數(shù)字信號處理第三章

1、3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3 頻率域采樣頻率域采樣3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義 3.1.1 DFT的定義的定義 設(shè)設(shè)x(n)是一個長度為是一個長度為M的有限長序列，的有限長序列， 則則x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)離散傅里葉變換定義離散傅里葉變換定義為為:X(k)的的離散傅里葉逆變換離散傅里葉逆變換為為:) 1 . 1 . 3(1,.,1 , 0,)()()(10NkWnxnxDFTkXNnknN)2 . 1 . 3(1

2、,.,1 , 0,)(1)()(10NnWkXNkXIDFTnxNkknN 式中：式中： ，N為為DFT變換區(qū)間長度，變換區(qū)間長度，NM。 通常稱通常稱(3.1.1)式和式和(3.1.2)式為式為離散傅里葉變換對離散傅里葉變換對。由定義知：由定義知：DFT使使有限長有限長時域離散序列時域離散序列與與有限長有限長頻域離散序列頻域離散序列建立起對應(yīng)關(guān)系建立起對應(yīng)關(guān)系NjNeW2 把把(3.1.1)式代入式代入(3.1.2)式，有式，有由于由于所以，在變換區(qū)間上滿足：所以，在變換區(qū)間上滿足：110011()001IDFT( )( )1( )NNmkknNNNkmNNk m nNmkX kx m WW

3、Nx mWN 為整數(shù)為整數(shù)，iiNnmiiNnmWNNknmkN01110)()()(nxkXIDFT離散傅立葉變換是唯一的離散傅立葉變換是唯一的 例例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求，求x(n)的的8點(diǎn)和點(diǎn)和16點(diǎn)點(diǎn)DFT。 解：解： 設(shè)變換區(qū)間設(shè)變換區(qū)間N=8， 則：則：273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk設(shè)變換區(qū)間設(shè)變換區(qū)間N=16， 則：則：DFT的結(jié)果與的結(jié)果與N長度有關(guān)長度有關(guān)273880038( )( )sin()4,0,1,15sin()16jknknnNj kX kx n Wekekk3.1.

4、2 DFT和和ZT/FT的關(guān)系的關(guān)系 設(shè)序列設(shè)序列x(n)的長度為的長度為N， 其其Z變換和變換和DFT分別為：分別為：1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n W比較上面二式可得關(guān)系式：比較上面二式可得關(guān)系式：)3 . 1 . 3(10,)()(2NkzXkXkNjez或：或：)4 . 1 . 3(10,)()(2NkeXkXkNj表明序列表明序列x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT是是x(n)的的z變變換換在單位圓上的在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣。點(diǎn)等間隔采樣。說明說明X(k)為為x(n)的的傅里葉變換傅里葉變換X(

5、e j)在區(qū)間在區(qū)間0,2 上的上的N點(diǎn)等間隔采樣。點(diǎn)等間隔采樣。N點(diǎn)點(diǎn)DFT的的物理意義物理意義是對是對x(n)的頻譜在的頻譜在0，2上進(jìn)上進(jìn)行行N點(diǎn)等間隔采樣點(diǎn)等間隔采樣 即對序列的即對序列的離散化離散化上例中，上例中，DFT變換區(qū)間長度變換區(qū)間長度N分分別取別取8、16，X (k)的幅度曲線圖如圖的幅度曲線圖如圖所示。所示。因此，對同一序列因此，對同一序列x(n) ：（1）DFT的變換區(qū)間長度的變換區(qū)間長度N不同，變換結(jié)果不同。不同，變換結(jié)果不同。（2）當(dāng)）當(dāng)N足夠大足夠大|X (k)|的包絡(luò)可逼近的包絡(luò)可逼近|X(e j)|曲線。曲線。（3）|X (k)|表示表示k=(2/N)k頻點(diǎn)的

6、幅度譜線。頻點(diǎn)的幅度譜線。3.1.3 DFT的隱含周期性的隱含周期性DFT的隱含周期性可以從三個不同角度得出：的隱含周期性可以從三個不同角度得出：（1）X(k)是對是對x(n)的傅里葉變換的傅里葉變換X(e j)在區(qū)間在區(qū)間0,2 上的上的N點(diǎn)等間點(diǎn)等間隔采樣，由于隔采樣，由于X(e j) 周期性的，周期性的， X(k) 也為周期性的。也為周期性的。（2）由于）由于WknN的周期性，的周期性， 使使(3.1.1)式和式和(3.1.2)式中的式中的X(k)隱含周隱含周期性，期性，周期均為周期均為N。因?yàn)椋簩θ我庹麛?shù)因?yàn)椋簩θ我庹麛?shù)m，總有：，總有：(),kk mNNNWWk m N均為整數(shù)均為整

7、數(shù) 所以，所以， X(k)滿足：滿足：1()010()( )( )( )Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k同理在同理在(3.1.2)式中，有：式中，有： x(n+mN)=x(n)2 . 1 . 3(1,.,1 , 0,)(1)()(10NnWkXNkXIDFTnxNkknN) 1 . 1 . 3(1,.,1 , 0,)()()(10NkWnxnxDFTkXNnknN 是長度為是長度為N的有限長序列的有限長序列x(n)的周期延拓序列的周期延拓序列( )x n( )()(3.1.5)( )( )( )(3.1.6)mNx nx nmNx nx nRn( )( )(3.

8、1.7)Nx nx nx(n)N表示表示x(n)以以N為周期的周期延拓序列為周期的周期延拓序列主值區(qū)間：主值區(qū)間：周期序列周期序列 從從n=0到到N-1的第一個周期。的第一個周期。( )x nx(n)為長度為為長度為N的有限長序列的有限長序列( )x n主值序列：主值序列：而主值區(qū)間上的序列稱為而主值區(qū)間上的序列稱為 的主值序列的主值序列。 （3）由）由X(k)與與x(n)的周期延拓序列的的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系也可得出其隱系數(shù)的關(guān)系也可得出其隱含周期性。含周期性。圖圖 3.1.2 有限長序列及其周期延拓有限長序列及其周期延拓 (n)的離散傅里葉級數(shù)的離散傅里葉級數(shù)DFS表示為表示為x

9、111000( )( )( )( )NNNknknknNNNNnnnX kx n Wx nWx n W(3.1.8) ( )( )( )NX kX k Rk和和 DFT的定義的定義(3.1.1)相比，可知相比，可知X(k)是是 主值序列。主值序列。( )X k所以所以10( ) ( )( ), k=0, 1, , N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n W如：如： DFTR4(n)4表示表示R4(n)以以4為周期的周期延拓序列為周期的周期延拓序列R4(n)4的的頻譜特性，因?yàn)轭l譜特性，因?yàn)镽4(n)4是一個直流序列，只有直流成分（即零頻率是一個直流序列，只有直流成分（即零頻

10、率成分）。成分）。3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)DFT的性質(zhì)要與的性質(zhì)要與FT的性質(zhì)對照，弄清兩者的主要區(qū)別：的性質(zhì)對照，弄清兩者的主要區(qū)別：FT的變換區(qū)間為（的變換區(qū)間為（- ，+ ），它以原點(diǎn)為對稱點(diǎn)；），它以原點(diǎn)為對稱點(diǎn)；DFT的變換區(qū)間為的變換區(qū)間為0 n N-1 ，它以，它以N/2為對稱點(diǎn)。為對稱點(diǎn)。3.2.2 循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì) 1. 序列的循環(huán)移位序列的循環(huán)移位 設(shè)設(shè)x(n)為有限長序列，長度為為有限長序列，長度為M，則，則x(n)的循環(huán)移位為的循環(huán)移位為: y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2) 3.2.1 線性性質(zhì)線性性質(zhì)

11、若若x1(n)-N1、x2(n)-N2 y(n) = ax1(n)+bx2(n)，a、b為常數(shù)，為常數(shù)， 取取N=maxN1, N2， 則則y(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT為為: Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1 (3.2.1)圖圖 3.2.1 循環(huán)移位過程示意圖循環(huán)移位過程示意圖 2. 時域循環(huán)移位定理時域循環(huán)移位定理 設(shè)設(shè)x(n)是長度為是長度為M的有限長序列，的有限長序列，y(n)為為x(n)的循環(huán)的循環(huán)移位，移位， 即即: y(n)=x(n+m)NRN(n) 則：則： Y(k)=DFTy(n)N= W-kmNX(k) (3.2.3) 其中：其中：X(k)=DF

12、Tx(n)N, 0kN-1。 時域循環(huán)移位時域循環(huán)移位頻域乘以頻域乘以W-kmN3. 頻域循環(huán)移位定理頻域循環(huán)移位定理若：若： X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)則：則： y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n) (3.2.4)頻域循環(huán)移位頻域循環(huán)移位時域乘以時域乘以WnlN3.2.3 循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積定理1 兩個有限長序列的循環(huán)卷積兩個有限長序列的循環(huán)卷積設(shè)序列設(shè)序列h(n)和和x(n)的長度分別為的長度分別為N和和M。h(n)與與x(n)的的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為點(diǎn)循環(huán)卷積定義為（3.2.5）1c0( )( ) ()( )LLLmy nh m x

13、 nmRnyc(n)=h(n)x(n)L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，LmaxN，M。用矩陣計(jì)算循環(huán)卷積的公式當(dāng)n = 0, 1, 2, , L1時，由x(n)形成的序列為: x(0), x(1), , x(L1)令n=0, m=0, 1, , L1，(3.2.5)中x(n-m)L形成的循環(huán)倒相序列為(0) , ( 1) , ( 2) , , (1) (0), (1), (2), , (1)LLLLxxxxLxx Lx Lx1c0( )( ) ()( )LLLmy nh m x nmRn令n = 1, m = 0, 1, , L-1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成的序列為

14、(1) , (0) , ( 1) , , (2) (1), (0), (1), , (2)LLLLxxxxLxxx Lx （3.2.6） (0)(1)(2)(1)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(0)xx Lx Lxxxx Lxxxxxx Lx Lx Lx上面矩陣稱為上面矩陣稱為x(n)的的L點(diǎn)點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣循環(huán)卷積矩陣”，其，其特點(diǎn)特點(diǎn)是是:（1） 第第1行是序列行是序列x(0), x(1), , x(L1)的循環(huán)的循環(huán)倒相序列。注意，如果倒相序列。注意，如果x(n)的長度的長度MN。如選。如選取取L=M+N-1，以，以L為運(yùn)算區(qū)間進(jìn)行快速卷積，則要求對短

15、序列為運(yùn)算區(qū)間進(jìn)行快速卷積，則要求對短序列補(bǔ)充很多零點(diǎn)，序列必須全部輸入后才能進(jìn)行快速計(jì)算。因此補(bǔ)充很多零點(diǎn)，序列必須全部輸入后才能進(jìn)行快速計(jì)算。因此要求存貯容量大，運(yùn)算時間長，并使處理延時很大，很難實(shí)時要求存貯容量大，運(yùn)算時間長，并使處理延時很大，很難實(shí)時處理。處理。而且，在某些應(yīng)用場合，序列長度不定或者認(rèn)為是無限長而且，在某些應(yīng)用場合，序列長度不定或者認(rèn)為是無限長（如語音信號和地震信號等），在要求實(shí)時處理時，不能直接（如語音信號和地震信號等），在要求實(shí)時處理時，不能直接套用上述方法。套用上述方法。解決問題的方法：是將長序列分段計(jì)算，這種分段處理法有解決問題的方法：是將長序列分段計(jì)算，這種分

16、段處理法有重疊相加法和重疊保留法重疊相加法和重疊保留法兩種。兩種。這里介紹重疊相加法。這里介紹重疊相加法。 設(shè)序列設(shè)序列h(n)長度為長度為N， x(n)為無限長序列。為無限長序列。 將將x(n)均均勻分段，勻分段， 每段長度取每段長度取M， 則：則：于是，于是， h(n)與與x(n)的線性卷積可表示為：的線性卷積可表示為：000( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n其中：其中：0( )( )( )( )()kikMx nx nx nx nRnkM該式說明，計(jì)算該式說明，計(jì)算h(n)與與x(n)的線性卷積時，的線性卷積時，

17、可先進(jìn)行分段線性可先進(jìn)行分段線性卷積卷積yk(n) ，然后把，然后把分段卷積結(jié)果疊加分段卷積結(jié)果疊加起來即可。起來即可。圖圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖重疊相加法卷積示意圖 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnnnnnh(n)每一分段卷積每一分段卷積yk(n)的長度的長度為為N+M-1，因此，因此yk(n)與與yk+1(n) 有有N-1個點(diǎn)重疊，必須把重疊的部個點(diǎn)重疊，必須把重疊的部分相加，才能得到完整的卷積序分相加，才能得到完整的卷積序列列y(n)

18、。由圖由圖3.4.4可以看出，當(dāng)?shù)诙€分可以看出，當(dāng)?shù)诙€分段卷積段卷積y1(n)計(jì)算完后，疊加重疊計(jì)算完后，疊加重疊點(diǎn)便可得輸出序列點(diǎn)便可得輸出序列y(n)的前的前2M個個值，同樣，分段卷積值，同樣，分段卷積yi(n) 計(jì)算完計(jì)算完后，就可得到后，就可得到y(tǒng)(n)第第 i 段的段的M個序個序列值。列值。v 顯然可用快速卷積法計(jì)算分顯然可用快速卷積法計(jì)算分段卷積，快速卷積的計(jì)算區(qū)間為段卷積，快速卷積的計(jì)算區(qū)間為L N+M-1。v這種方法不要求大的存貯容量，這種方法不要求大的存貯容量， 而且運(yùn)算量和延時也大大減少。而且運(yùn)算量和延時也大大減少。用用DFT計(jì)算分段卷積計(jì)算分段卷積yk(n)的方法如下

19、：的方法如下：(1) i=0；L=NM1；計(jì)算并保存；計(jì)算并保存H(k)=DFTh(n)L; (2) 讀入讀入xk(n)=x(n)RM(nkM)，構(gòu)造變換區(qū)間，構(gòu)造變換區(qū)間0，L1上的序列，實(shí)際中就是將上的序列，實(shí)際中就是將xi(n)的的M個值存放在長度為個值存放在長度為M的數(shù)組中的數(shù)組中, 并計(jì)算并計(jì)算 (3) (4) ，n = 0,1,2,L1； ( )()( )kkMx nx nkM Rn ( )DFT ( ) ;iiLX kx n( )( )( )iiY kH k X k ( )()( )IDFT ( )ikLiLy ny nkM R nY k(5) 計(jì)算：計(jì)算： (6) i =i1，

20、返回，返回(2)。應(yīng)當(dāng)說明，一般應(yīng)當(dāng)說明，一般x(n)是因果序列，假設(shè)初始條是因果序列，假設(shè)初始條件件y1(n)=0。1()( ),02 ()() ( ),11 ()iiiyMny nnNy iMny nNnM 重疊區(qū)相加非重疊區(qū)不加 3.4.2 用用DFT對信號進(jìn)行譜分析對信號進(jìn)行譜分析信號的譜分析就是計(jì)算信號的傅里葉變換。信號的譜分析就是計(jì)算信號的傅里葉變換。DFT是一種時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運(yùn)是一種時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運(yùn)算，是分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。算，是分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。 1. 用用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析v 連續(xù)信號連

21、續(xù)信號xa(t)，其頻譜函數(shù)，其頻譜函數(shù)Xa(j)也是連續(xù)函數(shù)。也是連續(xù)函數(shù)。v DFT對對xa(t)進(jìn)行頻譜分析，先對進(jìn)行頻譜分析，先對xa(t)進(jìn)行時域采樣，得到進(jìn)行時域采樣，得到x(n)=xa(nT)，再對再對x(n)進(jìn)行進(jìn)行DFT，得到，得到X(k)，這里，這里x(n)和和X(k)均為有限長序列。均為有限長序列。v 若信號持續(xù)時間有限長則其頻譜無限寬；若信號的頻譜有限寬則其持若信號持續(xù)時間有限長則其頻譜無限寬；若信號的頻譜有限寬則其持續(xù)時間無限長，所以嚴(yán)格地講，持續(xù)時間有限的帶限信號是不存在的。續(xù)時間無限長，所以嚴(yán)格地講，持續(xù)時間有限的帶限信號是不存在的。v 從工程角度看，濾除幅度很小

22、的高頻成分和截去幅度很小的部分時間從工程角度看，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時間信號是允許的。信號是允許的。v 因此，在下面分析中，假設(shè)因此，在下面分析中，假設(shè) xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長帶有限長帶限信號限信號。由假設(shè)條件可知由假設(shè)條件可知x(n)的長度為的長度為(3.4.5)用用X(k)表示表示x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT，下面推導(dǎo)出，下面推導(dǎo)出X(k)與與Xa(j)的關(guān)系的關(guān)系ppsTNT FTja12(e )jmXXmTTT式中式中aa2( )jmXXmT (3.4.6)jaa121(e)j()TmXXmXTTT def表示模擬信號頻譜表示

23、模擬信號頻譜Xa(j)的周期延拓函數(shù)。的周期延拓函數(shù)。 設(shè)連續(xù)信號設(shè)連續(xù)信號xa(t)持續(xù)時間為持續(xù)時間為Tp，最高頻率為，最高頻率為fc，如圖，如圖3.4.6(a)所示。所示。xa(t)的傅里葉變換為的傅里葉變換為Xa(j)，對，對xa(t)進(jìn)行時域采樣得到進(jìn)行時域采樣得到x(n)=xa(nT)，x(n)的傅里葉變換為的傅里葉變換為X(ej)。由由x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT的定義有的定義有 (3.4.7)將將(3.4.7)式代入式代入(3.4.6)式式, 得到：得到： (3.4.8)(3.4.8)式說明了式說明了X(k)與與Xa(j)的關(guān)系。的關(guān)系。為了符合一般的頻譜描述習(xí)慣，以頻率為了符合一

24、般的頻譜描述習(xí)慣，以頻率f為自變量，整理為自變量，整理（3.4.8）式。）式。j2( )DFT ( )(e)| 01NkNX kx nXkNj2a2aap11212( )(e )()() () kkNNX kXXXkXkTTTNTTT(3.4.6)jaa121(e)j()TmXXmXTTT def aaa2aaa2( )jj2( )2ffXfXXfXfXXf pa=p1111( ) 0,1,2,1kkaaafNTTkkX kXfXXXkFTTNTTTTkNa=( )DFT ( ) 0,1,2,1NXkFTX kTx nkNdef令j2a2aap11212( )(e )()() () kkNNX

25、 kXXXkXkTTTNTTTN11spFNTTF圖3.4.6 用DFT分析連續(xù)信號譜的原理示意圖 a=( )DFT ( ) 0,1,2,1NXkFTX kTx nkN對模擬信號頻譜對模擬信號頻譜的采用間隔，稱的采用間隔，稱之為頻率分辨率之為頻率分辨率連續(xù)信號的頻譜，可連續(xù)信號的頻譜，可以通過對連續(xù)信號采以通過對連續(xù)信號采樣并進(jìn)行樣并進(jìn)行DFT再乘以再乘以T近似得到近似得到 對持續(xù)時間有限的帶限信號，在滿足時域采樣對持續(xù)時間有限的帶限信號，在滿足時域采樣定理時，上述分析方法不丟失信息。定理時，上述分析方法不丟失信息。即可由即可由Xa(k) 恢復(fù)恢復(fù)Xa(jf) 或或xa(t)，但直接由分析結(jié)果

26、，但直接由分析結(jié)果Xa(k) 看不到看不到Xa(jf) 的全部頻譜特性，而只能看到的全部頻譜特性，而只能看到N個離散采樣點(diǎn)的譜特性，這就是所謂的個離散采樣點(diǎn)的譜特性，這就是所謂的柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)。如果如果xa(t)持續(xù)時間無限長，上述分析中要進(jìn)行截?cái)喑掷m(xù)時間無限長，上述分析中要進(jìn)行截?cái)嗵幚?，所以會產(chǎn)生頻率混疊和泄漏現(xiàn)象，從而使譜處理，所以會產(chǎn)生頻率混疊和泄漏現(xiàn)象，從而使譜分析產(chǎn)生誤差，即分析產(chǎn)生誤差，即截?cái)嘈?yīng)截?cái)嘈?yīng)。 下面以理想低通濾波器為例說明問題的產(chǎn)生。下面以理想低通濾波器為例說明問題的產(chǎn)生。 理想低通濾波器的單位沖擊響應(yīng)理想低通濾波器的單位沖擊響應(yīng)ha(t)及其頻響函數(shù)及其頻響函數(shù)H

27、a(if)如下圖如下圖(a)、 (b)所示。所示。 圖中：圖中：sin()( )ath tt 現(xiàn)在用現(xiàn)在用DFT來分析來分析ha(t)的的頻率響應(yīng)特性。頻率響應(yīng)特性。 由于由于ha(t)的持續(xù)時間為的持續(xù)時間為無窮長，所以要截取一段無窮長，所以要截取一段Tp， 設(shè)設(shè)Tp=8s，采樣間隔，采樣間隔T=0.25s (即采樣速度即采樣速度fs=4Hz)，采樣點(diǎn)，采樣點(diǎn)數(shù)數(shù)N=Tp/T=32。此時頻域采。此時頻域采樣間隔樣間隔F=1/NT=0.125Hz。 則：則： H(k)=TDFTh(n), 0k31其中其中 h(n)=ha(nT)R32(n)頻率響應(yīng)特性有較大的波動，這是頻率響應(yīng)特性有較大的波動

28、，這是由于對由于對ha(t)截?cái)喈a(chǎn)生的。截?cái)喈a(chǎn)生的。 為了減少截?cái)嗾`差，可以增大為了減少截?cái)嗾`差，可以增大 Tp和和N。q 在已知信號的最高頻率在已知信號的最高頻率fc(即即譜分析范圍譜分析范圍)時，為了避免在時，為了避免在DFT運(yùn)算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速率運(yùn)算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速率fs滿足：滿足： fs2fc (3.4.13)q 而而譜分辨率：譜分辨率： F=fs/N q 如果保持采樣點(diǎn)數(shù)如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高譜的分辨率不變，要提高譜的分辨率(F減小減小)，必，必須降低采樣速率，采樣速率的降低會引起譜分析范圍減少。須降低采樣速率，采樣速率的降低會引起譜分析范圍減少。

29、如維持如維持fs不變，為提高分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)不變，為提高分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N，因?yàn)?，因?yàn)镹T=Tp，T=fs-1， 只有增加對信號的觀察時間只有增加對信號的觀察時間Tp，才能增加，才能增加N。Tp和和N可以按照下式進(jìn)行選擇可以按照下式進(jìn)行選擇:21cpfNFTF(3.4.14) (3.4.15) 例例 3.4.2 對實(shí)信號進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率對實(shí)信號進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻，信號最高頻率率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時間，試確定最小記錄時間TPmin，最大的采樣間隔，最大的采樣間隔Tmax，最少，最少的采樣點(diǎn)數(shù)的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。如果。如果fc不變，

30、不變， 要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點(diǎn)要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時間是多少數(shù)和最小的記錄時間是多少? 解解：110.110PTsF3maxmin110.2 1022250022250050010ccTsffNF因此因此TPmin=0.1 s， 因?yàn)橐笠驗(yàn)橐骹s2fc， 所以：所以：為使頻率分辨率提高一倍（為使頻率分辨率提高一倍（ F=5 Hz），則要求：），則要求：minmin225001000510.25pNTs為了使用為了使用FFT，N常取常取2的整數(shù)次冪。的整數(shù)次冪。如如1024DFT對連續(xù)信號分析時的參數(shù)選擇原則對連續(xù)信號分析時的參數(shù)選擇原則fc-信號最高

31、截止頻率信號最高截止頻率 F-頻頻(譜譜)率分辨率（頻域采樣時的最小頻率間隔）率分辨率（頻域采樣時的最小頻率間隔） Fs -采樣頻率采樣頻率 Tp -信號記錄時間信號記錄時間T -采樣間隔采樣間隔N-采樣點(diǎn)數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)11spFFNNTTminpTFcfT21maxminscFf minminminmax/()sCpCCFfNorFFTfFTfF 4. 用用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題進(jìn)行譜分析的誤差問題 DFT(FFT)可用來對連續(xù)和數(shù)字信號進(jìn)行譜分析。可用來對連續(xù)和數(shù)字信號進(jìn)行譜分析。 (1) 混疊現(xiàn)象?；殳B現(xiàn)象。 (2) 柵欄效應(yīng)。柵欄效應(yīng)。 (3) 截?cái)嘈?yīng)。截?cái)嘈?yīng)。 1. 頻譜混疊頻譜

32、混疊 對連續(xù)信號進(jìn)行分析時，需要首先進(jìn)行時域離散，對連續(xù)信號進(jìn)行分析時，需要首先進(jìn)行時域離散， 如果采如果采樣頻率樣頻率Fs不能夠滿足采樣定理，則將會在不能夠滿足采樣定理，則將會在Fs/2附近發(fā)生頻率混疊附近發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，此時用現(xiàn)象，此時用DFT進(jìn)行分析結(jié)果必然在進(jìn)行分析結(jié)果必然在Fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。附近產(chǎn)生較大誤差。 一般取一般取Fs(35)fc。在。在Fs確定時，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾確定時，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，以濾除高于折疊頻率的頻率成分。波，以濾除高于折疊頻率的頻率成分。 解決辦法解決辦法: 預(yù)濾波預(yù)濾波 增大采樣頻率增大采樣頻率2. 柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)1.通過通過DFT來分

33、析連續(xù)時間信號的頻譜特性，而來分析連續(xù)時間信號的頻譜特性，而DFT是是對對DTFT在一個周期內(nèi)的在一個周期內(nèi)的N點(diǎn)等間隔采樣點(diǎn)等間隔采樣2.所以所以DFT的結(jié)果只能表示信號的頻譜特性在一些頻域的結(jié)果只能表示信號的頻譜特性在一些頻域采樣點(diǎn)上的值。仿佛是隔著柵欄看風(fēng)景采樣點(diǎn)上的值。仿佛是隔著柵欄看風(fēng)景解決途徑：解決途徑： 在在 所所 取取 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 的的 末末 端端 加加 一一 些些 零零 值值 點(diǎn)，使點(diǎn)，使 一一 個個 周周 期期 內(nèi)內(nèi) 點(diǎn)點(diǎn) 數(shù)數(shù) 增增 加加, 但但 是是 不不 改改 變變 原原 有有 的的 記記 錄錄 數(shù)數(shù) 據(jù)。據(jù)。 (3) 截?cái)嘈?yīng)截?cái)嘈?yīng) 實(shí)際中遇到的序列實(shí)際中遇到的序

34、列x(n)可能是無限長的，用可能是無限長的，用DFT對其進(jìn)行譜分析時，必須將其截短，形成有限對其進(jìn)行譜分析時，必須將其截短，形成有限長序列長序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)稱為窗函數(shù)，長度為稱為窗函數(shù)，長度為N。w(n)=RN(n), 稱為矩形窗函數(shù)。稱為矩形窗函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有)( jjjjjd)e ()e (21)e ()e (21)(FT)e (WXWXnyY其中其中對矩形窗數(shù)對矩形窗數(shù)w(n)=RN(n)，有，有jj(e )FT ( ),(e )FT ( )Xx nWw n1jjj ()2gsin(/2)(e )FT ( )e

35、( )esin(/2)NwNWw nW 例如，例如，x(n)=cos(0n)，0=/4, 其頻譜為其頻譜為lllX2424)e (jY(ej)與與X (ej)相比有兩方面相比有兩方面的差別：的差別：（1）存在泄漏（譜的展寬）存在泄漏（譜的展寬）（2）譜間干擾（旁瓣引起）譜間干擾（旁瓣引起）比較截?cái)嗲?、后的幅度譜的差別：比較截?cái)嗲?、后的幅度譜的差別：譜線加寬，頻譜泄露定義：定義：原來的離散譜線向兩邊展寬，這種將譜線展寬 的現(xiàn)象稱為頻譜泄漏。約束因素：約束因素：矩形窗的長度越長，展寬的寬度就越窄。影響：影響：泄漏會使頻譜模糊，譜的分辨率降低。譜間干擾出現(xiàn)原因：出現(xiàn)原因：頻譜卷積以后存在著的旁瓣影響

36、：影響：降低譜分辨率 泄漏和譜間干擾統(tǒng)稱為信號的截?cái)嘈?yīng)。減輕截?cái)嘈?yīng)的方法-（1）適當(dāng)加大窗口寬度；（2）采用適當(dāng)形狀的窗函數(shù)截?cái)?最后要最后要說明說明的是，柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是不同的是，柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是不同的兩個概念。如果截取長度為的兩個概念。如果截取長度為N的一段數(shù)據(jù)序列，則可的一段數(shù)據(jù)序列，則可以在其后面補(bǔ)以在其后面補(bǔ)N個零，再進(jìn)行個零，再進(jìn)行2N點(diǎn)點(diǎn)DFT，使柵欄寬度減，使柵欄寬度減半，從而減輕了柵欄效應(yīng)。但是這種截短后補(bǔ)零的方法半，從而減輕了柵欄效應(yīng)。但是這種截短后補(bǔ)零的方法不能提高頻率分辨率。因?yàn)榻囟桃呀?jīng)使頻譜變模糊，補(bǔ)不能提高頻率分辨率。因?yàn)榻囟桃呀?jīng)使頻譜變模糊，補(bǔ)零后僅使采樣間隔變小，但得到的頻譜采樣的包絡(luò)仍是零后僅使采樣間隔變小，但得到的頻譜采樣的包絡(luò)仍是已經(jīng)變模糊的頻譜，所以頻率分辨率沒有