c c a + b c q a b - c > > I - . -> >I 、5.在四邊形ABCD中，設(shè)A8 = a,A° = b,BC = c,則。C等于()A.a-b + c b.人一(a + c)T T TT T TC. a + b + cd.8-4 + c6.設(shè)坂是Z的相反向量，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.。與“的長度必相等B. a/bC. 7與坂一定不相等D.7是坂的相反向量7

13、.是Ad可以寫成：AO + OC；AO-OC：Q4-0C；。C-。工 （）其中正確的A. B. C. D. ©8.如圖所示，在 2ABCD中，已知A5 = a,£>8 = ",用"與了表示向量而AC、 O【同步練習(xí)】1 .在以下各命題中，不正確的命題個(gè)數(shù)為（）|=| |是” =b的必要不充分條件:任一非零向量的方向都是惟一的； T-> T TI。* KP 1+mI 若I。/1=1。Mb I,則沙=° ；已知A、B、C是平而上的任意三點(diǎn)，則A3 + 5C + C3 = 0A. 1 B. 2 C. 3 D. 42 .某人先位移向量&qu

14、ot;：”向東走3km”,接著再位移向量口“向北走3km”,則（）A.向東南走3JikmB.向東北走工/lkmC.向東南走3上kmD.向東北走3上km3 .若M司=8，忸司=5,則18cl的取值范圍是（）A.豪 B. (3, 8) C 團(tuán)3 D. (3, 13)4.設(shè)ABCDEF為一正六邊形,AB = AE = n5.化簡：（金8一8）一（力°一郎）"一第三課時(shí)平面向量的基本定理【重要知識】知識點(diǎn)一：平面向量基本定理»平而向量基本定理：如果S是同一平而內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi) 的任一向量工，有且只有一對實(shí)數(shù)4'%使"二我們把不共線向

15、量，6叫 做表示這一平而內(nèi)所有向量的一組基底；（2）運(yùn)用定理時(shí)需注意：S是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量。> »該平面內(nèi)的任一向量都可用與，S線性表示，且這種表示是唯一的?；撞晃ㄒ?，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底。知識點(diǎn)二：兩向量的夾角與垂直T T *T T（1）定義：已知兩個(gè)非零向量"力，作。二兄"二方，則NAOB=e叫做向量"與"的夾 角。（2）如果“與坂的夾角是90° ,就說"拓垂直，記作“上上（3）注意：向量）與坂的夾角的范圍是0°<6<180。，當(dāng)8 = 0。時(shí)，與坂同向；當(dāng)

16、8 = 90。時(shí)，alb：當(dāng)8 = 180。，£與族反向。知識點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)表示（1）如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量；J作為基底.任作一個(gè)向量工，由平而向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)X、）'，使得a = xi + yj我們把“，y）叫做向量"的（直角）坐標(biāo)，記作a = （x, y）其中叫做Z在x軸上的坐標(biāo)，）'叫做在）'軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.與"相等的向量的坐標(biāo)也為特別地，7=（i,o）, j=（o, i）,6=（o,o）,如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)0為起點(diǎn)作方=工，則點(diǎn)A的位置 由

17、唯一確定.設(shè)次= +），）,則向量質(zhì) 的坐標(biāo)（乂丁）就是點(diǎn)A的坐標(biāo)：反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)（，）'）也就是向量04的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯 一表不.（2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若2 = （%,y）葦=（孫月），則；+坂二區(qū)+/，刃+%）, a-b =372，乃一力） 兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.若A（M，y）, 8（，乃），則A* =（_玉，）'2必）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).（3）若a = （x,y）和實(shí)數(shù) ,則.Aa = （Ax, Ay）實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘

18、原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).知識點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（1）設(shè)。=（內(nèi),凹）,坂=02，、2），其中3工6,當(dāng)且僅當(dāng)王力一42'1 =。時(shí)，向量。與坂共線。（2）注意:遇到與共線有關(guān)的問題時(shí)，一般要考慮運(yùn)用兩向量共線的條件。運(yùn)用兩向量共線的條件，可求點(diǎn)的坐標(biāo)，可證明三點(diǎn)共線等問題。學(xué)習(xí)結(jié)論（1）在解具體問題時(shí)，要適當(dāng)?shù)倪x取基底。把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。fa = Ab（2）向量共線的充要條件有兩種形式：a/h （2#6）為），2-修外=°（3）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0。0W180?！镜湫屠}】1.已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2, 1）, B（-l

19、, 3）, C（3, 4）,求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這 四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).y)的合力耳+鳥+用二°,求3的*. 1 2 .己知三個(gè)力G(3, 4),5(2, -5),尸3(X,坐標(biāo).3 .若向量x)與B=(-x, 2)共線且方向相同，求x4 .己知 A(-l, -1), B(l, 3), C(b 5) , D(2, 7),向量 AB 與 C。平行嗎？直線 AB 與平行于直線CD嗎？【同步練習(xí)】基礎(chǔ)練習(xí)L下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()句=(0,0)，3 =(1,-2) A.r q =(3,5),e? =(6,10)T2.1. 知二(2, 3),二(- 1,

20、 2),A. (5, 1)C. (7, 0)B et = (5,7),2 =(-1,2)T-13ei =(2.-3)電=(,一-)D24 則2& - 3b等于B. (5, -3)D. (一7, 0)1苑敢也薦了選方,便尸鳳尉里程。T3 .己知二(-1, 3), b =(x, - 1),且""，則工等于C. - 34.下列各組向量是相互平行的是D. - 3A.a=(-2, 3), b=(3, 5)B. a= (3, 2), b= (2, 3)C.a=(2, 1), b= (1, 4)D. a= (2, 1), b二(4, 2)5.己知 A (x, 2), B (5,

21、y-2),若麗二(4, 6),貝lj x、y 的值為 ()A. x=-1, y=0B. x=L y=10C. x=l> y=10D. x=-1> y= -106.已知 M (3, -2),N (-5, - 1),標(biāo)二2麗，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為A. (8, 1)C. (b 2 )B. ( 1, 2 )D. (8, -1)2.1. 一2),。+二(4, -10),則“等于A. (-2, -2)B. (2, 2)C. (一2, 2)D. (2, -2)8.己知。2 = 1, b2 ,(。一)“二0,則。與8的夾角是A. 60。B. 90。C. 45。D. 30。提高練習(xí)1 .已知向量 =(3,

22、-2)了 = (-2,l),c = (7,T),試用4方來表示乙2 .向量04 = /2),03 = (4,5), = (10,"),當(dāng)女為何值時(shí)，a、B、C三點(diǎn)共線。3 .已知MBC 中 a(7,8),B(3,5),C(4,3), M、N 是 AB、CD 的中點(diǎn)，D 是 BC 的中點(diǎn),MN 與AD交于F。求D尸4.已知點(diǎn)次T2),8(2司及ac = -ab/da =3-BA*3 o求點(diǎn)C、D和的坐標(biāo)。1苑敢也薦了選方,便尸,才“鳳尉里程。第四課時(shí)平面向量的數(shù)量積【重要知識】知識點(diǎn)一：平面向量的數(shù)量積（1）定義:：已知兩個(gè)非零向量工與坂，它們的夾角是0,則數(shù)量"|業(yè)Icos

23、e叫Z與BT TT TTT的數(shù)量積，記作即有= a b cosO, （OWOWni）（2） .并規(guī)定o與任何向量的數(shù)量積為0.（3） 投影：“投影”的概念:作圖投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)。為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)。為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)。為直角時(shí)投影為o：當(dāng)e = o。時(shí)投影為I坂I：當(dāng)e二180。時(shí)投影為- % .（4） 兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積的區(qū)別兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cose的符號所決定.當(dāng)0。&e<T T T90° 時(shí)，a b >0；當(dāng)6=90° 時(shí)，“為=0：當(dāng) 90° <6180° 時(shí)

24、，a b <0.兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成> 3： .符號“-”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“X”代替.在實(shí)數(shù)中，若aM,且ab=0,則b=0；但是在數(shù)量積中，若"工,且"石丸，不能T T推出“二° .因?yàn)槠渲衏os。有可能為0.（5）平面向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積B等于的長度與5在"方向上投影I坂| cos。的乘積.T -a,bT注意：石在Z方向上投影可以寫成“（6）平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)3、坂為兩個(gè)非零向量， a±b a.b=Q 當(dāng)與坂同向時(shí)，73二1B、當(dāng)之與B反向時(shí)，".屋一"特

25、別的 二 2或T T Ta-b < a b T T ab u cos6二 ,利用這一關(guān)系，可求兩個(gè)向量的夾角。（7）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 .交換律：2* = "" .數(shù)乘結(jié)合律：（九"）1二九（H）=".（入石） .分配律：G+B）二>：+坂T說明：一般地，（“） CW" H C ） a c = b . c , c ¥QW a =b 有如下常用性質(zhì)：a =a（“+/?）（，+"）a . c "+ c _j_/? d（« + S）2 =a +2a-b+b知識點(diǎn)二：平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（1

26、）已知兩個(gè)非零向量4 =（'»'）"=（，%），則7 .3=玉/+必力，即兩個(gè)向量 的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。（2）向量模的坐標(biāo)表示= V + y2,即"="2 + ）,2如果表示向量"的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（xX）、（±，乃），那么（3）注 意： 若 A （'"J、 B （"2，為）, 則 苑敢也并了選方,便尸鳳尉里程。而2 f ）,|羽= J（X2f）、G，2f）所以|碼的實(shí)質(zhì)是AB的 兩點(diǎn)的距離或是線段的長度，這也是模的幾何意義。（4）兩個(gè)向量垂直的條件設(shè)之二（小凹通=（孫為）,則"通=中2 +,，通=0（5） 兩向量夾角的余弦公式-（6）設(shè)兩個(gè)非零向量”=（內(nèi)，凹）力=（，%），6是z與否的夾角，則有T - a,bcos 夕二學(xué)習(xí)結(jié)論（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cos。的符號所決定.（2） 數(shù)學(xué)中涉及向量中點(diǎn)、夾角、距離、平行與垂直問題，均可轉(zhuǎn)化為向量問題。 兩向量垂直的充要條件有時(shí)與向量共線條件結(jié)合在一起，要注意兩者的聯(lián)系。【典型例題】1.已知Z與3都是非零向量，且>+3坂與.-5芯垂直，"-4坂與7>-2坂垂直，求"與石的夾角.2 .求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平