高二數(shù)學(xué)第56課 直線與橢圓教案

1、第56課 直線與橢圓考試目標(biāo) 主詞填空1.橢圓的定義與方程橢圓的第一定義：已知F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)它們滿足條件|PF1|+|PF2|=定長2a且2a>|F1F2|時(shí)，P的軌跡是橢圓.橢圓的第二定義：設(shè)F為定點(diǎn)，l是定直線，P是動(dòng)點(diǎn)，P、F及l(fā)共面，當(dāng)且僅當(dāng)它們滿足條件時(shí)，P的軌跡是橢圓.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程是，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是.2.橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)橢圓b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)而言，其范圍是x-a，ay-b，b，關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (±a，0)，(0，±b)，離心

2、率e=準(zhǔn)線方程是.3.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)部的充要條件是；在橢圓外部的充要條件是；在橢圓上的充要條件是.4.直線與橢圓的位置關(guān)系.設(shè)直線l：Ax+By+C=0，橢圓C：，聯(lián)立l與C，消去某一變量(x或y)得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，此一元二次方程的判別式為，則l與C相離的<0；l與C相切=0；l與C相交于不同兩點(diǎn)>0.5.橢圓方程的確定求橢圓方程，若中心和對(duì)稱軸已知，則在a、b、c中只須確定兩個(gè)，因a2=b2+c2常用的方法是列方程組，解方程組，從而確定系數(shù)a、b、c.6.弦長計(jì)算計(jì)算橢圓被直線截得的弦長，往往是設(shè)而不求，即設(shè)弦兩端坐標(biāo)為P1(x1，y

3、1)，P2(x2，y2)|P1P2|=f(k)形式(利用根與系數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化).題型示例 點(diǎn)津歸納【例1】 根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩準(zhǔn)線間的距離是 ；(2)和橢圓共準(zhǔn)線，且離心率為；(3)已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).【解前點(diǎn)津】 (1)先根據(jù)條件選擇適當(dāng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后建立關(guān)于a，b，c的方程組確定系數(shù)a，b，c；(2)對(duì)給定橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，可用第一定義求橢圓的方程；(3)對(duì)于給定橢圓上一點(diǎn)及一焦點(diǎn)及相應(yīng)準(zhǔn)線用第二定義求橢圓方程.【規(guī)范解答】 (1)設(shè)橢圓長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，則2 ， 2c

4、=2 ， a2=b2+c2 解由構(gòu)成的方程組得：a=3，b=2.故所求橢圓方程為.(2)設(shè)橢圓方程為： (a>0，b>0)，則其準(zhǔn)線為x=±12，所以：.故所求橢圓方程為.(3)由2a=|PF1|+|PF2|=2 ，a= ，由，故所求橢圓方程為.【解后歸納】 求橢圓的方程，一是選擇恰當(dāng)?shù)男问?，二是利用其幾何性質(zhì)，然后列出方程組，通過解方程組確定系數(shù).【例2】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與該橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.【解前點(diǎn)津】 由題設(shè)條件，不能確定焦點(diǎn)是在x軸，還是在y軸上，且對(duì)于a、b、c的關(guān)系條件未作定性說明，

5、故可設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m>0，n>0)簡(jiǎn)便.【規(guī)范解答】 設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m>0，n>0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由中消去y并依x聚項(xiàng)整理得：(m+n)·x2+2nx+(n-1)=0，=4n2-4(m+n)·(n-1)>0，即m+n-mn>0，OPOQ等價(jià)于x1x2+y1y2=0，將y1=x1+1，y2=x2+1代入得：2x1x2+(x1+x2)+1=0， 又|PQ|= 聯(lián)立并解之得： 經(jīng)檢驗(yàn)這兩組解都滿足>0，故所求橢圓方程為x2+3y2=2或3x2+y2=2.【解后歸納】 中心在

6、原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓方程可用統(tǒng)一形式：mx2+ny2=1(m>0，n>0)，m與n的大小關(guān)系，決定了焦點(diǎn)位置.【例3】 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P(0， )到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程.【解前點(diǎn)津】 由條件，可將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程用含一個(gè)參數(shù)的形式表示，將“最遠(yuǎn)距離”轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】 由e=可推出a=2b，于是可設(shè)橢圓方程為：，即有x2=4b2-4y2.設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，且-byb，|PM|2=-3(y+)2+4b2+3，由于y-b，b，于是轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間-b，b，求二次函數(shù)的最值.當(dāng)b<時(shí)，y

7、=-b，|PM|2有最大值b2+3b+，令b2+3b+=()2，解得b=-，舍去.當(dāng)b時(shí)，取y=-知|PM|2有最大值4b2+3，令4b2+3=( )2解得：b=1，a=2，故所求方程為：.【解后歸納】 這是一道解析幾何與函數(shù)的綜合題，其知識(shí)的交匯點(diǎn)及“等價(jià)轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，是必須“關(guān)注”的.【例4】 設(shè)橢圓方程為，過原點(diǎn)且傾斜角為和-(0<<)的兩條直線分別交橢圓于A、C和B、D兩點(diǎn).(1)用表示四邊形ABCD的面積；(2)當(dāng)(0， )時(shí)，求S的最大值.【解前點(diǎn)津】 設(shè)直線方程為y=x·tan，利用橢圓圖形的“對(duì)稱性”，易用表示S，然后運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)，求面積S的最大值.

8、【規(guī)范解答】 (1)設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為：y=x·tan，代入求得：x2=，由對(duì)稱性知四邊形ABCD為矩形，又由于0<<，所以四邊形ABCD的面積為：S=4|xy|=.(2)當(dāng)0<時(shí)，0<tan1，設(shè)t=tan，則S=(0<t1)，函數(shù)f(t)=t+在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，f(t)min=f(1)=1+2=3，當(dāng)=時(shí)，Smax=.【解后歸納】 從代數(shù)角度出發(fā)，利用橢圓的幾何性質(zhì)，確定四邊形ABCD為矩形，是解題的一個(gè)亮點(diǎn)，讀者應(yīng)認(rèn)真體會(huì).對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.橢圓短軸長是2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準(zhǔn)線距離是 ( )A.

9、 B. C. D. 2.如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ( )A.(0，+) B.(0，2) C (1，+) D.(0，1)3.設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，如果PF1F2=75°，PF2F1=15°，則橢圓的離心率為 ( )A. B. C. D. 4.一個(gè)橢圓的離心率為e=，準(zhǔn)線方程為x=4，對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)為F(2，0)，則橢圓的方程為 ( )A.3x2+4y2=8 B.4x2+3y2=8 C.3x2+4y2+8x=0 D.3x2+4y2-8x=05.橢圓 (a>b>0)的中心及兩個(gè)焦點(diǎn)將x軸夾在準(zhǔn)線間的線段四等分，則橢

10、圓的離心率為 ( )A. B. C. D. 6.到定點(diǎn)(2，0)的距離與到定直線x=8的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是 ( )A.3x2+4y2=48 B.x2+2y2+8x-56=0 C.4x2+3y2=48 D.3x2+2y2-8x+68=07.已知橢圓的焦點(diǎn)為F1(-3，2)、F2(5，2)，長軸長為10，則橢圓的方程為 ( )A. B. C. D. 8.已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P(1，-1)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|取得最小值，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ( )A. B. C. D. 9.已知橢圓，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，B(2，2)是其內(nèi)一點(diǎn)，M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則|MF

11、1|+|MB|的最大值與最小值分別是 ( )A.10+，10- B.10+，10- C.10+2，10-2 D.10+2 ，10-2二、思維激活10.橢圓方程為，點(diǎn)A、B在橢圓上，并且直線AB經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，則ABF2的周長是 .11.以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過點(diǎn)P()和Q(-，3)，則橢圓的方程為 .12.P是橢圓 (a>b>0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若PF1F2=，PF2F1=，則橢圓的離心率用、表示就是 . 13.橢圓 (a>b>0)上一點(diǎn)M滿足F1MF2=，其中F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則F1MF2的面積

12、等于 .三、能力提高14.已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn)，且PF1PF2，若P點(diǎn)到兩準(zhǔn)線的距離分別為6和12，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.15.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1和F2，過中心O作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若ABF2的面積為20，求直線AB的方程. 16.已知橢圓 (a>b>0)，F(xiàn)1、F2分別為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，=F1PF2，求的最大值及取得最大值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).17.已知橢圓+y2=1.(1)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；(2)過A(2，1)的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；(3)過點(diǎn)P且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程.第

13、1課 直線與橢圓習(xí)題解答1.D因b=1，a=2，c= 2.D因a2=，b2=2故由a>b>0得，0<k<1.3.B如圖所示，在PF1F2中，F(xiàn)1PF2=90°，|PF1|=2c·cos75°，|PF2|=2c·sin75°2a=2ccos75°+2csin75° ，故選B.4.D設(shè)P(x，y)為橢圓上的流動(dòng)坐標(biāo)，由橢圓的第二定義得：，即4·(x2+y2+4-4x)=(x-4)2化簡(jiǎn)即得.5.A由條件得：2c= .6. B由橢圓第二定義得：，化簡(jiǎn)即得.7.D將橢圓按向量a=(1，2)平移即得.

14、8.A如圖所示，右準(zhǔn)線l的方程為x=4，而l=，由第二定義得2|MF|=2· |MH|=|MH|，故：|MP|+2|MF|=|MP|+|MH|P到l的距離，過P作|PH|l交橢圓于M，易求得M的坐標(biāo)為： .9.C因a=5，b=3，c=4，由橢圓的定義得：|MF1|+|MB|=2a-|MF2|+|MB|=10+|MB|-|MF2|，過F2作lx軸交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)就是所求的點(diǎn)M.10.因a=2，b=，c=，左焦點(diǎn)為F1(-，0)，右焦點(diǎn)為F2(，0)，兩式相加得ABF2的周長是8.11.因橢圓中心在原點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0，n

15、>0).由得.故橢圓方程為：x2+=1.12.如圖所示，在PF1F2中，由正弦定理得：|PF2|=2Rsin，|PF1|=2Rsin，|F1F2|=2Rsin(+). 13.如圖所示，則由(2c)2=(2a)2-(2·2S+2·2S·cos)·cscc2=a2-csc·(1+cos)·SS=.14.如圖所示，設(shè)橢圓的方程，焦距為2c，則|PF1|=×6，|PF2|=×12代入：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2得36=4c2a2=45，又6+12=×2，c=5，b2=a2-c2=20，故所求

16、橢圓方程為：.15.當(dāng)ABF1F2時(shí)，AB與F1F2不能垂直，可設(shè)直線AB的方程為：y=kx，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA，yA)，(xB，yB)由得：(4+9k2)·x2-180=0，|xA-xB|=SABF= SOBF + SOAF=·|OF2|·|yB|+|OF2|·|yA|=×5(|yB|+|yA|)=|yA-yB|SABF =20，|yA-yB|=20，|yA-yB|=8即|kxA-kxB|=8，亦即|k|·=8，k=±.故所求直線方程是y=±x.16.設(shè)P(x，y)，則，|PF1|=a+x，同理|PF2|=a-x，在F1PF2中，由余弦定理：cos=-axa0x2a2，當(dāng)x=0時(shí)，cos=最小.17.(1)設(shè)斜率為2并與橢圓相交的直線方程為：y=2x+m，直線與橢圓的交點(diǎn)為：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，中點(diǎn)為P(x，y)從方程組中消去y并依x聚項(xiàng)整理得：9x2+8mx+(2m2-2)=0，-3<m<3消去m并整理得：x+4y=0 .(2)不妨設(shè)過A的直線方程為y-1=k(x-2)，即y=kx+(1-2k)從方程組中消去y并依x聚項(xiàng)整理得：(2k2+1)·x2+