信號(hào)與系統(tǒng)鄭君里版302周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件

1、北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院2019.33.2 周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉級(jí)數(shù);主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系 頻譜圖函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系周期信號(hào)的功率傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差X;cosn1t sinm1t = 0 , , cosn cosn1t 1t cosmcosm1t = 1t = 2 2 0, 0, , ,T sinnT sinn1t 1t sinmsinm1t = 1t = 2 2 0, 0,t在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,.m = nm nm = nm nT TT TT2T22T222由積分可知由積分可知一三角函數(shù)形式的傅

2、里葉級(jí)數(shù)1.三角函數(shù)集cosn1t,sinn1t是一個(gè)完備的正交函數(shù)集;f (t) = a0 +(an cosn1t +bn sinn1t)t0 f (t)dtt0 f (t)dtt0 f (t)cosnt0 f (t)cosn1tdt1tdt2T1(1)(1)直流分量直流分量1 t0+TTa0 =余弦分量的幅度余弦分量的幅度 an = an =2 t0+TT正弦分量的幅度正弦分量的幅度 bn = bn =t0+Tt02Tf (t)sinn1tdt2級(jí)數(shù)形式周期信號(hào) f(t),周期為T1 ,基波角頻率為 1 =在滿足狄氏條件時(shí)，可展成n=1稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù);其他形式余弦形式n=

3、12 2 1n nan = cn cos?n bn = cn sin?n正弦形式n=11 an an = dn sinn bn = dn cosnX;關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖可畫出頻譜圖周期信號(hào)頻譜具有離散性，諧波性，收斂性Xcn ?n 幅度頻率特性和相位頻率特性周期信號(hào)可分解為直流，基波1 ）和各次諧波（n1 :基波角頻率的整數(shù)倍的線性組合;1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 ejn t n = 0, ejn t n = 0,1,1,2L2L二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)12 2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式) =T10T10f (t) ej

4、n1t dtejn1tejn1t dtF(n1(4)(4)F(n1)ejn1tn=f (t) =(5)(5)= =T101Tf (t)ejn1t dt3 3系數(shù)系數(shù)利用復(fù)變函數(shù)的正交特性利用復(fù)變函數(shù)的正交特性也可寫為也可寫為FnFn;( (, ,) )區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)區(qū)間上的指數(shù)信號(hào) ejn ejn t t說(shuō)明(4 5 (的線性組合。的線性組合。 如給出如給出F(n1)F(n1)，則，則f(t)f(t)唯一確定，唯一確定， ) )、 ) )式是一對(duì)式是一對(duì)變換對(duì)。變換對(duì)。X X1周期信號(hào)可分解為周期信號(hào)可分解為(4)(4)F(n1)ejn1tn=f (t) =(5)(5)T101Tf (t)

5、ejn1t dtF(n1)=;0 f (t)cosn0 f (t)cosn1tdt 1tdt jT jT 0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt1tdt0 f (t)cosn0 f (t)cosn1tdt + jT 1tdt + jT 0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt1tdt三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖T01Tf (t)ejn1t dtF(n1) = =1 T 1 TT(an (an jbn) jbn)= =121 T 1 TTF(n1) =12(an + jbn)(an + jbn)= =利用歐拉公式利用歐拉公式F(n1)= F(n1)ej?nF(nF(n1

6、),F(1),F(n n1)1)是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù);an + bn =?n = tg n = tg cn12122 2F(n1) =幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性1 bn an 關(guān)于的偶函數(shù)實(shí)際n 取正值）關(guān)于的奇函數(shù)實(shí)際n 取正值）關(guān)于的偶函數(shù)關(guān)于的奇函數(shù)相頻特性相頻特性ananbnbnF(n1)F(n1)?(n1)(n1);31cnc0c1c3O 131?n nO 1頻譜圖離散譜，譜線離散譜，譜線Fn 曲線曲線幅度頻譜幅度頻譜cn cn 或或相位頻譜相位頻譜?n n 曲線曲線;四總結(jié)（1 1周期信號(hào)周期信號(hào)f(t)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式（2 2兩種頻譜圖的關(guān)系兩

7、種頻譜圖的關(guān)系（3 3周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)（4 4引入負(fù)頻率引入負(fù)頻率X X;f (t) = a0 + (an cosn1t + bn sinn1t)=c0 + cn cos(n1t +?n)n=1n=1F(n1) ejn1tn=f (t) =三角形式三角形式指數(shù)形式指數(shù)形式;12F0 = c0 = a0cn(n 0)F(n1) =相位頻譜為奇函數(shù)相位頻譜為奇函數(shù)?(n1) = (n1) = ?( (n1)n1)單邊頻譜單邊頻譜雙邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系關(guān)系(2)兩種頻譜圖的關(guān)系 三角函數(shù)形式：cn ，?n 指數(shù)函數(shù)形式： Fn ，?n 指數(shù)形式的幅度譜為

8、偶函數(shù)F(n1) = F(n1);唯一性：唯一性：f (t)的譜線唯一的譜線唯一(3)三個(gè)性質(zhì)收斂性： n, F(n1) 諧波性： （離散性），頻率只出現(xiàn)在n1處注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性(4)引入負(fù)頻率對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率(n1)，只有數(shù)學(xué)意義，而無(wú)物理意義。為什么引入負(fù)頻率?f(t)是實(shí)函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對(duì)ejn1和ejn1，才能保證f (t)的實(shí)函數(shù)的性質(zhì)不變。X;五函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量X;(an (an jbn)= an jbn)= an傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦項(xiàng)，只含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦項(xiàng)，只含直流

9、項(xiàng)和余弦項(xiàng)。F(n1)F(n1)為實(shí)函數(shù)。為實(shí)函數(shù)。X X1偶函數(shù)信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的f (t)LLtTEOT T2T0bn = 04an =Tf (t) = f (t)f (t)cosn1tdt 01212F n= F(n1) =?n = 0n = 0;T 2 f (t)dt = 0T 2 f (t)dt = 02f (t)cosn1tdt = 0T0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt = T 1tdt = T 0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt 1tdt 0 04 T 2(an (an jbn)= jbn)= jbn jbn2奇函數(shù)波形相對(duì)于縱坐標(biāo)是

10、反對(duì)稱的：f (t) = f (t)LTLTf (t)1O1傅里葉級(jí)數(shù)中無(wú)余弦分量，傅里葉級(jí)數(shù)中無(wú)余弦分量，F(xiàn)(n1)F(n1)為虛函數(shù)。為虛函數(shù)。1 T 2TT2T2a0 =an =Tbn =2T1212Fn = F(n1) =;期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)， L Lf (t) = f t 0 f (t)cosn0 f (t)cosn1tdt1tdt0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt1tdt4 T 2T4 T 2Tbn =n=1,3,5,時(shí)時(shí), an =f (t)LT TO T 2 T3奇諧函數(shù)若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周此時(shí)波形并不發(fā)生變化：此時(shí)波形并不發(fā)生

11、變化： T T 2 2 f(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即a0 = 0n=2,4,6,時(shí)時(shí), an = bn = 0;波形移動(dòng)波形移動(dòng)T1f(t)= f t 1 0 f (t)cosn0 f (t)cosn1tdt1tdt0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt1tdt T T 2 2 2T11 =1 =4偶諧函數(shù)4 T1 2T1bn =4 T1 2T1n=2,4,6,時(shí)時(shí), an =f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量n=1,3,5,時(shí)時(shí), an = bn = 0f (t)LLtT1T1 2T1 T1 T1 2OT1 2O與原波形重合，2稱為偶諧函數(shù)。;f (t)dt = c0+ +(a(a)= )= F F六周期信號(hào)的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn);說(shuō)明：周期信號(hào)平均功率=直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說(shuō)，時(shí)域和頻域的能量是守恒的.2隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)。Xn=nn+ bn+ bn2n=1222P =T021T;f(t)= a0 +an cosn1t + bn sinn1tSN = a0 +an cosn1t + bn si