李群,拓撲與微分幾何

1、【doc】李群，拓撲與微分幾何李群, 拓撲與微分幾何; f/ 廠 ;重壟璧( 南開大學數學系天津 S00071)摘要該文介紹產志達院士的若千工作 , 以慶賀他的八十壽辰 .q在西南聯大時 , 轉入算學 嚴志達教授是江蘇南通人 .1936 年考入清華大學物理 系.系.1941 年畢業(yè)后在云南大學任教 .1946 年赴法留學 , 獲法國家博士學位 .1952 年回國后在南開大學任教 .1993 年當選中國科學院院士 . 嚴志達的第一篇數學論文是他在學生時代與當時西南聯大教授陳省身合作的 . 此文得到的關于積分幾何運動基本公式lz(D.nD)dKJ0?型01 一 z(Do)V1+.l,z(D)Vo+

2、?M,:被稱為豫一嚴公式 .當時, 陳省身,華羅庚等在西南聯大舉辦了在國內外都很先進的李群討論班 , 代 數討論班(內容有典型群的表示理論等 ). 這些討論班無疑對嚴志達以后從事李群和 般分幾何的研究產生了重要影響 .如果一個群G同時還有微分流形的結構，而且群的兩種運算（乘法與求逆）是解 析 的,則稱G為李群.李群G的左不變向量場構成一個李代數,記為LieGg.李群G 的左不變向量場x完全由它在單元處的值x決定.因而，我們也可以將g視為G在處的 切空間 . 粗糙地說 ,G 的包含的連通分支可由 g 經過指數映射得到 . 從上面所說 , 可 以看到李群與數學中的許多分支相聯系 . 因而是數學理論

3、中極深刻的部分 . 幺模群 （ 行 列式為 1的線性變換或矩陣所成的群 ）, 正交群 , 酉群及辛群都是很重要的一類李群一單 李群中的部分 , 它們被稱為典型群 . 除典型群外的單李群還有 G,E6,E 和最等五種類型 . 它 們的結構是很復雜的 . 它們被稱為例外單李群 .大家知道 ,Betti 數是一個非常重要的拓撲不變量 . 李群有微分流形結構 , 自然就 有拓撲結構 . 因而單李群的 Betti 數一時成為數學中的焦點 . 典型群的 Betti 數為數 學大師Brauer,Pontrjajtn 等逐一地確定 . 然而 " 例外單李群的 Betti 數的確定有不可 比擬的難度

4、,因此困擾了許多研究這方面工作的領袖 ".嚴志達另辟途徑 , 將李群的表示理論用于研究李群與齊性空間的拓撲性質給出 了計算李群 Betti 數的一般方法 , 從而算出了例外單李群及某些齊性空間的 Betti數. 這是很有199自7然0 科 7g 學 O 基 B 金目 lg7l.45磊猻丁I” 、:群拳362 數學物理 V0I.17創(chuàng)造性的歷史性的工作 .C.Cheval!ey 在 1950年世界數學家大會作報告時 , 一上 講臺就在黑板上寫下了嚴志達 "三個字,足見這個工作的重要 .陳省身稱:" 志達對李群的 拓撲的工作是一個里程碑 .陳-嚴公式, 用表示理論研究

5、李群及齊性空間的拓撲性質使嚴志達一舉成為世界 著名的數學家 .在法國期間 , 嚴志達關于二次外微分形式的等價問題的研究成果也很引人注目.幾何學的發(fā)展從 Euclid 幾何開始 ,之后到璋面幾何 . 兩者雖有很大差別 , 但有很多共同點.例如它們都有可度量性 （即有長度 ,角度等）, 勻齊性（即空間每點的地位都的）和對稱性 （即空同中任意一點都有對稱映射 ,或者說,任意一點都是整個空間 的對稱中心）.由可度量性發(fā)展起來了 Riemann幾何，或者Riemann流形的理論.由勻齊性發(fā)展起來了齊性空間的理論.這類空間可以表示為一個李群 G與它的 閉群的商（陪集空間）G/K形式.這里有兩點是至關重要的

6、.1）V?/K,z 的迷向子群K=g?Glg）=z均與同構2）V.27,Y?G/K, 定有 g?G使得g（）=Y.如果g,?分別為G,K的李代數G/在一點處的切空間就是g/e.由對稱性發(fā)展起來對稱空間的理論 . 對于對稱空間中任意兩點 z, 一定有對稱變換 0 使得 (z)=Y,()=z.從這里知道是對合變換 ( 即作為變換群中元素 , 階為 2)l 對稱空間一定是齊性空 間.既有可度量性又有對稱性的空間稱為 Riemann對稱空間Euclid空間,環(huán)面,球 面, 雙曲空間,射影空間，Grassma流形等等都是Riemann對稱空間.Riemann對稱空間既然是齊性空間,故可表示為G/K的形式

7、.除Euclid空問,環(huán) 面這 兩種簡單情形外,主要研究的Riemann對稱空間歸結為G是單李群,K是G的 一個對合自同構的不動點集 . 即?AutG,儼=.d,K=A?GF)=).若G是緊的,則G/K也是緊的若G是非緊的,則G/K是非緊的,是G的最大緊子 群.這樣,lemann對稱空間的問題歸結為如何尋找(非緊)單李群及其對合自同構 的問 題.如通常一樣,我們是將李群的問題轉化為李代數的問題設g是實半單李代數9.是9的復化.r是g.對g的共軛g在共軛的意義下有唯 一的緊致實形式可選取g的緊致實形式g.使得g對的共軛與r交換此時=?是g.的對合自同構.0在g,9.上的限制分別為g,g的對合自同

8、構,而且g,釓對 分別有 分懈g=+,?嘻 llll刪No.4 孟道驥: 李群, 拓撲與微分幾何 363?gl(),:?gl() 一一 ).稱為g的Caan分解.g的Killing 型在E,P上的限制分別是負定，正定的.后者正好是G/的切空間的 度 量(不計正常數因子 ).反過來,若是緊半單李代數的對合自同構 , 分別為的屬于 1,一 1 的特征子 空間, 則e+? 1是實半單李代數,這也是它的Caan分解.這樣,Riemann對稱空間,實半單李群,實半單李代數的分類,在一定意義上說,都 歸 結是緊單李代數的對合自同構的分類 . 所謂分類問題 , 就是要在每一類中找出一 個代表來 . 當然這個

9、代表越簡單明了越好 .設u是一個緊單李代數，bo是它的Caftan子代數.g,9分別是u,b.的復化.于是 是g的Caftan子代數，而且g+9+?g.?d其中？為g對9的根系.我們可以決定素根系？.g因而u完全？決定,也就由？確定 的 Dynkin 圖決定.從Gantmacher的一個定理可以得到u的任何一對合自同構共軛于 缸，這里是保持Dynkin圖不變的對合自同構,即所謂正則對合自同構；日?b.,且Oo(H)日.這里的形式已經相當簡單 . 但是, 不同的日對應的對合自同構仍有共軛的可能 . 嚴志達用不同于Gantmaeher的方法完全解決了緊單李代數的對合自同構的標準形中, 日還應滿足的

10、條件 :有q?使得nl（日）一?,（日）一 0,啦？11,五?1?（2）q在最高權中的系數m 1或2.此時,由0則可得到一個有Cartan分解（1）的實單李代數g而且.ne+np是g的最大緊（或正常）Gartan子代數，即.n是b的Caxtan子代數.用上面緊 單李代數對合自同構的嚴志達標準形不僅可以解決實單李代數 , 因而實單李群,進而Riemann對稱空間的分類，而且可以明確決定一模P:的結構，因而明 確 決定g的結構.而且實單李代數的分類可在復單李代數的Dynkin圖的基礎上，簡單地用圖來表示.關于實單李代數分類的另一種表示是所謂 Satake 圖.嚴志達還建立 嚴志達與Satake 圖之間的關系 .嚴志達關于實半單李代數的研究不僅得到了漂亮的結果 , 而且對微分幾何中對 稱空間,局部對稱空間；李代數理論中實半單李代數的 Caxtan子代數,Weyl群,表示 理論等都產生了很大的影響 . 可以說, 五, 六十年代形成了我國李群李代數研究很有特色 的群體 . 這種影響還將繼續(xù)下去 , 并日漸擴大 .七十年代 , 嚴志達轉而研究微分幾何在齒輪嚙