高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 巧用圓心妙解題

1、巧用圓心妙解題圓是解析幾何的基本圖形之一，它既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，善于抓住圓心，可使問(wèn)題迅速得到解決1 最值問(wèn)題例1 已知，求的最大值與最小值解：將已知方程配方，得，圓心，半徑，原點(diǎn)在圓外又表示圓上動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，的最大值為，的最小值為點(diǎn)評(píng)：若點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，則該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最大距離為，最小距離為；若點(diǎn)在圓內(nèi)，則該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最大距離為，最小距離為例2 已知圓，點(diǎn)在圓上，求點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離，并求最近點(diǎn)的坐標(biāo)解：將已知方程配方，得，圓心，半徑，圓心到直線的距離，直線與已知圓相離，點(diǎn)到直線最大距離為，到直線最小距離為過(guò)與垂直的直線方程是，聯(lián)立，

2、解得或（舍去）則點(diǎn)為圓上與直線最近的點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線最大距離為，最小距離為；當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線最大距離為，最小距離為0（其中為圓心到直線的距離，為圓的半徑）2 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例3 求與圓關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)的圓的方程分析：圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的曲線仍是圓，且兩圓大小相等，只是兩圓圓心位置不同，因此，此類(lèi)問(wèn)題可化歸為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決解：將已知圓的方程配方，得，圓心，半徑設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則解得所求圓的方程為，即點(diǎn)評(píng)：求解點(diǎn)（或曲線）關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)，還可利用代換法，比如本例，由，得代入已知圓的方程，得，化簡(jiǎn)即得所求對(duì)稱(chēng)圓的方程，即，該方法適合于求解客觀題型3 判斷位置關(guān)系例4 已知點(diǎn)是圓內(nèi)異于圓心的點(diǎn)，則直線與此圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）2個(gè)1個(gè)0個(gè)不能確定解析：點(diǎn)是圓內(nèi)異于圓心的點(diǎn)，即，圓心到直線的距離，故直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)，選（）點(diǎn)評(píng)：判斷點(diǎn)（或直線）與圓的位置關(guān)系時(shí)，常利用圓心到點(diǎn)（或直線）的距離與半徑大小進(jìn)行比較，該方法簡(jiǎn)捷方便4 求參數(shù)的大小例5 已知圓及直線，當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，則（）解析：如右圖，依題意，圓心到直線的距離應(yīng)等于1，即，選（）點(diǎn)評(píng)：在解與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，從