工程力學(xué)(人民交通出版社)第3章第2節(jié)力偶系

1、3-23-2力矩與力偶理論力矩與力偶理論一、一、力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)之矩二、力偶與力偶矩二、力偶與力偶矩 三、力偶系的合成與平衡三、力偶系的合成與平衡一、一、力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)物體可產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，在一般情況下，既可能產(chǎn)生移動(dòng)（平動(dòng)）效應(yīng)，力對(duì)物體可產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，在一般情況下，既可能產(chǎn)生移動(dòng)（平動(dòng)）效應(yīng)，也可能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，或者同時(shí)產(chǎn)生這兩種運(yùn)動(dòng)效應(yīng)。力的移動(dòng)效應(yīng)取決于也可能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，或者同時(shí)產(chǎn)生這兩種運(yùn)動(dòng)效應(yīng)。力的移動(dòng)效應(yīng)取決于力的大小和方向，而力使物體繞某點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，則用力對(duì)該點(diǎn)的矩來(lái)度量，力的大小和方向，而力使物體繞某點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，則用力對(duì)該點(diǎn)的矩來(lái)度量，簡(jiǎn)稱力矩。簡(jiǎn)稱力矩。hFO

2、(式中式中O“力矩中心力矩中心”)首先定義好：矩心首先定義好：矩心 ；力臂；力臂表示力矩表示力矩的三要素：的三要素：要素要素1 1：力矩的大小。：力矩的大小。要素要素2 2：力矩的轉(zhuǎn)向：力矩的轉(zhuǎn)向（右手螺旋法則：逆時(shí)針正）。（右手螺旋法則：逆時(shí)針正）。要素要素3 3：力矩的作用面：力矩的作用面（力作用線與矩心構(gòu)成的平面）（力作用線與矩心構(gòu)成的平面）FhFm )(01 1、平面中力矩的概念、平面中力矩的概念+ 逆時(shí)針逆時(shí)針 順時(shí)針順時(shí)針一、一、力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)之矩FhFmo )(oxxyyFxFyFxyxyyFxFFmFmFm )()()(0001 1、平面中力矩的概念、平面中力矩的概念力矩的量

3、綱單位：力矩的量綱單位： 或或 力矩在下列兩種情況下等于零：力矩在下列兩種情況下等于零：（1 1）力的大小等于零；（）力的大小等于零；（2 2）力的作用線通過(guò)矩心，即力臂等于零。）力的作用線通過(guò)矩心，即力臂等于零。力對(duì)點(diǎn)之矩的解析表達(dá)式：力對(duì)點(diǎn)之矩的解析表達(dá)式：mN mkN inRinoooRoFFFFFFFMFMFMFM 2121)()(.)()()(其中： iooFmRm 平面力系的合力矩定理平面力系的合力矩定理 平面力系的合力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力平面力系的合力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。2、合力矩定理、合力矩定理 小技巧

4、小技巧：當(dāng)力臂計(jì)算比較困難時(shí)，應(yīng)用合力矩定理，往：當(dāng)力臂計(jì)算比較困難時(shí)，應(yīng)用合力矩定理，往往可以簡(jiǎn)化力矩的計(jì)算，一般將力分解為兩個(gè)適當(dāng)?shù)姆至?，先往可以?jiǎn)化力矩的計(jì)算，一般將力分解為兩個(gè)適當(dāng)?shù)姆至?，先求出兩分力?duì)此點(diǎn)之矩，然后求其代數(shù)和，即得該力對(duì)點(diǎn)之矩。求出兩分力對(duì)此點(diǎn)之矩，然后求其代數(shù)和，即得該力對(duì)點(diǎn)之矩。結(jié)論：任何力系都適用合力矩定理結(jié)論：任何力系都適用合力矩定理一、一、力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)之矩aABCDb已知F、a、b、，求力F對(duì)A點(diǎn)之矩。EhF解：（解：（1）按力矩定義求：）按力矩定義求：（2）用合力矩定理求：）用合力矩定理求：FxFyxy 例題例題 1cossinsin)(sin)(ba

5、bctgaCDctgAD cossin)( FbFaFhFMA)()()(yAxAAFMFMFM yxFFF sincosFFFFyx aFbFaFbFyx sincoscossin FbFasin)(sinEDADAEh 力偶：力偶：作用在同一剛體上的兩個(gè)大作用在同一剛體上的兩個(gè)大小相等、方向相反、但作用線不重小相等、方向相反、但作用線不重合的一對(duì)力稱為合的一對(duì)力稱為 “ “力偶力偶”。 “力偶力偶”也是一種最簡(jiǎn)單的力系，由于構(gòu)也是一種最簡(jiǎn)單的力系，由于構(gòu)成力偶的兩個(gè)力的作用線彼此平行，所以根成力偶的兩個(gè)力的作用線彼此平行，所以根據(jù)公理二，此二力系不是一個(gè)平衡力系。顯據(jù)公理二，此二力系不是一

6、個(gè)平衡力系。顯然物體在力偶的作用下會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，然物體在力偶的作用下會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，力偶的效應(yīng)是使物體轉(zhuǎn)動(dòng)力偶的效應(yīng)是使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。MFFFFO二、二、力偶與力偶矩力偶與力偶矩 1 1、什么是力偶、什么是力偶2 2、力偶的特點(diǎn)、力偶的特點(diǎn)二、二、力偶與力偶矩力偶與力偶矩 兩個(gè)大小相等，方向相反，且不共線的平行力組成的力系稱為兩個(gè)大小相等，方向相反，且不共線的平行力組成的力系稱為力偶。力偶。 力偶的兩個(gè)力所在的平面稱為力偶的兩個(gè)力所在的平面稱為力偶力偶作用面作用面。 兩力作用線間的垂直距離兩力作用線間的垂直距離d 稱為稱為力偶臂。力偶臂。兩力所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)方向稱為兩力所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)方向稱為力偶的轉(zhuǎn)向力偶的轉(zhuǎn)

7、向。 力偶的表示法：力偶的表示法： 文字表示：文字表示：) ,(FFdFxFxdFFMoFMoFFMo )() ()() ,(正負(fù)規(guī)定：逆時(shí)針為正正負(fù)規(guī)定：逆時(shí)針為正單位量綱：?jiǎn)挝涣烤V：力偶大小：力偶矩：力偶大?。毫ε季兀簣D示：圖示：逆時(shí)針順時(shí)針 mkN mN 或2 2、力偶的特點(diǎn)、力偶的特點(diǎn)二、二、力偶與力偶矩力偶與力偶矩 mFFABrAB力偶的三要素：力偶的三要素： 力偶矩的力偶矩的大小大小、力偶的、力偶的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向、力偶的、力偶的作用面作用面 表示方法：矢量的長(zhǎng)度表示表示方法：矢量的長(zhǎng)度表示力偶矩大小，矢量的方位在力偶力偶矩大小，矢量的方位在力偶作用面的法線方位，指向按作用面的法線方位，指

8、向按“右右手法則手法則”（如圖）。（如圖）。力偶矩矢力偶矩矢用一個(gè)矢量表達(dá)三要素：用一個(gè)矢量表達(dá)三要素：力偶矩矢力偶矩矢。Frm 性質(zhì)性質(zhì)1 1 ：力偶無(wú)合力：力偶無(wú)合力證：由力偶的定義：在一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)大小相等指向相反的平行力。那么，一定有力偶中的兩個(gè)力任何軸上的投影之和恒等于零，即力偶無(wú)合力（或者說(shuō)其合力恒等于零）。 推論：力偶不能合成為一個(gè)合力，力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效替換；亦即不能用一個(gè)力來(lái)平衡。所以，所以力偶對(duì)物體的作用只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而決不會(huì)產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)。力偶只能用力偶只能用具有轉(zhuǎn)動(dòng)效果的另一力偶或力矩來(lái)平衡！具有轉(zhuǎn)動(dòng)效果的另一力偶或力矩來(lái)平衡！ 因此，力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本

9、要素。力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。3 3、力偶的基本性質(zhì)力偶的基本性質(zhì)二、二、力偶與力偶矩力偶與力偶矩 FdxFxdFFMFMFFM ooo,性質(zhì)性質(zhì)2 2 ：力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩均等于力偶矩常數(shù)。力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩均等于力偶矩常數(shù)。與矩心的位置無(wú)關(guān)。與矩心的位置無(wú)關(guān)。3 3、力偶的基本性質(zhì)力偶的基本性質(zhì)二、二、力偶與力偶矩力偶與力偶矩 dFM 證：由證：由則：則：ox 由于矩心由于矩心 O是任意選取的，是任意選取的，因此，力偶對(duì)其作因此，力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩均等于力偶矩，而均等于力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)。與矩心的位置無(wú)關(guān)。 性質(zhì)性質(zhì)3 3： 作用在剛

10、體上同一平面內(nèi)的兩力偶，若它們的力作用在剛體上同一平面內(nèi)的兩力偶，若它們的力偶矩相等偶矩相等, ,則兩力偶等效。則兩力偶等效。 推論推論1 1、作用在剛體上的力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，作用在剛體上的力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，或移動(dòng)到平行面內(nèi)，而不改變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)或移動(dòng)到平行面內(nèi)，而不改變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 推論推論2 2、只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中的力只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中的力和力偶臂的大小，而不改變其對(duì)剛體的作用效果。和力偶臂的大小，而不改變其對(duì)剛體的作用效果。 3 3、力偶的基本性質(zhì)力偶的基本性質(zhì)二、二、力偶與力偶矩力偶與力偶矩 由以上力偶的由以

11、上力偶的3 3個(gè)性質(zhì)，可以推論出力偶的以下性質(zhì)：個(gè)性質(zhì)，可以推論出力偶的以下性質(zhì)：F1F1F1F1F2F2mmmF2F2OFFm m m 力偶無(wú)合力，不能用一個(gè)力來(lái)代替，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。力偶無(wú)合力，不能用一個(gè)力來(lái)代替，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。 力偶中兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，等于該力力偶中兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，等于該力偶的力偶矩偶的力偶矩 力偶的可移動(dòng)性力偶的可移動(dòng)性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變）（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變） 力偶的可改裝性：力偶的可改裝性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變）（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變） 力偶的等效性：力偶的等效性：如果它們的力偶矩大小相等，力偶的

12、轉(zhuǎn)向相同，如果它們的力偶矩大小相等，力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶等效。則這兩個(gè)力偶等效。3 3、力偶的基本性質(zhì)力偶的基本性質(zhì)二、二、力偶與力偶矩力偶與力偶矩 小小 結(jié)結(jié)相同點(diǎn)相同點(diǎn)不同點(diǎn)不同點(diǎn)1、都有使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。都有使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。2、二者的量綱相同：二者的量綱相同：(Nm)1、力矩因點(diǎn)而異，力偶與點(diǎn)無(wú)關(guān)。力矩因點(diǎn)而異，力偶與點(diǎn)無(wú)關(guān)。2、力矩矢是固定矢，不能自由移動(dòng)。力偶力矩矢是固定矢，不能自由移動(dòng)。力偶矩矢是自由矢，可以平移和滑移。矩矢是自由矢，可以平移和滑移。思考題思考題 力矩與力偶矩的比較力矩與力偶矩的比較思考題思考題 作用于同一剛體上的力偶系中的各力偶，都可以被平行作用于同一剛

13、體上的力偶系中的各力偶，都可以被平行移轉(zhuǎn)到剛體內(nèi)任意點(diǎn)而不改變其對(duì)剛體的作用效果。因此被移轉(zhuǎn)到剛體內(nèi)任意點(diǎn)而不改變其對(duì)剛體的作用效果。因此被移轉(zhuǎn)后組成一個(gè)合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶的移轉(zhuǎn)后組成一個(gè)合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶的矩的代數(shù)和。即矩的代數(shù)和。即1 1、平面力偶系的定義平面力偶系的定義三、三、力偶系的合成與平衡力偶系的合成與平衡作用于物體上同一平面內(nèi)的許多力偶稱為平面力偶系。作用于物體上同一平面內(nèi)的許多力偶稱為平面力偶系。2 2、平面力偶系的合成平面力偶系的合成 inmmmmm.21OODm4m3Cm2Bm1Am3m2m1m4Om1m2m3m4MOM平面力偶系，僅用代

14、數(shù)量表示，平面力偶系，僅用代數(shù)量表示，3 3、力偶系的幾何法合成力偶系的幾何法合成三、三、力偶系的合成與平衡力偶系的合成與平衡 力偶系則可以象力系那樣，按力力偶系則可以象力系那樣，按力多邊形法則合成為一個(gè)合力偶矩矢多邊形法則合成為一個(gè)合力偶矩矢m。 inmmmmm21nmmmM 21 剛體上的力偶系剛體上的力偶系m1 、m2、 mn中中各分力偶矩矢，按照合力投影定各分力偶矩矢，按照合力投影定理：合力偶矩矢理：合力偶矩矢M 的三個(gè)投影分量的三個(gè)投影分量MX 、 MY 、 MZ分別等于各分力偶矩分別等于各分力偶矩矢在各個(gè)軸上的投影代數(shù)和。矢在各個(gè)軸上的投影代數(shù)和。zyxoMMZMYMXijk3 3

15、、力偶系的解析法合成力偶系的解析法合成三、三、力偶系的合成與平衡力偶系的合成與平衡即有：即有：kmjmimkMjMiMMiziyixzyx 同理：同理：zzyxxmMmMmMy 222222)()()(zyxzyxMMMMMMM MMkMMMjMMMiMzyx/),cos(/),cos(/),cos( 力偶系平衡的必要與充分條件是其合力偶矩矢等于零。即力偶系平衡的必要與充分條件是其合力偶矩矢等于零。即平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡條件條件是力偶系中各力偶矩的是力偶系中各力偶矩的代數(shù)和為零代數(shù)和為零。利用力偶系平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。利用力偶系平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。3 3、力偶系

16、平衡力偶系平衡三、三、力偶系的合成與平衡力偶系的合成與平衡0 imM0 imM 圖示一簡(jiǎn)支梁受一力偶作用，此力偶之矩 m= 20kNm，梁的跨度L=5m。又傾角，試求A、B支座的約束反力，梁重不計(jì)。FAFBmABLmABL 梁受一力偶矩梁受一力偶矩m m和和A A、B B兩支座反力作用兩支座反力作用, , 由于力偶只能由力偶平衡由于力偶只能由力偶平衡, , 所以兩支座反力所以兩支座反力應(yīng)為一對(duì)力偶應(yīng)為一對(duì)力偶, , 由此可見(jiàn)由此可見(jiàn), , 兩支座反力大小兩支座反力大小相等相等, ,方向相反方向相反, ,其指向如圖所示其指向如圖所示。由力偶平衡方程有由力偶平衡方程有: :解解: : 取取ABAB

17、梁為研究對(duì)象梁為研究對(duì)象, , 畫(huà)其受力圖畫(huà)其受力圖。 例題例題 40 m0cosmLBFkNLmBF860cos520coskNFBFA8 圖示簡(jiǎn)支剛架，其上作用三個(gè)力偶，其中 F1=F1=5kN，M2=20kNm，M3=9kNm， =30，試求支座A、B處的反力。m2m3F1F11m 1m1mABABm2m3F1F1AB解解：畫(huà)剛架的受力圖。：畫(huà)剛架的受力圖。 剛架上作用一個(gè)力偶系，力偶只能用力偶來(lái)平衡，可知?jiǎng)偧苌献饔靡粋€(gè)力偶系，力偶只能用力偶來(lái)平衡，可知A A、B B支座的反力必構(gòu)成一個(gè)力偶（支座的反力必構(gòu)成一個(gè)力偶（FA、FB），如圖。，如圖。FAFB由力偶系的平衡條件由力偶系的平衡條件L 例題例題 50 m01321 mmFLFBcoscosLmmFFB3211 kN31230392015.cos kNFFBA312. 例題例題 6 圓柱齒輪如圖，受到嚙合力圓柱齒輪如圖，受到嚙合力Fn的作用，設(shè)的作用，設(shè)Fn=1400N，齒輪的，齒輪的壓力角壓