第四部分直梁的彎曲41平面彎曲概念梁的類型ppt課件

1、 第四章 直梁的彎曲4-1 平面彎曲概念 梁的類型1、梁彎曲常見彎曲變形構件,如房屋支承梁，工廠中起重機橫梁及化工中的臥式容器等。構造如圖：臥式化工容器：彎曲梁受力特點在經過梁某一縱向平面內，遭到垂直于軸線的外力或力偶作用。受力如圖：變形特點任兩個截面繞垂直于梁軸線軸 相對轉動，梁軸線由直線變曲線。平面彎曲一切外力或力偶作用在縱向對稱 面內，梁軸線在對稱面內彎曲成 平面曲線?？v向對稱面在縱向可將梁分成對稱兩半。受 力 后截 面 軸 線2、梁簡化 對實踐梁受力分析和強度計算，對梁進展簡化，以軸線表示梁。 梁簡化成三種力學模型：1簡支梁 如圖：一端固定簡支，另一端可動鉸支。2外伸梁 如圖：梁一端或

2、兩端伸出支座外。3懸臂梁 如圖：梁一端固定約束，另一端自在。各支座處力與位移邊境條件：固定鉸支 支座處 梁左、右，上、下 均不可挪動，但可繞約束點轉動。 解除約束 受力圖RRxy力的邊境條件位移邊境條件 m = 0Rx 0Ry 0 x = 0y = 0可動鉸支支座點左、右 可挪動，上、下 不可動。解除約束 受力圖 Ry力的邊境條件位移邊境條件 Ry 0 Rx = 0 m = 0 x 0y = 0固定端約束限制 固定端既不能轉動，也不可挪動。解除約束 受力圖RyRxm力的邊境條件位移邊境條件 Rx 0 Ry 0 m 0 x = 0y = 0各支座反力 可根據(jù)平衡條件求出。 假設未知力數(shù)與所列出的

3、獨立方程數(shù)一樣，那么可求出未知力稱為靜定問題，屬于靜定梁； 反之為靜不定，稱為不靜定梁或超靜定問題。集中力：作用力作用在很小面積上，可近似一點。如圖：集中力偶：力偶兩力分布在很短一段梁上，可簡化為作用在梁的某一截面上。如圖：分布載荷：載荷分布在較長范圍內，以單位長度受力 q 表示。 q 單位 N / m 如圖：作用于梁上載荷有三種方式：Pmq4-2 梁彎曲時的內力一、內力計算內力計算方法如下：第一步解除支座約束，計算約束反力。第二步用截面法將梁分成兩部分。第三步由平衡條件計算截面處內力。如圖：簡支梁，試計算 m n 截面內力。解: (1) 解除約束， 求約束反力列平衡方程nABabmPRRRx

4、AyAyBRxA = 0RyA + RyB = PRyB(a+b) Pa = 0baPaRyB baPbRyA 0 xAR (2) 用截面法求內力MMQQxoPRAyRBy截面處存在的內力：阻止 RyA 作用下繞 O 轉動，截面必存在附加內力矩 M，阻止轉動。平衡 RyA力，截面上必有向下力 Q附加內力矩M稱為截面彎矩。 截面內力Q稱為剪力，與外力平行，有使 梁沿 mn 截面剪斷趨勢。分別體處于平衡，由平衡條件得： y = 0 RAy Q = 0 M = 0 M RAy x = 0baPbQ xbaPbM 結論：受彎曲梁任一截面內力有 彎矩與剪力。剪力等于截面之左或右一切外力代數(shù)和。彎矩等于截

5、面之左或右一切外力力偶對截面形心之矩代數(shù)和。剪力與彎矩對梁強度影響： 由經典力學分析 彎矩對梁強度影響遠大于 剪力對梁強度。 工程計算普通只思索彎矩，忽略剪力。二、彎矩符號規(guī)定規(guī)定如下： 所求彎矩的截面附近能構成上凹下凸的彎曲變形，該截面彎矩為正；反之為負。m n 截面附近彎曲外形，如圖，彎矩M為正。反之 發(fā)生如以下圖彎曲外形，彎矩為負。MmnMmnMM由此得“左順右逆彎矩為正 規(guī)定：截面左側一切對截面形心之矩為順時針 的外力及順時針的力偶，它們 在截面處產生彎矩為正，反之 為負。截面右側一切對截面形心之矩為逆時針 的外力及逆時針的力偶，它們 在截面處產生彎矩為正，反之 為負。4-3 彎矩圖由

6、截面法計算出橫截面彎矩隨軸線 x 變化規(guī)律 M = M(x) 稱為梁彎矩方程將彎矩大小與正負表示在圖上彎矩圖畫彎矩圖的根本方法：(1) 對雙支點梁解除約束，求支座反力，懸臂 梁不用求支座反力,從懸臂端開場計算。(2) 在有集中力或集中力偶處分段，求出每一段彎矩方程。(3) 選適當比例，以橫截面位置x為橫坐標，彎矩M為縱坐標作彎矩圖。 例一，如圖： 受集中載荷簡支梁。 試畫出彎矩圖。解：解除約束，求約束反力ABCDPmaaaPRRRAxAyBym=PaRAy 3a P 2a + m = 0RAy + RBy P = 03PRAy32PRBy0AxR分段求各段彎矩AC段，在AC段任取一截面xPxR

7、MAyAC30 xaDC段，在DC段任取一截面)(axPxRMAyDCxPPaPaPxxP323ax2aPMxRAyxRAyBD段，在BD段任取一截面MRxByPxxRMByBD320 xa畫彎矩圖(+)(-)(+)3Pa2Pa3aP3CADB例二、有一懸臂梁 長l，其上分布載荷q和集中力偶矩m. 試畫出彎矩圖。解：懸臂梁可不用求約束反力直接分段 AB與BC段AB段 在AB之間任取一截面彎矩B截面右側 m=ABl/22Cql/2ql2x222qxxqxMAB82qlMB右=2l0 xBC段 在BC之間任取一截面2222qlqxMBC22lxlB截面左側，2lx 283qlMB左xqC點 x=l

8、， MC =0AC83ql2Bql28(+)(-)例三、有一梁受力如圖，試畫出彎矩圖。解: (1) 解除約束， 求約束反力aaaABCDqqaDAqCBRRRByAyBxqaRBx = 0RBy + RAy qa qa = 00252aqaaqaaRAyRAy = 1.75 qaRBy = 0.25 qa(2) 分段求各段彎矩，分DA,AC,CB三段。qx22qxMAD0 xaDA段，在之間任取一截面AC段，在之間任取一截面)2()(axqaaxRMAyAC225. 175. 0qaqaxqADx a x2aBC段，在之間任取一截面xMRBCBy(3) 畫彎矩圖ABCD(+)(-)0.25qa

9、qa222xRMByBC 0 xa4-4 純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲忽略掉剪應力，梁變?yōu)橹恍鑿澗?而無剪力梁，此時彎曲為純彎曲。純彎曲梁梁橫截面上只需彎矩而無剪力。兩端遭到一對外力偶作用典型純彎曲梁梁上既有彎矩又有剪力作用時的彎曲稱為剪切彎曲 分析純彎曲梁橫截面正應力方法分四步：一、實驗察看與假設推論 如圖一矩形截面梁，在側面分別畫上與梁軸線相垂直的線11 ，22，及與梁軸線平行線ab，cd11，22 代表橫向截面ab，cd代表縱向截面11abcd22兩端施加外力偶，使梁產生純彎曲 變形如圖1221abcdomom察看景象如下：1、變形后，11，22仍為直線，但轉一定角度，仍與梁軸相垂直

10、。2、縱向線ab，cd及軸線由直線變?yōu)閳A弧，ab縮短，cd伸長。3、梁橫截面高度不變，寬度變化，凹入頂部略增大，凸出底部略變小。由察看景象作兩點假設：1、平面假設梁橫截面彎曲變形后均為 平面，仍垂直于軸線。橫 截面只繞某軸轉個角度。2、互不擠壓假設假設梁由很多層纖維 組成，變形時各層纖 維只受軸向拉伸或壓 縮，各層纖維 互不 擠壓。由假設作如下推論：由察看得知，橫截面只相對偏轉了一個角度，縱向纖維遭到軸向拉伸或緊縮。1、純彎曲梁變形本質是拉伸或緊縮變形，不是剪切變形。2、橫截面只需正應力，無剪應力。凹側受壓，有緊縮應力，凸側受拉，存在拉應力。3、中間存在一層既不受拉也不受壓的中性層，其上應力為

11、0。留意：中性層含義二、應變與幾何尺寸之間關系 從受純彎曲梁取一段dx長。 dx微段的兩橫截面變形后夾角d ,中性層曲率半徑為 dx12oo1cd1y變形前odo1c12do1dx變形后OO1 = OO2 = O1O2 = dx = d 中性層變形前后長度不變。變形后 c1d1 =( +y)d c1d1的應變dddydxdxdy)()(y三、物理關系虎克定律由假設可得 梁彎曲本質是拉伸與緊縮 hook定律：yEE上式顯示：梁截面上任一點應力與該點到中性軸間隔成正比，y=0的中性面上 應力為0，上、下邊緣正應力最大。四、靜力學關系尋覓正應力與彎矩M之間關系如圖：純彎曲梁橫截面應力分布中性軸兩側

12、一邊受拉 一邊受壓可構成力偶中性層如圖 在梁橫截面上取微面dA，距中性軸間隔ydA上內力dF dF = dA ydAZdF對中性軸之矩dM， dM = y dAM= AdM =A ydA, M= A y2 dA令IZ = A y2 dA ，IZ橫截面對中性軸的軸慣性矩 y為橫截面任一點到中性層的間隔 EyEZEIM1 EIZ抗彎剛度1此式為純彎矩梁橫截面上任一點正應力公式。y橫截面上任一點距中性軸間隔。yEZEIMEy1ZIyM 曲率 與M成正比，M越大，梁彎曲越厲害。曲率與EIZ成反比。留意：彎曲正應力與M成正比，與間隔y成反比，最大應力存在于梁邊緣處 當截面對稱于中性面，最大拉、壓應力相等

13、。當中性面與上下邊緣間隔不等時，要分別計算拉應力與壓應力。令maxyIWZZZIMymaxmaxWZ 橫截面對中性軸Z的 抗彎截面模量。五：彎曲正應力公式適用范圍彎曲正應力計算公式是在純彎曲下導出梁截面只需彎距沒有剪力。實踐梁遭到橫向力作用梁截面既有彎矩又有剪力。橫截面存在剪力 互不擠壓假設不成立， 梁發(fā)生翹曲。根據(jù)準確實際和實驗分析：當梁跨度L與橫截面高度h之比 L / h5時，存在剪應力梁的正應力分布與純彎曲很接近。公式適用范圍：梁跨度l與橫截面高度h之比 l / h5，可運用梁正應力計算公式。梁正應力計算公式由矩形截面梁導出，但未運用矩形的幾何特性。所以公式適用于有縱向對稱面的其它截面梁

14、。如 工字鋼、槽鋼及梯形截面梁等。梁資料必需服從虎克定律，在彈性范圍內，且資料的拉伸與緊縮彈性模量一樣，公式才適用。工字鋼縱向對稱面縱向對稱面槽鋼縱向對稱面縱向對稱面不存在不可用縱向對 稱面不存在縱向 對稱 面不可用4-5 截面的軸慣性矩和抗彎截面模量1、矩形截面中性軸與截面形心重合梁上受載荷如圖(hb立放)軸慣性矩 IZ123bh抗彎截面模量WZ62/2bhhIWZZIZ = y2bdy =h/2 -h/2IZ =Ay2dA dA=bdyyhzbhbyzydyIy = y2hdy =123hb-b/2b/262hbWybh將上圖矩形截面梁，如圖放置時平放Iy =Ay2dA dA=hdy對一樣

15、的矩形截面梁不同放置方法,會有不同的軸慣性矩和不同的抗彎模量。工程上接受彎曲作用時, 要選擇I與W大的放法,要立放hybyd yz對中性軸與截面形心不重合如圖梯形截面 IZ = y2dA = y2dA y1-y211yIWZZ22yIWZZWZ1與WZ2不相等，正應力計算時采用較小抗彎模量進展計算。對中性軸與截面形心不重合的梁，IZ只需一個值，但抗彎模量有兩個，在設計與計算時必需留意。yy12中 性 軸zA2、圓形及圓環(huán)形截面對實心圓截面 對圓截面，經過形心任一軸的慣性矩相等。即 Iz = Iy= y2dA = (Rsina)2 dAdA=2Rcosa dy , y=Rsinady=Rcosa

16、 daAIz = Iy= 22R4 sin2 a cos2 a da=644d截面抗彎模量Wz=Wy=322/6434dddRyyz0對圓環(huán)截面 令 d/D= Iy= Iz =Wz = Wy=對于口徑較大，壁厚較薄管 D-d=2S Iz = IySd38)1 (322/43DDI)(6464644444dDdD)1 (6444DDd作業(yè):4-1(c、g、h，2，34-6 彎曲正應力的強度條件保證梁任務時最大應力在許用應力范圍內，即滿足強度條件：maxZWM能夠存在最大應力的位置：彎矩最大截面慣性矩 IZ 最小截面注：彎矩有正負。計算時以絕對值代入， 計算應力max總為正，是拉應力。 許用應力

17、由實驗確定。 截面不對稱于中性軸時，存在兩個抗 彎截面模量WZ1，WZ2，計算取較小截 面模量代入。 資料抗拉、抗壓強度不同時，分別求 出梁的最大拉、壓應力，保證：1maxZWM2maxZWMmax拉=max壓=拉壓例一、有一階梯圓柱截面梁，許用應力 =200MPa ,構造尺寸如圖d1 = 50mm， d2 = 80mm， d3 = 60mmP1 = 10kN，P2 = 5kNP =10kNP =5kN2502 505005001500dd1212d3解：解除約束，求約束反力BCDFEA(+)(+)2.294.37kNm12PPABCDEFNN12N1 1500P1 750 P2 250=0N

18、1 =5.83(kN)N2 =9.17(kN)畫彎矩圖分段求各段彎矩方程MAB =5.83x，0 x0.75mMCD =9.17x，0 x0.25m能夠的危險截面 E，F(xiàn)，B截面能夠成為危險截面。E 截面彎矩 ME = 5.830.5 = 2.92kN mB 截面彎矩 MB = 5.830.75 = 4.37kN mF 截面彎矩 MF = F在B、C中點mkNMMCB33. 3229. 237. 42對B，E，F(xiàn)截面強度校核對B截面36max80321037. 4ZBWM87 MPa = 200 MPa 平安對F截面36max60321033. 3ZFWM= 157 MPa 危險例二、有一梯形

19、截面支承架，構造尺寸如圖截面慣性矩 IZ =100cm4 ，y1 =100mm，y2 =50mm資料許用拉應力 拉 = 200 Mpa資料許用壓應力 壓 = 250 Mpa試校核該梁強度。q=1kN/m5m2zyy1y解：解除約束，求約束反力q=1kN/mN2N1N1 5152.5 = 0N1 = 2.5 kNN2 = 2.5 kN求彎矩25 . 225 . 22xxxxxM0 x 5畫彎矩圖(+)3.125kNmM強度校核 max拉 =2ZWM344221025010100mmyIWZZ4610210125. 3 max拉 = 156 MPa 壓梁不平安4-7 梁截面合理外形選擇工程常用的矩

20、形截面梁 如圖：h b, 立放平放621bhWZ622hbWZ立放 WZ1 平放WZ2 上、下外表應力小，平安或可以接受更大載荷。hbPhbyzPbyzh4-8 梁彎曲變形一、梁的彈性曲線，撓度和轉角如圖 梁受力，中心軸線變形AB的曲線為撓曲線撓度：梁任一截面形心位移量為該截面撓度，用y表示。用f表示最大撓度。y與坐標軸y正方向一樣為正，反之為負。xABPcByc將梁彎曲外形用曲線方程表示，該方程稱為撓曲線方程。位移量y隨截面位置變化，y=f(x)為撓曲線方程。截面轉角：梁截面繞本身中性軸轉角 表示。 逆時針為正，反之為負。由微分學得：)(xfdxdytg很小時，tg ,即 f (x)二、撓曲線的近似微分方程梁軸上任一點曲率方程 ：EIM1EIMxx)()(1由微分學方程 可得：梁變形曲率方程：由于梁是微變形，截面轉角很小，dy/dx項極小可以忽略，由此簡化得到下式2/3222)()(1 1dxdydxydxEIMdxydx )(22稱為梁彈性曲線近似方程由于變形量y與彎矩符號一直一樣變形微分方程為：EIMdxydx )(22積分一次可得：積分二次：EIdxdy