三年級(jí)計(jì)算綜合.等差數(shù)列的計(jì)算

1、 知識(shí)結(jié)構(gòu) -、 等差數(shù)列的定義 (1) 先介紹一下一些定義和表示方法 定義：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大 差數(shù)列. (2) 首項(xiàng)：一個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，通常用 耳表示 項(xiàng)數(shù)：一個(gè)數(shù)列全部項(xiàng)的個(gè)數(shù)，通常用 n來(lái)表示; 公差：等差數(shù)列每?jī)身?xiàng)之間固定不變的差，通常用 d 來(lái)表示； 和：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和，常用 Sn來(lái)表示. 二、 等差數(shù)列的相關(guān)公式 (3) 三個(gè)重要的公式 通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng) 首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù)1)公差，an a, (n 1) d 遞減數(shù)列：末項(xiàng) 首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù)1)公差，a a, (n 1) d 回憶講解這個(gè)公式的時(shí)候可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來(lái)學(xué)的植樹(shù)問(wèn)題的思想， 讓學(xué)生明白 項(xiàng)其實(shí)就是首

2、項(xiàng)加上(末項(xiàng)與首項(xiàng)的)間隔個(gè)公差個(gè)數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入手.同時(shí)還可延伸出來(lái) 這樣一個(gè)有用的公式： an am (n m) d , (n m) 項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù) (末項(xiàng) 首項(xiàng))公差+1J 等差數(shù)列的基本概念及公式 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大 3，遞增數(shù)列 100、 95、 90、 85、 80、 L 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)小 5，遞減數(shù)列 (或小)一個(gè)常數(shù)(固定不變的數(shù))，這樣的數(shù)列我們稱它為等 末項(xiàng)：一個(gè)數(shù)列的最后一項(xiàng)，通常用 an表示，它也可表示數(shù)列的第 n項(xiàng)。 由通項(xiàng)公式可以得到： n (an a) d 1 (若 an a); n (a

3、i aj d 1 (若Q a.). 找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)用的思想我們是常常用到的. 譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)： 4、7、10、13、L、40、43、46， 分析：配組：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、L、（46、47、48），注意等差 是 3，那么每組有 3 個(gè)數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第 1 位，所以 46 應(yīng)在最后一組第 1 位，4 到 48 有 48 4 1 45 項(xiàng)，每組 3 個(gè)數(shù)，所以共 45 3 15 組，原數(shù)列有 15 組.當(dāng)然還可以有其他的配 組方法. 求和公式：和=（首項(xiàng) 末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)十 2 對(duì)于這個(gè)公式的得到可以從兩個(gè)

4、方面入手： （思路 1） 1 2 3 L 98 99 100 11 41404 4(2 494 4 04 918)4 4 4 454 451) 共50個(gè)101 101 50 5050 （思路 2）這道題目，還可以這樣理解： 和 =1 2 3 4 L 98 99 100 + 和 100 99 98 97 L 3 2 1 即,和 2 倍和 101 101 101 101 L 101 101 101 （100 1） 100 2 101 50 5050 （4） 中項(xiàng)定理：對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首 項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說(shuō)，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)

5、. 譬如： 4+8+12+ +32+36= （ 4+36）X 9-2=20X 9=180, 題中的等差數(shù)列有 9 項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第 5 項(xiàng)的值是 20,而和恰等于 20 9 ; 65 63 61 L 5 3 1 （1 65） 33 2 33 33 1089 , 題中的等差數(shù)列有 33 項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第 17 項(xiàng)的值是 33,而和恰等于 33 33 . （1） 找出題目中首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)。重難點(diǎn) (2) 必要時(shí)調(diào)整數(shù)列順序。 / lr例題精講 一、 等差數(shù)列的基本認(rèn)識(shí) 【例 1】 下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說(shuō)明理由。 6, 10, 14, 18, 22,，98

6、; 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64; 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2; 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3; 1 , 0 , 1 , 0 , I , 0 , 1, 0;【鞏固】3 12、6 10、12 8、24 6、48 4、 是按一定規(guī)律排列的一串算式，其中第六個(gè)算式 的計(jì)算結(jié)果是 _ 【例 2】 小朋友們，你知道每一行數(shù)列各有多少個(gè)數(shù)字嗎 (3) 3、4、5、6、 76、 77、 78 (4) 2、 4、 6、 8、 96、 98、 100 (5) 1、 3、 5、 7、 8

7、7、 89、 91 (6) 4、7、10、13、 、40、43、46 【鞏固】1, 3, 5, 7,是從 1 開(kāi)始的奇數(shù)，其中第2005 個(gè)奇數(shù)是 _ 【例 3】 已知一個(gè)等差數(shù)列第 9 項(xiàng)等于 131,第 10 項(xiàng)等于 137,這個(gè)數(shù)列的第 1 項(xiàng)是多少第 19 項(xiàng)是多少 【鞏固】 在下面12個(gè)方框中各填入一個(gè)數(shù)，使這 12個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，其中 10、 這12個(gè)數(shù)的和為 _。 16 已經(jīng)填好, 【例 4】 【鞏固】 遛 團(tuán) 團(tuán)Z? Z? 西 2? 團(tuán)迪 蘭 團(tuán) 團(tuán) 等差數(shù)列公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用 2、4、6、8、10、12、L是個(gè)連續(xù)偶數(shù)列，如果其中五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是 320, 的一個(gè).

8、求它們中最小 1、3、5、7、9、11、L是個(gè)奇數(shù)列，如果其中 8 個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是 256，那么這 大的數(shù)是多少 8 個(gè)奇數(shù)中最 【例 5】 在等差數(shù)列 6, 13, 20, 27,中，從左向右數(shù)，第 _ 個(gè)數(shù)是 1994. 鞏固】 5、8、11、14、17、20、L ，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)它的第 201 項(xiàng)是多少 65 是其中的第幾項(xiàng) 【例 6】 已知數(shù)列 0、4、8 12、16、20、，它的第 43 項(xiàng)是多少 鞏固】 聰明的小朋友們, PK 一下吧. (1) 3、5、7、9、11、13、15、，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)它的第 102 項(xiàng)是多少 2) 已知等差數(shù)列 2、 5、 8、 11、 14 ,問(wèn)

9、 47 是其中第幾項(xiàng) (3) 已知等差數(shù)列 9、13、17、21、25、 等差數(shù)列的求和 【例 7】15 個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是 1995,其中最大的奇數(shù)是多少 【鞏固】把 210 拆成 7 個(gè)自然數(shù)的和，使這 7 個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是 5,那么, 第 1 個(gè)數(shù)與第 6 個(gè)數(shù)分別是多少 【例 8】 小馬虎計(jì)算 1 到 2006 這 2006 個(gè)連續(xù)整數(shù)的平均數(shù)。在求這 2006 個(gè)數(shù)的和時(shí)，他少算了其中的 一個(gè)數(shù)，但他仍按 2006 個(gè)數(shù)計(jì)算平均數(shù)，結(jié)果求出的數(shù)比應(yīng)求得的數(shù)小 1。小馬虎求和時(shí)漏掉 的數(shù)是 _ 。，問(wèn) 93 是其中第幾項(xiàng) 1 3 5 7 L 1995 1997

10、1999 四、 等差數(shù)列的計(jì)算 【例 9】用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎 3 4 5 6 L 76 77 78 1 3 5 7 L 87 99 4 7 10 13 L 40 43 46 【例 10】巧算下題： 5000 2 4 6 L 98 100【鞏固】1 2 8 9 10 9 8 1 2 例 11 】 計(jì) 算： (13 5 L 1997 1999) - (2 4 6 L 1996 1998) 4000 5 10 15 L 95 100 99 198 297 396 495 594 693 792 891 990 鞏固】 (1 2 3 2007 2008 2007 3 2 1) 200

11、8 鞏 固】2 1984 1986 1983 1985 1987) 例 12 】 計(jì) 算： 1.1 3.3 5.5 7.7 9.9 11.11 13.13 15.15 17.17 19.19 1 2 【鞏固】計(jì)算 4 6 8 10 L L 34 36 計(jì)算： 15 51 7 9? 11 13耳 13 113 13 13 13 13 【例 14】1 只青蛙 1 張嘴，2 只眼睛 4 條腿; 2 只青蛙 2 張嘴，4 只眼睛 8 條腿; _ 只青蛙 _張嘴，32 只眼睛 _ 條腿。1例 13 】計(jì)算 1990 1990 1990 1990 1990 【鞏固】如圖 2，用火柴棍擺出一系列三角形圖案，

12、按這種方式擺下去，當(dāng) 當(dāng) N=5 時(shí)，共需要火柴棍 _ 根。 【例 15】觀察下面的序號(hào)和等式，填括號(hào). 序號(hào) 等式 1 12 3 6 3 3 5 7 15 5 5 8 11 24 7 7 11 15 33 L L L L )7983 ()【鞏固】有許多等式： 【鞏固】 2 4 6 1 3 5 3 ； 【鞏固】 8 10 12 14 7 9 11 13 4 ； 【鞏固】 16 18 20 22 24 15 17 19 21 23 5 ； 那么第 10 個(gè)等式的和是 _ N=5 時(shí)，按這種方式擺下去， N K=2 ffl2 W課堂檢測(cè) 【隨練 1】計(jì)算下面結(jié)果. 4 8 12 16 L 32 3

13、6 65 63 61 L 5 3 1 3 4 5 L 99 100 【隨練 2】(2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011) 【隨練 3】計(jì)算：2007 2006 2005 2004 2003 2002 L 5 【作業(yè) 1】1966、1976、1986、1996、2006 這五個(gè)數(shù)的總和是多少 【作業(yè) 2計(jì)算：110+ 111 + 112+ 126 =_ 2008 _ 作業(yè) 3】計(jì)算下列一組數(shù)的和： 105，110，115，120， 作業(yè) 4】聰明的小朋友們， PK 一下吧 4 8 12 16 L 32 36 65 63 61 L 5 3 1 1 3 4 6 7 9

14、 10 12 13 L 66 67 69 70 ；作業(yè) 5】計(jì)算： (2 4 6 L 96 98 100)(1 3 5 L 95 97 99) 195， 200 然后計(jì)算：2 + 4+ 6 + 100= 1000 999 998 997 996 995 L 106 105 104 103 102 101. 【作業(yè) 7】觀察下列算式： 2+ 4 = 6 = 2X 3, 2+ 4 + 6 = 12= 3X4 2+ 4 + 6 + 8= 20 = 4X5 61 692 6993 69994 699995 6999996 【作業(yè) 6】計(jì)算：（1 3 5 L 2009) (2 4 6 L 2008) 【作業(yè) 8】將一些半徑相同的小圓按如下所示的規(guī)律擺放：第 1 個(gè)圖